Конспект урока. «Матрицы. Действия над матрицами»

Конспект урока.

Тема: Матрицы. Действия над матрицами

Дисциплина: ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Тип урока: Изучение нового материала.

Вид урока: Комбинированный урок.

Методы урока: Лекция с элементами беседы, создание проблемных ситуаций, выполнение самостоятельных заданий в ходе лекции.

Оснащение урока:

ПК, м/м проектор; тетрадь для ведения конспектов.

Цели:

1. Образовательные:ознакомить с понятием матрицы и ее видами, научить выполнять основные операции над матрицами.

2. Развивающие: Развивать способности к анализу и обобщениям; формировать познавательную потребность.

3. Воспитательные: Способствовать формированию положительных мотивов обучения; прививать навыки самостоятельной работы при изучении новой темы; воспитывать внимательность.

План урока

1. Организационная часть. (5 минут)

2. Сообщение темы и целей урока.(10 минут)

3. Изучение и усвоение нового материала, первичное закрепление знаний.(50 минут)

   1. Основные сведения о матрицах.

   2. Виды матриц.

   3. Действия над матрицами.

      1. Сложение матриц.

      2. Вычитание матриц.

      3. Умножение матрицы на число.

      4. Умножение матриц.

4. Итог урока.(10 минут)

5. Самостоятельная работа (20 минут)

6. Домашнее задание.(5 минут)

Ход урока:

1. Организационная часть

2. Сообщение темы и цели урока

Тема урока: Матрицы. Действия над матрицами.

Цель: Познакомиться с понятием «матрица», с правилами ее записи, чтения; усвоить правила выполнения действий над матрицами; познакомиться с некоторыми случаями практического применения матриц и действий над ними.

Тема урока записывается в тетрадь.

3. Изучение и усвоение нового материала, первичное закрепление знаний

3.1. Основные сведения о матрицах

Определение: Матрицей называется таблица чисел (выражений), имеющая m строк и n столбцов:

В дальнейшем будем писать матрицу в сокращенном виде

Проводится устный опрос:

Сформулируйте определение матрицы.

Что означают индексы, в каком порядке записываются?

Задача 1. Указать размеры матриц:

Решение:

Задача 2. Для матрицы указать ее размер и найти значения элементов а₂₃ , а₃₁ , а₁₅ , а₃₃ , а₃₅ , а₂₄ .

Решение: .

а₂₃=7 -элемент второй строки и третьего столбца,

а₃₁= -2 - элемент третьей строки и первого столбца,

а₁₅= -1,8 - элемент второй строки и третьего столбца,

а₃₃ = -6,3 - элемент второй строки и третьего столбца,

а₃₅ = 6 - элемент второй строки и третьего столбца,

а₂₄= 5,7 - элемент второй строки и третьего столбца.

3.2Виды матриц

Определение: Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой 

Определение: Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом 

Пример:

Следующие таблицы являются матрицами

Определение: Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной.

Определение: Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной 

Определение: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю: 

Задача 3. Даны матрицы. Около каждого названия вида матрицы выпишите обозначения

Решение:

Прямоугольные: В, Д, М, К, Р.

Квадратные: А, С, Н.

Матрица-строка: М.

Матрица- столбец: К.

Единичная матрица: Н.

Нуль – матрица: Р.

Устно: назовите элементы главной диагонали квадратных матриц из задачи 3.

Ответ:

Для матрицы А: 2; 5.

Для матрицы С: 4; 1; 2.

Для матрицы Н: 1; 1; 1.

3.3 Действия над матрицами

Преподаватель: «Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые - специфические.

3.3.1-3.3.2. Сложение (вычитание) матриц

Суммой (разностью) двух матриц   и   одинаковой структуры называется матрица той же размерности   элементы которой вычисляются по формуле: 

Пример:

Найти сумму (разность) матриц 

Решение:

Из приведенных матриц складывать (вычитать) можно только матрицы А и С, которые имеют одинаковую структуру. Найдем сумму:

и разность этих матриц:

Задача 4. Найдите суммы: А + В и В + А, А + В + С и А + (В + С). Сделайте выводы.

Решение :

Вывод:Сложение матриц обладает коммутативным свойством: А+В = В+А.

(А+В)+С: Сначала найдем сумму А+В, к полученной матрице прибавим матрицу С:

А+(В+С): к матрице А прибавим сумму матриц В и С.

Вывод: сложение матриц обладает ассоциативным свойством: (А+В)+С= А+(В+С).

Обсуждаются выводы решения задачи 4. Записать выведенные свойства.

Что можно сказать о сумме А+О, где О –нуль-матрица? Какую роль играет нуль-матрица при сложении матриц?

Ответ: А+О=А – (дополнить в свойства сложения.)

Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль нуля при сложении чисел: а+0=а.

3.3.3. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число  называется матрица Д=А, элементы которой d_ij =a_ij .

Задача 5. Представьте матрицу в виде произведения матрицы на число и сделайте вывод:

.

Решение: для того, чтобы выполнить такое представление матрицы, необходимо найти общий множитель всех элементов матрицы, например число 2, затем разделить каждый элемент на данное число, получим:

Обсуждение и вывод: правило умножения матрицы на число позволяет выполнять вынесение общего множителя всех элементов за знак матрицы.

Что можно сказать о произведении 0А?

Ответ: при умножении матрицы на ноль получается нуль-матрица, т.к. все элементы будут равны нулю: 0А = О

3.3.4 Умножение матриц

Произведением матриц   и   называется матрица  элементы которой вычисляются по формуле: 

Замечание: Перемножать можно лишь те матрицы, для которых количество столбцов первой перемножаемой матрицы совпадает с количеством строк второй перемножаемой матрицы. Матрица, получаемая в результате перемножения, имеет количество строк равное количеству строк первой матрицы и количество столбцов равное количеству столбцов второй матрицы.

Пример:Найти (возможные) произведения матриц

Решение:

Матрица А имеет структуру 2x3, матрица В - 2x2, матрица С - 3x2. Согласно определению можно найти произведения   Не существуют произведения   Вычислим произведение   Прежде всего, определим структуру результирующей матрицы: имеем размерности   и   убирая подчеркнутые цифры, получим структуру результирующей матрицы 2x3. Вычислим ее элементы. Для того чтобы найти элементы возможных произведений, надо просуммировать произведения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы:

Остальные возможные произведения найти самостоятельно.

Замечание: Из приведенного примера видно, что в общем случае произведение матриц некоммутативно (неперестановочно), т. е.

Задача 6. В каком случае существует натуральная степень матрицы Аⁿ и каков размер итоговой матрицы? Найдите А²,где ; Е², где Что можно сказать о натуральной степени единичной матрицы?

Ответ: Аⁿ существует, если матрица квадратная. Размерность такая же, что и у матрицы А.

Очевиден вывод: Еⁿ = Е.

Задача 7. Дана квадратная матрица и единичная матрица такого же размера. Найдите произведения АЕ и ЕА и сделайте вывод.

Решение:

Вывод: АЕ = ЕА = А для квадратных матриц, следовательно в таких произведениях единичная матрица играет такую же роль, что и единица при умножении чисел а1=1 а = а.

Записать в тетрадь:

Продолжим список свойств действий над матрицами.

Свойства умножения матриц:

1. А(В + С) =АВ + АС;

2. (А + В)С = АС + ВС;

3. (АВ) = (А)В;

4. А(ВС) = (АВ)С;

4. Итог урока

Преподаватель проводит фронтальный опрос по контрольным вопросам:

1. Сформулируйте определение матрицы.

2. Для чего нужны матрицы?

3. Перечислите виды матриц.

4. Как выполняется сложение матриц?

5. Как выполняется вычитание матриц?

6. Как выполняется умножение матрицы на число?

2. Как выполняется умножение матриц?

Преподаватель предлагает студентам оценить свою работу на уроке, степень усвоения материала и проверить самостоятельной работой.

5. Самостоятельная работа

Даны матрицы А, В и D. Найти 3А,-В, B+D,B-D, А·В, В·А.

1. D =

2. D =

6. Домашнее задание.

Домашнее задание.

Выполнить письменно.

Произвести действия над данными матрицами, а в случае, когда это невозможно, указать причину: . А+В, б). –3А+С, в). АВ, г). ВА, д). АД, е). В+Д.

Даны матрицы:

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/494268-konspekt-uroka