ЕГЭ 2023. Профильная математика. Вариант 2 с ответами

Вариант №2 − 2023

1 .  В треугольнике известно, что , , угол равен 90°. Найдите радиус его вписанной окружности.

2 .  Площадь основания конуса равна 45. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 8, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

3.  Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 24 пассажиров, равна 0,81. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что пассажиров будет от 14 до 23.

4.  Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,5. Найдите отношение вероятностей событий «стрелок поразит ровно пять мишеней» и «стрелок поразит ровно четыре мишени».

5.  Найдите корень уравнения .

6.  Найдите значение выражения , если .

7 .  На рисунке изображён график функции и касательная к этому графику. Найдите значение выражения .

8.  В дне цилиндрического бака имеется кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в сантиметрах, меняется по закону , где см/мин², см/мин – постоянные параметры, ‑ время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Известно, что через 10 минут после открытия крана вся вода вытечет из бака. Каким будет уровень воды в баке через 6 минут после открытия крана? Ответ выразите в см.

9 .  Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 5 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 30 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут?

10.  На рисунке изображен график функции . Найдите .

11.  Найдите точку минимума функции .

======================================================

12.  а)   Решите уравнение .

 б)   Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

13.  Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 8. На рёбрах ВС и A₁D₁ взяты соответственно точки K и L, а на ребре CD − точки M и N так, что BK=D₁L=CM=DN=2.

а)  Докажите, что косинус угла между прямыми KN и ML равен .

б)  Найдите расстояние между прямымиKN и ML.

14.  Решите неравенство _.

15.  15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 52 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15‐го числа первый и второй месяцы долг должен уменьшиться на 600 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на a тысяч рублей.

Найдите S, если всего банку будет выплачено 4405,5 тысячи рублей.

16.  Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

17.  Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке .

18.  Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Ответы:

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/530891-egje-2023-profilnaja-matematika-variant-2-s-o