Вписанная и описанная окружность

Задачи по теме:«Вписанная и описанная окружность»

Учитель высшей квалификационной категории, МБОУ г. Мурманска СОШ №57 Трубачева А.Н.

Задача №1.

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 12 и ВМ = 18.

1 способ

Пусть АН – высота равнобедренного треугольника АВС. Из свойств равнобедренного треугольника с основанием ВС следует, что АН – биссектриса этого треугольника. Поэтому центр О вписанной в треугольник окружности лежит на отрезке АН, и окружность касается основания ВС данного треугольника в точке Н.

Поскольку отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, получаем: ВН = ВМ = 18.

В прямоугольном треугольнике АВН: АВ = АМ + МВ, АВ = 30 и , АН = 24.

Прямоугольный треугольник АВН подобен прямоугольному треугольнику АОМ (по двум углам). Откуда

Получаем ОМ = 9.

2 способ

AB=AC=30;BC=36

Задача №2.

Из точки к окружности, радиус которой равен 4 см, проведены касательная, касающаяся окружности в точке С, и секущая, проходящая через центр О окружности и пересекающая ее в точках А и В так, что МА = АО. Точка N – середина дуги АС окружности, заключенной между секущей и касательной. Найдите площадь треугольника MON.

1 )

Задача №3.

Около равнобедренного треугольника MPK с основанием MK, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.

Задача №4.

Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. ОтрезокMN с концами на боковых сторонах является средней линией треугольника и равен . Около треугольника описана окружность с центром О и радиусом, равным 8. Найдите длину отрезка ОМ.

1 )Т. к. MN – средняя линия, то

Задача №5

Периметр параллелограмма ABCD равен 26 м. Величина угла ABC равна 120⁰. Радиус окружности, вписанной в треугольникBCD равен м. Найдите длины сторон параллелограмма, если известно, что длина стороны AD больше длины стороны AB.

Задача №6. ОТВЕТ:

Площадь треугольника АВС равна м². Величина угла ВАС равна 120⁰. Величина угла АВС больше величина угла АСВ. Расстояние от вершины А до центра окружности, вписанной в треугольник АВС, равно 2м. Найдите длину медианы треугольника АВС, проведенной из вершины В.

Задача №7. ОТВЕТ:

Площадь параллелограммаABCD равна м². Расстояние от точки Q пересечения диагоналей параллелограммаABCD до центра окружности, вписанной в треугольник AQB, равно 2м. Величина угла AQD равна 60⁰, а угол BAD тупой. Найдите длину диагонали AC.

Задача №8. ОТВЕТ:

Сумма длин сторон АВ и АС треугольника АВС равна 11 м. Величина угла АВС равна 60⁰. Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен м. Известно, что длина стороны АВ больше длины стороны ВС. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины А.

Задача №9. ОТВЕТ:

В ромб со стороной и соотношением углов 1: 5 вписана окружность. Найдите площадь ромба вне круга.

Задача №10 ОТВЕТ:

В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найдите отношение их площадей.

Задача №11.

Квадрат ABCD описан вокруг окружности радиусом r, а квадрат вписан в нее, причем прямая проходит через точку А. Найдите площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от квадрата ABCD.

Из ΔAOK:

Из ΔABF:

ОТВЕТ:

Задача №12.ОТВЕТ:

Правильный треугольник АВС вписан в окружность радиусом r, а квадрат KLMN описан вокруг нее. При этом точка К лежит на прямой АВ. Найдите площади частей, на которые эта прямая делит квадрат.

Задача №13.

Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника АВС, если известно, что длина отрезка ОС равна 5.

Задача №14. ОТВЕТ:12

В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АВ равна 21, а длина катета ВС равна 28. Окружность, центр О которой лежит на гипотенузе АС, касается обоих катетов. Найти радиус окружности.

Задача №15.

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол С прямой. Точка Е – середина гипотенузы АВ. Проведена окружность, которая пересекает середину меньшего катета ВС и касается гипотенузы в точке Е. Точка D – точка пересечения прямой, являющейся продолжением катета ВС и окружности. Найти ED и площадь круга, если катеты равны 3 и 4.

Задача №16. ОТВЕТ: 1,875

В прямоугольном треугольнике АВС длина катета ВС = 3, АС = 4. Через вершину В проходит окружность, которая касается катета АС и имеет центр на гипотенузе. Найти радиус окружности.

Задача №17.

В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная возле треугольника ABC, касается прямой CD, пересекает основание AD в точке М. Найдите площадь трапеции ABCD, если AM = 8, CM = 4.

И з прямоугольного по среднему геометрическому:

Задача №18 ОТВЕТ: 4

В параллелограмме ABCD угол ABC =135⁰. Окружность, описанная возле треугольника ABD, касается прямой CD. Найдите площадь параллелограмма, если диагональ BD =2.

Задача №19. ОТВЕТ: 3

В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная возле треугольника ABC, касается прямой CD, пересекает основание AD в тоске М и делит его на отрезки AM и MD. Найдите отношение отрезков AM и MD, если угол ADC = 60⁰.

Задача №20. ОТВЕТ:13

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 5, а проекция второго катета на гипотенузу равна . Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Задача №21.

В квадрат ABCD со стороной длины a вписана окружность, которая касается стороны CD в точке E. Найти величину хорды, соединяющей точки, в которой окружность пересекается с прямой AE.

Задача №22 ОТВЕТ:

В прямоугольном треугольнике АВС угол А прямой, длина катета АВ равна a, радиус вписанной окружности равенr. Вписанная окружность касается катетаAC в точке D. Найти длину хорды, соединяющей точки пересечения окружности с прямой BD.

Задача №23.

В треугольнике АВС угол А прямой, величина угла В равна 30⁰. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен . Найти расстояние от вершины С до точки касания этой окружности с катетом АВ.

Задача №24.ОТВЕТ:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2 см. Найти расстояние от вершины острого угла до точки, в которой вписанная окружность касается противолежащего этому углу катета.

Задача №25.

Вравнобедренном треугольнике угол при основании равен α. Высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанной окружности на m. Определить основание треугольника

Задача №26.ОТВЕТ:

В равнобедренном треугольнике основание равно 2a, а высота h. В него вписана окружность, к которой проведена касательная, параллельная основанию. Найдите радиус окружности и длину отрезка касательной, заключенной между сторонами треугольника.

Задача №27.ОТВЕТ: 30 см ².

Треугольник АВС вписан в окружность. Через вершину А проведена касательная до пересечения с продолжением стороны ВС в точке D. Из вершин В и С опущены перпендикуляры на касательную, причем меньший из них равен 6 см. Найдите площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если ВС равна 5 см, а AD равна см.

Задача №28. ОТВЕТ: 18.

В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность радиус . Высота BD делится точкой пересечения с окружностью в отношении 2 : 1, считая от вершины B. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №29.

Найдите периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 3, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 120.

Задача №30. ОТВЕТ: 99

Найдите периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 3, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 180.

Задача №31. ОТВЕТ:м илим

Окружность радиусом 5 м с центром в вершине C треугольника ABC, площадь которого равна 30 м², делит основание АВ на три отрезка AP, PQ и QB, длины которых в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найти длину основания.

Задача №32. ОТВЕТ:м или м

Окружность радиусомм с центром в вершине M треугольника KLM, площадь которого равна 12 м², делит основание KL на три отрезка: KF, FG и GL, длины которых в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите длину основания.

Задача №33.

Длины боковых сторон трапеции 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

Задача №34. ОТВЕТ: 4.

Длина средней линии равнобочной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции.

Задача №35. ОТВЕТ: 8.

Длина средней линии равнобочной трапеции равна 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции.

Задача №36. ОТВЕТ: 2 и 14.

Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

Задача №37

Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга равна S. Определить длину боковой стороны этой трапеции, если известно, что острый угол при основании равен 30⁰.

Задача №38. ОТВЕТ: 2, 8 и 5.

Круг радиусом 2 см вписан в равнобочную трапецию, площадь которой 20 см². Найдите длины сторон трапеции.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/53711-vpisannaja-i-opisannaja-okruzhnost