Конспект урока по математике (геометрии) в 10 классе «Пирамида»

Конспект урока в 10 классе Дата________

Тема урока: Пирамида. Правильная пирамида. Площадь поверхности.

Цель урока: дать определение пирамиды, основные виды пирамиды; рассмотреть элементы пирамиды

Задачи:

Обучающие: изучить новый вид многогранников – пирамиды. Выйти на понятие правильной пирамиды. Рассмотреть задачи, связанные с пирамидой и с правильной пирамидой.

Развивающая: развивать познавательный интерес через творческую активность, исследовательскую деятельность на основе умения делать обобщения по данным, полученным в результате исследования.

Воспитательная: развивать эмоционально-положительное отношение к изучению геометрии, геометрическую зоркость, пространственное воображение.

Тип урока: Усвоение новых знаний

Оборудование: Учебник доска, мел, линейка

Ход урока

1.Организационный момент.

Приветствие. Проверка отсутствующих. Сообщение темы урока. Запишите в тетрадях число и тему урока «Пирамида. Правильная пирамида».

2.Актуализация опорных знаний

Мы продолжаем с Вами изучать раздел геометрии «Многогранники».

Сегодня на уроке познакомимся с понятием пирамида и ее элементами, научимся изображать пирамиду в тетради и распознавать ее среди других тел.

Проведем небольшой опрос по теме прошлого урока:

1.Определение призмы. (Призмой называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и параллелограммов)

2.Определение высоты призмы. (Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы)

3.Определение прямой (наклонной) призмы. (Призма называется прямой, если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, в противном случае призма называется наклонной.

4.Чему равна высота прямой призмы? (Высота прямой призмы равна ее боковому ребру)

5.Определение правильной призмы. (Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники).

S_полн = S_бок+ 2S_осн

Формула:

7.Площадь боковой поверхности Sбок = Ph

3. Работа по теме

Давайте совершим небольшой историко-географический экскурс. Пирамиды – это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени. Величайшая из пирамид – пирамида Хеопса в Египте. Она была построена в двадцать восьмом веке до н.э. Высота этой пирамиды 147 м в древности и 138 м сейчас. Это соответствует современному зданию высотой около 50 этажей. Длина основания пирамиды 250 м. Она сложена из блоков золотистого известняка весом от 2,5 до 30 т. Глыбы со всех сторон гладко отшлифованы. Блоки ничем не скреплены и держатся на месте силой собственной тяжести. Пирами́да Хео́пса (Хуфу) — крупнейшая из египетских пирамид, единственное из «Семи чудес света», сохранившееся до наших дней. Предполагается, что строительство, продолжавшееся двадцать лет, закончилось около 2540 года до н. э.Известны десятки египетских пирамид. На плато Гиза самые крупные из них — пирамиды Хеопса (Хуфу), Хефрена (Хафра) и Микерина (Менкаура).

В современной архитектуре наиболее известная пирамида - это стеклянная пирамида Лувра. Пирамида, окруженная фонтанами и еще тремя пирамидами поменьше стала одновременно входом в музей и украшением площади перед зданием. За основу пирамиды была взята пирамида Хеопса. Египетский прототип позволил создать конструкцию, идеально вместившую в себя всевозможные магазинчики, галереи, кафе и помещения для персонала. По замыслу автора пирамида у Лувра была призвана соединить небо и землю.

Пирамиды строили не только в Египте. Они вырастали и по другую сторону океана, в древних государствах Центральной Америки. Самая большая – пирамида Солнца, периметр ее основания равен 1000 метров, а напротив нее возвышается пирамида Луны (на экране слайды с изображениями пирамид). Это мексиканские пирамиды. Подобные сооружения, созданные человеком и природой встречаются в Китае, в Риме. Сейчас слово «пирамида» используют для обозначения любой твердой структуры, которая имеет широкую основу и поднимается, словно башня, сужаясь вверх.

Например, пирамида питания рекомендована Всемирной организацией охраны здоровья как диетическая модель построения здорового пищевого рациона. В основу ее создания заложены необходимые для здорового питания продукты, разнообразность и соотношение которых она иллюстрирует.

Мы используем слово «пирамида», говоря о финансовых сделках, при которых доход от одной сделки применяется для вложения в другую. Существуют экологические пирамиды: численности, биомасс, энергии. Понятие пирамиды тесно связано с жизнью общества. Структуры государства (предприятия, школы, институты) напоминают собой пирамиды.

Пирамидальная форма широко используется в архитектуре, например во Франции, в Германии. Форму правильной шестиугольной пирамиды имеют бетонне столбики, которые ставят вдоль проезжей части в опасных для транспорта местах. Крыши пирамидальной формы часто украшают разные киоски, а также религиозные сооружения.

Откройте учебник тема Пирамида — п.32 страница 72 (рис 80)

Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Правильная пирамида определение стр 73 (рис 82)- это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Боковая поверхность пирамиды - это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Полная поверхность пирамиды - это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Свойства пирамиды:

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды:

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n - это количество углов в основании пирамиды.

Для того чтобы вычислить площадь пирамиды, стоит определить, что ее боковая поверхность состоит из нескольких треугольников. А их площади мы сможем легко найти, применяя

различные формулы. В зависимости от того, какие данные треугольников нам известны, мы ищем их площадь.

Перечислим некоторые формулы, с помощью которых можно найти площадь треугольников:

S = (a*h)/2. В данном случае нам известна высота треугольника h, которая опущена на сторону a.

S = a*b*sinβ. Здесь стороны треугольника a, b, а угол между ними — β.

S = (r*(a + b + c))/2. Здесь стороны треугольника a, b, c. Радиус окружности, которая вписана в треугольник – r.

S = (a*b*c)/4*R. Радиус, описанной окружности вокруг треугольника — R.

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R. Данную формулу нужно применять только в том случае, когда треугольник является прямоугольным.

S = (a²*√3)/4. Эту формулу применяем к равностороннему треугольнику.

Лишь после того, как рассчитаем площади всех треугольников, которые являются гранями нашей пирамиды, можно вычислить площадь ее боковой поверхности. Для этого будем использовать выше перечисленные формулы.

Для того чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, никаких сложностей не возникает: нужно узнать сумму площадей всех треугольников. Выразим это формулой:

Sп = ΣSi

Здесь Si является площадью первого треугольника, а Sп — площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим на примере.  Дана правильная пирамида, ее боковые грани образованы несколькими равносторонними треугольниками,

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей».

Галилео Галилей.

а квадрат является основанием пирамиды. Причем ребро пирамиды имеет длину 17 см. Найдем площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Рассуждаем так: нам известно, что гранями пирамиды являются треугольники, они равносторонние. Также нам известно, какова длина ребра у данной пирамиды. Отсюда выходит, что все треугольники имеют равные боковые стороны, их длина 17 см.

Для вычисления площади каждого из данных треугольников, можно использовать такую формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Так, как мы знаем, что квадрат лежит в основании пирамиды, то выходит, что мы имеем четыре равносторонних треугольника. А это значит, что площадь боковой поверхности пирамиды легко рассчитать по следующей формуле:  125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Наш ответ следующий: 500.548 см² – такова площадь боковой поверхности данной пирамиды.

4. Первичное закрепление знаний

В правильной треугольной пирамиде SABC точка M − середина ребра AB, S − вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

Решение. Найдем площадь грани SAB:

Отрезок SM является медианой равнобедренного треугольника SAB, проведённой к его основанию, а значит, SM является и его высотой. Тогда

Коллективное решение задачи по учебнику стр.75 №239

5. Итоги урока. рефлексия

Сегодня мы еще раз убедились в широком применении пирамид в окружающем нас мире. А это значит, что знания, полученные на уроке геометрии, вам пригодятся в жизни.

Сегодня на уроке мне особенно понравилось и запомнилось…

6.Домашнее задание: п. 32 п.33, повторить определения и формулы, №245, № 252

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/541562-konspekt-uroka-po-matematike-geometrii-v-10-k