Комбинаторика на простом примере

Комбинаторика на простом примере

Термин «комбинаторика» был введён Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Комбинато́рика – это самостоятельный раздел математики, который посвящён решению задач, связанных с выбором и расположением элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет некоторую выборку из элементов исходного множества, которая называется комбинаторной конфигурацией. Комбинаторика тесно связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, теорией чисел и другими. Она применяется в самых различных областях знаний: в генетике, информатике, статистике, статистической физике, лингвистике.

Задачами комбинаторики являются:

1)Определение количества комбинаторных конфигураций, соответствующих заданным правилам.

2)Нахождение практически пригодного алгоритма их полного построения.

3)Определение свойств заданного класса комбинаторных конфигураций.

Говоря простым языком, комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. Важно, чтобы эти объекты поддавались перечислению и среди них не было одинаковых.

Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение).

Начиная с начальной школы мы встречаем комбинаторные задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа. Такие задачи встречаются в учебниках математики Л.Г. Петерсон, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой. Но, как младшему школьнику рассказать, что такое комбинаторика быстро и доступно, не заходя в сложные формулы. Я решила это сделать используя всего три фигуры: круг, треугольник и квадрат.

Перестановка объектов.

Задача 1.

На столе лежат фигуры: круг, треугольник и квадрат. Выкладываем

их слева направо в следующем порядке:

круг / треугольник / квадрат

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?

Одну комбинацию мы выложили вначале, выстраиваем остальные:

круг / квадрат / треугольник

треугольник/ круг / квадрат

треугольник / квадрат / круг

квадрат / круг / треугольник

квадрат / треугольник / круг

Получается всего: 6 перестановок.

Если задают вопрос: Зачем это надо? Как это связано с нашей жизнью?

Ответ прост:

В жизни перед нами часто возникают ситуации, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы выбрать правильное решение, важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

Например, используя комбинации из предыдущей задачи, можем применить 6 разных паролей или сделать 6 разных дверных замков.

Сочетания объектов.

При сочетании объектов получается меньше комбинаций, чем при

перестановках. Потому, что порядок объектов тут не важен, и в комбинациях могут участвовать не все объекты.

Задача 2.

Опять выложим на стол те же фигуры: круг, треугольник и квадрат.

Попросим ученика отложить любые две фигуры в сторону. Сколькими способами ученик может это сделать?

Тут возможны следующие сочетания:

круг и треугольник

круг и квадрат

треугольник и квадрат

Порядок объектов тут значения не имеет.

Различные комбинации мы используем для составления индивидуального или группового расписания занятий, для составления меню (различные комбинации блюд), при планировании туристических маршрутов, составлении выигрышных вариантов в различных логических играх, комбинируем-сочетаем различные варианты одежды.

Распределение объектов.

Это расположение объектов на некоторых местах при условии, что каждое место занято в точности одним объектом и все объекты различны.

Задача 3.

Снова выложим на стол те же фигуры: круг, треугольник и квадрат.

Попросим ученика отложить одну из них направо, а одну - налево. Сколькими способами ученик может это сделать?

В случае с размещением объектов уже важен их порядок. В данном случае возможны следующие варианты:

налево/направо

круг/треугольник

круг/квадрат

треугольник/круг

треугольник/квадрат

квадрат/круг

квадрат /треугольник

В размещении всегда участвует часть объектов. Это мы видим и на нашем примере.

Так можно рассаживать учеников, используя различные варианты, составлять графики дежурств, мероприятий.

При построении комбинаций задействованы такие мыслительные операции, как: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение и классификация. Решение подобных задач ведёт к формированиюлогико-алгоритмического и критического мышления и математического мышления. Это важно, особенно, если младший школьник хочет участвовать в олимпиадах и в дальнейшем связать свою судьбу с математикой.

Известно, что комбинаторные задачи включены в ЕГЭ и ОГЭ, в различные математические олимпиады и в итоговую аттестацию, которую пишут ученики уже в четвертом классе. Комбинаторика тесно связана с нашей повседневной жизнью и важно заниматься решением подобных задач.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/497132-kombinatorika-na-prostom-primere