Разработка урока «Комбинаторные задачи и способы их решения»

1. Подводка к теме

а) Сценка (на заставке зрительный зал)

У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у двух других– пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

б)Рассказываю (На заставке русский богатырь)

В сказках, старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. С какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье? Конечно,с проблемой выбора дальнейшего пути движения. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был наилучшим.

В) О чем пойдет речь на уроке?

2.

а) Вспоминаем, что такое комбинаторика (ученик, поднимая руку рассказывает)

.. существует целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать оптимальную.

Комбинаторика позволяет ответить на вопросы: сколькими способами, сколько вариантов и так далее. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».

б) Историческая справка (когда возникла, где применялась (-ется) (слайд из презентации)

3. Какие же методы решения таких задач существуют:

1)Метод перебора возможных вариантов

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Задача 1.В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться? (решаем методом перебора)

2) Табличный метод

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

Задача 2.Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Составим таблицу: слева первый столбец - первые цифры искомых чисел, вверху первая строка - вторые цифры.

3) Метод построения дерева возможных вариантов решений

Задача 3.Катя собирается на каникулы. Она может поехать с бабушкой или с родителями. Если Катя поедет с бабушкой, то она сможет провести каникулы или на даче, или в городе, или в деревне. Если она поедет с родителями, то она сможет провести каникулы или отдыхая в санатории, или путешествия по горам, или путешествуя на теплоходе. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?

Решение:

4) Метод построения граф-схемы

Все видели схему станций метрополитена, трамвайных путей или карту

железнодорожных сообщений. Точки — города, отрезки или дуги которые их соединяют — железнодорожные пути. Такие схемы и называют графами.

Граф - это геометрическая фигура, состоящая из точек (вершины графа) и линий, их соединяющих (рѐбра графа).

При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей и т.д.), а с помощью рѐбер - определѐнные связи между элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи, вершины графа могут быть заменены кругами или прямоугольниками.

Задача 4: Встретились пятеро друзей, здороваясь, они пожали друг другу руки. Сколько всего рукопожатий было сделано?

Решение: Сначала выясним, как можно обозначить каждого человека. Удобнее изображать людей точками. Расположим точки по кругу. Как показать людей, которые пожали друг другу руки? От двух точек навстречу друг другу проводятся черточки – «руки», которые, встречаясь, образуют одну линию. Так происходит переход к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются рукопожатия одного человека, потом переходят к другому человеку. И так действуют до тех пор, пока все не «поздороваются» друг с другом.

ОСНОВНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ

Иногда подсчитать комбинации в задачах можно быстро и легко. Для этого используются правило суммы и правило произведения.

Правило суммы и правило произведения — основные комбинаторные принципы, которые используются в комбинаторике.

ПРАВИЛО СУММЫ

Обобщения рациональных приемов систематического перебора целесообразнее начать с комбинаторных задач на правило суммы. Проиллюстрируем правило суммы на элементарных задачах.

Задача 1. В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из вазы один из фруктов?»

Решение:

Что значит «взять 1 из фруктов? Это значит взять яблоко или грушу.

15

Сколькими способами можно взять 1 яблоко? Почему? (Четырьмя способами, так как яблок всего 4 они разные).

Сколькими способами можно взять 1 грушу и почему? (Тремя способами, так как груш всего 3 и они разные).

Сколькими способами можно взять один из фруктов?( Семью способами 7=4+3).

Ответ: 7 способов

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

При решении комбинаторных задач часто приходится умножать число способов выбора одного объекта на число способов выбора другого объекта. Рассмотрим некоторые примеры.

Задача 2. Имеются три города: A, B и C. Из A в B ведут три дороги, из B в C — пять дорог. Сколько различных путей ведут из A в C? Прямого пути между A и C нет.

Решение. Обозначим дороги буквами и цифрами. Именно, дороги из A в B назовѐм a, b, c; дороги из B в C назовѐм 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда любой маршрут из A в C получает уникальное имя в виде пары из буквы и цифры. Например, маршрут b4 означает, что из A и B мы пошли по дороге b, а из B в C — по дороге 4. Выпишем все такие пары в виде таблицы: a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 c1 c2 c3 c4 c5

Всего получилось 3 · 5 = 15 маршрутов. Как видим, число маршрутов равно произведению числа дорог из A в B на число дорог из B в C.

Заметим, что строить каждый раз дерево вариантов не обязательно. Чтобы найти число комбинаций, достаточно перемножить число предметов одного вида на количество предметов другого вида. Это правило называется правилом произведения.

Презентация, распечатки-навигации.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/512485-razrabotka-uroka-kombinatornye-zadachi-i-spos