Приближенные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

Приближенные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

Каждый уважающий себя инженер или IT-шник должен быть на «ты» с вычислительной математикой и ее численными методами для решений различных задач, возможно даже тривиальных, которые «голову в порядок приводят». В процессе изучения хотелось обратить более тщательное внимание на методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений, а так же их анализ. 

Аналитическое решение для многих нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений получить не удается. Общая форма таких уравнений f (x) =0.

Алгебраические уравнения a_m+1 x^m+ a_m x^m-1 + a_m-1 x_m-2 + ... +a₁ = 0 имеют m корней. Трансцендентные уравнения, включающие степенные, тригонометрические и экспоненциальные функции от некоторого аргумента Х, например arctg(x) - x=0, бесчисленное множество корней. Для решения таких уравнений используют приближенные итерационные методы. Решение уравнения обычно складывается из двух этапов: отыскание начального приближения корня, т.е. определение интервалов, в которых имеется корень уравнениями последующего уточнения начального приближения корня до достижения заданной точности.

Процесс определения интервала, содержащего только один из корней уравнения, называется отделением корня этого уравнения. Обычно процесс отделения корней проводят исходя из физического смысла задачи, графически или с помощью таблиц значений функций f(x). Известно, что если непрерывная функцияf (x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка есть хотя бы одна точка x=u, в которой функция принимает нулевое значение f (u)=0 .Если при этом знак первой производнойf¢(x) на этом отрезке не изменяется, то корень x=u является единственным на данном отрезке.

Наиболее распространенным численными методами уточнения корней являются методы последовательного приближения, половинного деления, Ньютона, итерации.

Метод половинного деления.

Уточнение корня производится в следующей последовательности:

- вычисляется координата x₁ середины отрезка поиска [a, b];

- определяются знаки функции f (x) в точках x, а, в;

- определяется новый уменьшенный интервал поиска по результатам сравнения знаков функции f (x) в указанных точках (отбрасывается та половина предыдущего интервала, которая содержит на границе значения функцииf (x) того же знака, что и в середине интервала;

- указанная последовательность действий повторяется до достижения требуемой точности | x_j- x_j-1 | £ e, где e -допустимая погрешность решения.

Алгоритм рассмотренного вычислительного процесса имеет вид:

Применение метода половинного деления проиллюстрировано на рис.1.

Рис.1. Уточнение корня методом половинного деления

Метод половинного деления требует отделения корня, и для достижения высокой точности приходится вычислять функцию много раз. Достижение заданной точности в этом методе гарантировано.

Метод Ньютона.

Уточнение корня может быть произведено также по методу Ньютона.

Сущность метода Ньютона заключается в том, что в интервале поиска выбирается начальное приближение корня x₀ и в этой точке проводится касательная к функции, и точка x₁ пересечения касательной с осью абсцисс принимается за уточненное значение корня.

Повторяя построение касательных в точках x₁, x₂, x₃ ... x_n-1, x_n, получают последовательно уточнение корня. Аналитическая зависимость, описывающая такой процесс, имеет вид:

x_n = x_n-1 - ¦ ( x_n-1 ) / f ¢ ( x_n-1 ).

Метод Ньютона (касательных) в отличие от метода половинного деления использует информацию о форме функции, что ускоряет процесс уточнения корня. Однако данный метод ограничен в применении, поскольку для функций с изменением кривизны и пологими участками в интервале поиска пересечение касательной с осью абсцисс может выйти за пределы интервала, и тогда уточнения корня не получится.

Алгоритм уточнения корня по методу Ньютона имеет вид:

Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.

Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.

Метод простой итерации.

Метод простой итерации (последовательных приближений) заключается в том, что исходное уравнение имеет вид j (x)= x. Если в интервале поиска выполняется условие | j¢ (x) | <1, то метод дает возможность вычислить значение корня с заданной точностью. Если это условие не выполняется, то можно перейти к обратной функции. Приближение к корню осуществляется по формуле x_õ+1 = j (x_õ). Итерационный процесс прекращается, если выполняется условие

где e - допустимая погрешность решения. Сходимость будет тем более быстрой, чем меньше величина | j¢(x) |.

Рис. 3. Уточнение корня по методу Ньютона.

Следует отметить, что для всякого уравнения f (x)= можно найти большое количество соответствующих ему уравнений x= j(x), но нужно с большой осторожностью подходить к их конкретному выбору, т.к. от него зависит сходимость и скорость сходимости метода итераций.

Приближенное решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

f₁ ( x₁, x₂ ... x_n ) =0 ;

f₂ ( x₁, x₂ ... x_n ) =0 ;

........

f_n ( x₁, x₂ ... x_n ) =0 ;

Также осуществляется в два этапа: отделение корней и уточнение корней с помощью метода последовательных приближений (методом Ньютона или методом итераций ). Однако при уточнении корней, систем уравнений в форме x_õ = j(x₁, x₂ ... x_n ) представление их и анализ сходимости процесса итераций более трудоемки и сложны. Изменение формы исходного уравнения при этом неоднозначно поэтому необходимо тщательно проанализировать различные варианты преобразованных уравнений с целью получения пригодной для итерации формы.

Недостатком итерационных методов является это достаточно жесткое условие сходимости, которое выполняется далеко не для всех систем уравнений. Если условие сходимости выполнено, то на следующем этапе необходимо задать начальное приближение вектора неизвестных, в качестве которого обычно выбирается нулевой вектор:

В заключении необходимо отметить, что допустимую погрешность e определения корня уравнения в итерационном процессе нельзя задавать слишком малой, т.к. ошибки округления в ЭВМ не позволяют получить более точного приближения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учебное пособие / Н.С. Бахвалов, Е.В. Чижонков, А.В. Лапин. - М.: БИНОМ. ЛЗ, 2013. - 240 c.

2. Ерохин, Б.Т. Численные методы: Учебное пособие / Б.Т. Ерохин. - СПб.: Лань КПТ, 2016. - 256 c.

3. Козловский, В. Численные методы. Курс лекций: Учебное пособие / В. Козловский, Э. Козловская, Н. Савруков. - СПб.: Лань П, 2016. - 208 c.

4. Колдаев, В.Д. Численные методы и программирование: Учебное пособие / В.Д. Колдаев; Под ред. Л.Г. Гагарина. - М.: ИД ФОРУМ, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 336 c.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/502725-priblizhennye-metody-reshenija-nelinejnyh-alg