Использование кругов Эйлера для решения логических задач

Занятие 14. "

Использование кругов Эйлера для решения логических задач "

Цель урока: Познакомить обучающихся с решением простейших логических задач методом кругов

Задачи урока

• Образовательная: дать обучающимся представление о методе кругов Эйлера;

• Развивающая: развитие логического и аналитического мышления;

• Воспитательная: воспитание умения выслушивать мнение других обучающихся и отстаивать свою точку зрения.

Материал для урока: карточки с заданиями, портрет Л. Эйлера, доска.

Ход урока

1. Организационный момент (3 мин)

2. Разминка (5 мин)

3. Изучение нового материала (5 мин)

4. Первичная отработка метода решения (30 мин)

5. Подведение итогов занятия (2 мин)

6. Организационный момент.

Преподаватель: Здравствуйте, ребята! Сегодня на занятии мы с вами познакомимся с новым для вас методом решения логических задач - кругами Эйлера. Мы научимся решать некоторые из тех зада, которые входят в группу конкурсных и олимпиадных.

Целью нашего урока: научиться составлять такие схемы и решать задачи с помощью этих схем.

Разминка

Вниманию учащихся предлагается несколько шуточных логических задач, направленных на активизацию мышления обучающихся.

1. Гусь стоит 20 рублей и еще половину того, сколько стоит он на самом деле. Сколько стоил гусь?

2. Два спортсмена на соревновании пробежали по стадиону 8 кругов. Сколько кругов пробежал каждый?

3. Назовите два числа, разность которых равнв их сумме.

4. Сколько будет: два плюс два умножить на два?

Изучение нового материала

Преподаватель: В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук.

Круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна) – это геометрически наглядная картинка, показывающая отношение между различными множествами.

Не играет роли размер круга. С помощью кругов Эйлера можно изобразить отношения между разными множествами.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть А – множество компьютеров, В – множество учеников 7 класса.

Эти два множества не пересекаются, так как нет компьютеров среди учеников 7-го класса, и нет среди компьютеров таких понятий, как ученик.

Пример 2. Два множества – цветов и фиалок находятся в отношении вхождения одного в другой, так как Цветок – это родовое понятие по отношению к понятию Фиалка, а Фиалка – видовое по отношению к понятию Цветок.

Множества могут пересекаться.

На слайде 3 мы видим множество А – это ребята из нашего класса, которые зарегистрированы на сайте Меташкола и множество В ребят, которые зарегистрированы на сайте Дневник.ру. Есть ребята, которые зарегистрированы одновременно на двух сайтах– это множество А и В (слайд 4,приложение 1). Данное множество образуется пересечением (общей частью) двух или более множеств.

На 5-м слайде показано множество ребят из класса, которые зарегистрированы хотя бы на одном, или сразу двумя. Это множество А или В. Данное множество образуется объединением двух или более множеств.

Рассмотрим пример отношений 3-х множеств

Ребята нашего класса имеют возможность посещать три факультатива: по рисованию, по литературе и по математике.

Посещают только 1 факультатив – это те области на диаграмме, где нет пересечений соседних кругов.

Посещают 2 факультатива – пересечение двух кругов Эйлера; посещают все 3 факультатива – центральная часть, пересечение всех трех кругов.

При решении задач круги Эйлера помогают более наглядно представить схему решения.

Задача 1 (слайды 7 и 8, приложение 1). Многие ребята нашего класса любят футбол, баскетбол и волейбол. А некоторые - даже два или три из этих видов спорта. Известно, что 6 человек из класса играют только в волейбол, 2 – только в футбол, 5 – только в баскетбол. Только в волейбол и футбол умеют играть 3 человека, в футбол и баскетбол – 4, в волейбол и баскетбол – 2. Один человек из класса умеет играть во все игры, 7 не умеют играть ни в одну игру. Требуется найти:

1. Сколько всего человек в классе?

2. Сколько человек умеют играть в футбол?

3. Сколько человек умеют играть в волейбол?

Сначала отметим все области на диаграмме (слайд 7). На схеме видим, что для ответа на первый вопрос нужно сложить все числа:

6+2+5+3+4+2+1+7=30 (всего человек в классе)

Умеют играть в футбол (складываем 4 числа, входящих в круг):

2+3+4+1=10

Умеют играть в волейбол:

6+3+1+2=12

Задача 2. Расположите множества в порядке возрастания. Отметим нужные области на диаграмме (слайд 10, приложение 1). Множество А – это левый верхний круг (Пушкин). Множество Б – пересечение двух верхних кругов (Пушкин И Лермонтов). Множество В – объединение двух верхних кругов (Пушкин ИЛИ Лермонтов), а множество Г – объединение всех трех кругов (Лермонтов ИЛИ Пушкин ИЛИБаратынский). На слайде видно, что самая маленькая часть – Б, потом по возрастанию располагаются части А, В, Г соответственно.

Задача 3. на численный расчет (слайд 11, приложение 1). Решение:

Общую часть (лепесток) обозначим через Х. Тогда синяя часть на схеме равна 300-Х, оставшаяся часть картинки (меченосцы) – 340. Получаем:

300-Х+340=430 (по условию вся фигура)

Тогда Х=300+340-430

Х=210

Таким образом, использование кругов Эйлера помогает более наглядно представить решение задачи.

3. Закрепление материала.

Перед решением задачи ответьте на следующие вопросы:

1. О скольких множествах идет речь в данной задаче?

2. Какие из перечисленных в задаче данных относятся к разным множествам одновременно?

Задача 4. В классе 35 учеников. 26 детей умеют играть в шашки, 20 – в шахматы. 16 учеников умеют играть и в шашки, и в шахматы. Сколько человек играют только в шашки? Только в шахматы? Сколько человек не играют ни в шашки, ни в шахматы?

Решение.

26-16=10 (детей играют только в шашки)

20-16=4 (детей играют только в шахматы)

35-(4+10+16)=5 (не играют ни в шашки, ни в шахматы)

Задача 5. 11 девочек из класса занимаются танцами. 9 – занимаются музыкой. 6 девочек занимаются и танцами, и музыкой. 4 девочки не занимаются ни танцами, ни музыкой. Сколько девочек занимаются только танцами и только музыкой? Сколько в классе девочек?

Решение.

11-6=5 (девочек занимаются только танцами)

9-6=3 (девочки занимаются только музыкой)

5+3+6+4=18 (девочек всего в классе)

Подведение итогов занятия

Учащиеся подводят итоги занятия самостоятельно или отвечая на наводящие вопросы:

1. С чем мы познакомились на занятии?

2. В чем заключается этот метод? В чем он заключается?

3. Чему мы сегодня научились на занятии?

4. С чего необходимо начать решение задачи?

5. Какие задачи вызвали у вас наибольшее затруднение? Почему?