Олимпиады для 1 курса по математике СПО

Олимпиада по математике

2 курс

 №1Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

№2 М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

№3 Решите уравнение  .

№4 От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

№5 В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Ответы и решения

№1 Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

Решение. Первая цифра  числа может быть любой из четырёх (2,4,6 или 8), вторая и третья – любой из десяти каждая, а четвёртая, если отказаться от условия « не делящихся на тысячу», - любой из пяти (0,2, 4,6 или 8). Следовательно, четырёхзначных чисел, в записи которых первая и последняя цифры чётны, всего имеется 4·10·10·5= 2000; так как среди них четыре числа (2000, 4000, 6000, 8000) делятся на 1000, то чисел, удовлетворяющих условию задачи, окажется 2000 – 4 = 1996.

Ответ. 1996.

№ 2 М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%.

После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс  . Отсюда  . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Ответ. Хватит.

№ 3 Решить уравнение  .

Ответ: х=-6.

№4От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение:

Объем исходной пирамиды , где − основание исходной пирамиды, а её высота.

У отсеченной пирамиды высота равна а в основании пирамиды лежит треугольник подобный исходному с коэффициентом подобия 2. Следовательно, Т. е . Тогда и

Ответ: 3

№5В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Решение.

Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т.е. составлять 1,8 млн. рублей.

1 год:

В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.

После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 - 1,8 = 5,4 млн. руб.

6 - 5,4 = 0,6 - разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.

В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда

5,4 - 0,6n = 0,

n = 9.

Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.

Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

Ответ: 10 лет.

Распределение мест:

0-13 –Участник

14-17 – 3 место

18-20 – 2 место

21-25 – 1 место

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/568956-olimpiady-dlja-1-kursa-po-matematike-spo