Зарождение математики

Зарождение математики.

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич. действий (из к-рых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметич. действий над дробями.

Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Др. Египте и Вавилоне.

В Вавилоне на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.

Египет. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Др. Египта, относящиеся к нач. 2-го тыс. до н. э., состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, к-рые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах;

Эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теория в смысле системы взаимосвязанных и, вообще говоря, так или иначе доказываемых общих теорем, видимо, вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й пол. 2-го тыс. до н. э. состояние египетской М. того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев трудности действий с целыми числами на основе непозиционной десятичной системы счисления, египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц.

Основную роль при этом играли операции удвоения и раздвоения целых чисел, а также представление дробей в виде сумм долей единицы и, кроме того, дроби 2/3. Удвоение и раздвоение, как особого рода действия, через ряд промежуточных звеньев дошли до Европы средних веков.

Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, к-рые были бы теперь записаны в виде уравнения с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению числа пи=3. иногда же значительно более точному. Наличие правила вычисления объёма усечённой пирамиды, указания, как вычислить, напр., площадь равнобочной трапеции с помощью её преобразования в равновеликий прямоугольник, и ряд других обстоятельств свидетельствуют о том, что в египетской М. уже намечалось формирование математического дедуктивного мышления. Сами древние папирусы имели учебное назначение и не отражали в полной мере суммы знаний и методов египетских математиков

Вавилон. Математич. текстов, позволяющих судить о М. в Вавилоне, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математич. тексты охватывают период от начала 2-го тыс. до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греч.

М. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета вавилонской М., дальнейшие тексты, несмотря на наличие нек-рых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о её застое. Вавилоняне времён династии Хаммурапи получили ещё от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятеричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип со знаками для 1 и 60, а также 10 (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятеричных разрядов). Аналогично обозначались и шестидесятеричные дроби. Это позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидесятеричными дробями по единообразным правилам. В более позднее время появляется и особый знак для обозначения отсутствия в данном числе промежуточных разрядов. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению (такой приём встречается иногда и в египетских текстах). В более поздних текстах вычисление обратных чисел, отличных от 2^a , З^b , 5^g, т. е. не выражающихся конечной шестидесятеричной дробью, иногда доводится до восьмого шестидесятеричного знака; возможно, что при этом была обнаружена периодичность таких дробей;

напр. в случае ¹/7. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, кубов и др. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также расчёты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времён династии Хаммурапи, посвящённых решению задач, к-рые с современной точки зрения сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степеней.

Задачи на квадратные уравнения возникли, вероятно, путём обращения чисто практич. геометрич. задач, к-рое во многих случаях свидетельствует о существенном развитии отвлечённой математич. мысли. Такова, напр., задача на определение стороны прямоугольника по его площади и периметру. Впрочем, эта задача не приводилась к трёхчленному квадратному уравнению, а решалась, по-видимому, с помощью преобразования, к-рое мы бы записали(x+y)^{2=(x-y)2+4xy,} что приводит почти сразу к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Другая задача, связанная с т. н. теоремой Пифагора, известной в Вавилоне с древнейших времён, на определение катетов по данным гипотенузе и площади, представлялась трёхчленным уравнением с единственным положительным корнем. Задачи подбираются так, чтобы корни были всегда целые положительные и по большей части одни и те же. Это показывает, что сохранившиеся глиняные таблички — учебные упражнения; преподавание было, по-видимому, устным. Но вавилоняне знали и приёмы приближённого вычисления квадратного корня, напр. длины диагонали квадрата с данной стороной. Таким образом, алгебраич. компонента вавилонской М. была значительной и достигла высокого уровня. Наряду с этим вавилоняне умели суммировать арифметич. прогрессии, по крайней мере простейшие конечные геометрич. прогрессии и даже знали правило суммирования последовательных квадратных чисел, начиная с 1.

Существует предположение, что такие более отвлечённые научные интересы, не ограничивающиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраич. методов решения задач, возникли в “школах писцов”, где ученики готовились к счётно-хозяйственной деятельности.

Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тыс. до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в к-рых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математич. традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистич. эпоху вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и нек-рые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии; позднее в клинописных текстах появляются нек-рые правильные многоугольники, вписанные в круг.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/465739-zarozhdenie-matematiki