Обучение математическим доказательствам

Обучение математическим доказательствам

При изучении теоретического материала учебно-познавательная деятельность обучающихся зачастую направляется главным образом на запоминание формулировки и воспроизведение доказательства утверждения, а не на ее понимания или, может быть, самостоятельного открытия. При таком обучении доказательству утверждений обучающиеся не понимают его отдельные логические части, не понимают условий и заключения. Вследствие чего возникает формальное усвоение математического материала.

Одной из причин этого явления, мы считаем, является неподготовленность обучающихся к такой работе. Для того чтобы учащиеся в 7 классе были готовы к осуществлению геометрического доказательства, необходимо до начала изучения систематических курсов проводить пропедевтику обучения математическим доказательствам уже в 5-6 классах с целью предупреждения формального усвоения содержания учебного материала. Возникает вопрос: как именно организовать обучение обоснованию математических утверждений в 5-6 классах с целью профилактики формализма?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы проанализировали литературу, в которой рассматривается проблема обучения доказательствам, и выяснили, что в младшем подростковом возрасте школьник скорее заучивает доказательства, не умеет их применять при решении заданий. Поэтому возникает необходимость в формировании потребности в логическом обосновании математических утверждений еще при изучении пропедевтического курса геометрии. Важно осуществлять формирование у школьников некоторых навыков дедуктивных умозаключений и добиваться понимания ими того факта, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения.

Для того чтобы учащийся был теоретически и практически готов к сознательному усвоению систематического курса геометрии, работе с доказательствами, необходимо в пропедевтическом курсе геометрии в 5-6 классе развивать следующие умения и навыки:

• устанавливать причинно-следственные связи, строить

рассуждение, умозаключение и понимать потребность в логическом обосновании суждений;

• использовать логические понятия, умения и действия (анализ,

синтез, обобщение, классификация), строить умозаключения по правилам вывода;

• понимать и использовать математические средства наглядности

(графики, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

• выдвигать гипотезы при решении задачи, понимать

необходимость их проверки;

• точно и грамотно выражать мысли с применением

математической терминологии и символики;

• выделять основные этапы обоснования математического

утверждения, решения задач, уметь их аргументировать;

• находить ошибки в собственных рассуждениях и рассуждениях

одноклассников;

• определять истинность или ложность математического

утверждения;

• строить различные переформулировки и интерпретации

математических утверждений;

• приводить примеры объектов, попадающих под изучаемое

понятие, конкретизирующих математическое утверждение, приводить контрпримеры.

Опираясь на выделенные умения и навыки, перейдем к отбору содержания учебного материала, на основе которого будем строить систему заданий, ориентированную на профилактику и преодоление формализма при изучении теоретического материала в процессе преподавания математики в 5-6 классах.

Отметим, что отбор содержания должен быть адекватен возрастным психологическим особенностям учащихся. Механический перенос материала из учебников 7-9 класса в учебники 5-6 класса не может являться пропедевтикой, так как здесь не учитываются возрастные особенности учащихся и уровень математической подготовки.

Проанализировав учебники по математике для 5-6 классов, мы выяснили, что представленные в них задания ориентированы на формирование навыка решения задач арифметическим способом. При этом упражнений на доказательство практически нет, вводятся элементы доказательств некоторых утверждений. Геометрический материал, представленный в учебниках математики в 5-6 классах распределен по всему курсу и может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.

Перейдем к более подробной характеристике системы заданий, ориентированных на профилактику формализма при изучении теоретического материала в процессе преподавания математики в 5-6 классах. Для удобства, разобьем задания на подгруппы.

1. Задания на формирование у учащихся умения подмечать закономерности

Работу по пропедевтике обучению доказательствам стоит начать именно с этих заданий. Основой установления закономерности является аналогия, умение формулировать предложения, обобщение, наблюдение. Учить замечать закономерности следует как при изучении нового материала, так и при выполнении ряда отдельных упражнений на уроке. Приведем несколько примеров:

1) В 5 классе в начале урока можно использовать упражнение в качестве задания на устный счет: «Определите неизвестное число»

2) Задание «Продолжите числовую последовательность»: 18, 20, 24, 32,…

Работу над упражнениями следует сопровождать такими вопросами: «Как вы считаете, с чего нужно начать? Какую связь вы заметили между первыми двумя соседними числами? Между вторым и третьим?.... Какой вывод можно сделать? На основании каких предположений вы получили результат? Существуют ли другие решения?».

3) При изучении темы «Действия с рациональными числами» в 6 классе можно использовать задания такого типа: «Установите закономерность и вставьте пропущенное число»

4) При изучении темы «Сокращение дробей» в 6 классе использовать упражнение «Исключите лишнее число»:

• , , , ;

• .

В этих задачах указаны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.

5) При изучении темы «Многоугольники. Равные фигуры» в 5 классе использовать такое упражнение: «Сколько диагоналей можно провести из одной вершины а) пятиугольника, б) девятиугольника, в) вn – угольнике, где n>3. Работу над этим заданием нужно начинать с пятиугольника. Попросить изобразить пятиугольник и посмотреть, сколько можно провести диагоналей из одной вершины, т.е. дать возможность ученикам экспериментальным путем найти ответ на поставленный вопрос. Далее рассмотреть более сложную фигуру – девятиугольник, дать возможность учащимся самостоятельно найти ответ. Но далее возникает проблема, мы не знаем сколько углов у следующей фигуры. Тогда следует навести на мысль о том, какие результаты были получены в предыдущих двух случаях, что происходило при построении диагоналей у каждой фигуры. Путем логических рассуждений, учащиеся приходят к выводу, что из одной вершины в n – угольнике можно провести n-3 диагонали. Стоит обратить внимание на условие, почему в задании было сказано, что n>3.

Полезны задания такого типа при изучении нового материала, когда учитель дает знание не в готовом виде, а предлагает учащимся самостоятельно, на основании ранее изученного материала, сделать «открытие» нового знания самостоятельно.

6) В 6 классе при изучении темы «Признак делимости на 3» предложить такое упражнение: «Из ряда чисел 23, 65, 78, 120, 45, 12, 39, 64 выберите числа, которые делятся на 3. Установите закономерность».

7) В 6 классе при изучении темы «Простые и составные числа» использовать задание: «Сравните ряды чисел. Найдите среди них лишний ряд (не похожий на остальные). Чем отличается ряд от остальных.

а) 18, 6, 4, 22; в) 24, 6, 14, 25;

б) 77, 12, 8, 9; г) 11, 7, 13, 23.

Таким образом, учитель включает учеников в активный поиск закономерностей, предоставляет им возможность самим сделать «открытие», при этом обучение приобретает проблемный характер который, соответствует принципам развития продуктивного мышления. Учащиеся получают правило не в готовом виде, не понимая при этом, почему оно формулируется именно таким образом, а учатся самостоятельно обосновывать математическое утверждение, такая работа ориентирована на профилактику появления формализма.

2. Задания на формирование представления об истинности или ложности математического высказывания

Многие учащиеся в 5-6 классах еще не понимают смысла обоснования каких-либо математических фактов, они готовы воспринимать информацию в готовом виде, не задумываясь о ее праве на существование.

Начать работу нужно с разъяснения учащимся смысла понятий «истинно» и «ложно» с приведением конкретных примеров.

1) При изучении темы «Отрезок. Длина отрезка» в 5 классе: «Определите, истинно или ложно высказывание «На рисунке под буквой отрезки одинаковой длины, «На рисунке под буквой отрезки разной длины»

Такие задания на зрительные иллюзии с одной стороны, формируют у учеников убеждение в несовершенстве органов чувств при обосновании утверждений и, следовательно, в необходимости доказательства, с другой стороны, дают возможность формировать представление об истинности и ложности высказываний.

2) Определите истинность или ложность нижеследующих высказываний:

• любое число, оканчивающееся 3, делится на 3;

• любая фигура, составленная из двух лучей, является углом;

• любое число, оканчивающееся 0, делится на 5;

• сумма четного и нечетного числа есть число простое;

• сумма двух четных чисел есть число четное;

• любая неправильная дробь больше, чем правильная.

Необходимо учащимся разъяснить смысл понятия «контрпример» и в предложенных заданиях, которые являются ложными, попросить привести пример, доказывающий этот факт.

3. Задания на установление причинно-следственных связей формирование потребности в логическом обосновании математических утверждений

При обучении математике в 5-6 классах необходимо обращать внимание на развитие логического мышления, при рассмотрении изучаемого материала можно найти немало возможностей для создания небольших упражнений на доказательство.

1) При изучении раздела «Действия с натуральными числами» в 5 классе можно использовать следующие простейшие задания, доступные пониманию большей части учащихся, направленные на формирование умения обосновать математическое утверждение:

• доказать, что неизвестное уменьшаемое находится сложением вычитаемого и разности;

• доказать, что 10 • 3 = 30;

• объяснить, почему 35-20 = 15;

• пояснить истинность неравенства: 292 <1000;

• обосновать, почему при сложении дробей с различными знаменателями нельзя складывать отдельно числители и отдельно знаменатели и т. д.

2) При изучении темы «Признаки делимости на 10, на 5 и на 2» в 6 классе использовать задание на доказательство: «Докажите, что 14 168 кратно 28». Работу по доказательству следует начать с вопроса, который наведет учащихся на решение: «Как вы считаете, каким образом связано это задание с изучаемой темой?» Далее выяснить значение слова кратно и, разделив 14 168 на 28 установить, что 14 168 кратно 28, так как 14 168:28=506.

3) Рассмотрим еще один вариант задания на эту тему: «Числоx не делится на 2. Докажите, что это число не делится на 4». Вначале нужно дать возможность учащимся самостоятельно выдвинуть предположение о том, почему число не делится на 4. Попросить привести конкретные примеры, контрпримеры, доказывающие правильность рассуждений. Далее, в ходе логических рассуждений учащиеся устанавливают, что если бы число делилось на 4, то существовало бы такое число a, что x=4a. отсюда x=2(2a), т.е. число делилось бы на 2, а это противоречит условию. Следовательно,x не делится на 4. Важно пояснить учащимся, что такой метод обоснования называется методом от противного и привести еще несколько примеров заданий, обоснование которых сводится к этому методу.

4. Задания на выдвижение гипотез при решении задач, понимание необходимости их проверки

Стоит заметить, что первые доказательства должны касаться неочевидных вещей. Роль учителя - пробудить сомнения в доказательстве со ссылкой на очевидность. Учащиеся должны усвоить, что при доказательстве теорем нельзя пользоваться тем, что видно из рисунка, или получено в результате измерений углов, отрезков на чертеже. Эти результаты могут служить только выдвижению предположений, гипотез.

Чтобы убедить учащихся, что на основании экспериментов, даже многочисленных, нельзя делать общих выводов, достаточно рассмотреть, например, следующую ситуацию: при изучении темы «Треугольник. Виды треугольников» в 6 классе учитель спрашивает у учеников, в каком из видов треугольника сумма углов будет больше? На что учащиеся выдвигают различные гипотезы, которые учитель фиксирует на доске. Далее он предлагает им экспериментально проверить, кто же оказался прав и выполнить практическое задание. Учитель делит учащихся на группы, каждая группа работает с одним из видов треугольников, измеряет углы и находит их сумму. После чего, учащиеся озвучивают результаты, которые показывают, что у большинства получилось значение . Далее учитель спрашивает, можно ли с полной уверенностью сказать о том, что сумма углов в треугольнике составляет В этот момент задача учителя показать учащимся, что такой способ доказательства не является гарантом успеха, ведь у некоторых получились другие значения. Тогда учитель предлагает учащимся еще одну работу, в которой учащиеся в процессе учебного исследования выполняют, пусть и не строгое, но более обоснованное доказательство:

В конце этой работы учитель говорит о том, что с доказательством этого утверждения учащиеся еще встретятся на уроках геометрии в 7 классе. В ходе такой работы учащиеся максимально задействованы, они рассуждают, доказывают, обосновывают, именно такая работа, в деятельностном типе обучении, ориентирована на профилактику формализма при обосновании математических утверждений.

5. Задания на формирование умения работать с чертежом, выделять различные конфигурации на одном и том же чертеже

При ознакомлении с фактом, отраженном в математическом утверждении полезно наглядно проиллюстрировать его содержание. Чертеж должен быть изображен для общего случая, а не для частного, размеры чертежа должны быть оптимальны, данные и искомые выделены на чертеже цветом. Надо сказать, что с помощью рисунков можно открыть многие факты или убедиться в их справедливости.

В то же время, на основе собственного опыта преподавания математики в 5-6 классах, можно сделать вывод о том, что учащимся в этом возрасте свойственна переоценка роли чертежа, большая доверчивость к тому, что на нем изображено и каким образом. Поэтому следует воспитывать у учеников правильное отношение к чертежу, объяснять роль чертежа в процессе обоснования математических утверждений.

1) На чертеже назовите отрезки, прямые, лучи:

2) Начертите два луча так, чтобы их общая часть была а) точкой, б) отрезком, в) лучом.

3) Отметьте на плоскости точки М, К, Т, F так, чтобы луч МК пересекал прямую TF, а луч TF не пересекал прямую МК;

4) Начертите четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

6. Задания на умение проводить доказательные рассуждения, делать

выводы

Курс математики 5-6 классов содержит большие возможности для привития школьникам навыков доказательных рассуждений. Этой цели могут служить арифметические упражнения, приведем несколько примеров:

1) Какая из дробей больше: или ?

Ответ на данный вопрос может быть представлен в виде доказательного рассуждения: из двух дробей с равными знаменателями больше та, числитель которой больше. Числитель дроби больше числителя дроби . Значит, дробь больше дроби . При этом, рекомендуется учителю и ученикам озвучивать свои действия. Приведем еще один пример.

2) При изучении темы «Сложение дробей с равными знаменателями» учащимся предложено следующее задание: «Вычислите: ». Выполнение данного упражнения должно сопровождаться следующими рассуждениями: дроби и имеют один и тот же знаменатель. При сложении дробей с равными знаменателями нужно сложить их числители и оставить тот же знаменатель. Следовательно, при сложении дробей иможно увидеть, что основу приведенного обоснования составляет правило заключения.

Развитие представления о том, что из одних утверждений можно выводить другие, целесообразно осуществлять не только при изучении геометрического материала, но и при решении арифметических задач. Поясним это положение на примере:

3) Пусть решается задача: рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем ученик. За 2 ч совместной работы они сделали 58 деталей. Сколько деталей в час изготовил рабочий и сколько ученик?

Учащиеся нашли, что рабочий изготовлял в час 17 деталей, а его ученик — 12 деталей. После этого внимание учащихся обращается на то, что из утверждений «рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем ученик» и «за 2 ч совместной работы они сделали 58 деталей» получены утверждения «рабочий изготовлял в час 17 деталей» и «ученик изготовлял в час 12 деталей».

Приведем еще некоторые примеры:

4) Все ученики 5 класса изучают математику. Марина-ученица 5 класса. Следовательно,…. .

5) Все деревья растения. Тополь и березы растения. Следовательно,…. .

6) При умножении единицы на любое число получается то же самое число. Если 789 умножить на 1, то получим…

7. Задания на формирование умения находить ошибки в предложенных рассуждениях

Задания, в которых необходимо найти вычислительную ошибку, целесообразно группировать с заданиями, в которых ошибки нет, чтобы учащиеся заведомо не знали, в каком случае точно будет ошибка.

1) В 5 классе при изучении темы «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями» использовать задание «Найдите ошибки и исправьте их»:

2) Задание для учеников 6 класса при изучении темы «Решение уравнений»: «Ученик решал уравнение , и получил вот такое решение

Верно ли ученик выполнил задание?»

Также интересны задания на нахождение ошибки в предложенных рассуждениях.

3) В 5 классе при изучении темы «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями» использовать задание «Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно отдельно сложить их числители и знаменатели»;

4) В 5 классе при изучении темы « Дроби и деление натуральных чисел» использовать задание «Если четыре кладоискателя найдут три мешка с золотом, то для того, чтобы разделить клад поровну им нужно разделить каждый большой мешок с золотом на четыре одинаковых маленьких мешка. Тогда каждый кладоискатель возьмет себе по четыре маленьких мешка с золотом и значит, каждому из них достанется большого мешка»;

8. Задания на построение различных переформулировок и интерпретаций математических утверждений

Рассмотрим пример задачи, при решении которой можно пояснить учащимся суть правила доказательства утверждений о существовании.

1) «Существует ли натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?»;

2) Выясните, могут ли быть одновременно верными следующие высказывания:

а)больше ,больше ;

б) прямая параллельна прямой прямаяпересекает прямую ;

с) АВ - хорда окружности, АВ – радиус окружности;

d) число с – смешанная дробь, число с – натуральное.

3) Существуют ли два таких числа и для которых выполняются одновременно следующие условия: положительное, отрицательное число.

4) Постройте отрицание следующих высказываний и проверьте, верны ли они:

а) число 269 кратно 3;

б) если число четное, то оно делится нацело на 2;

с) если в треугольнике все стороны равны, то он равносторонний.

Таким образом, при последовательном и систематическом использовании заданий такого типа у учащихся развивается умение анализировать, сравнивать, делать выводы, выводить из одних умозаключений другие. В свою очередь, именно эти умения необходимы в дальнейшей работе по обоснованию математических утверждений. Для преподавателя во всей этой работе важно стараться вести обоснование математического факта так, чтобы ученик как можно больше сам делал предположения и выводы.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/504501-obuchenie-matematicheskim-dokazatelstvam