Статья на тему «Аналитический способ решения задач с параметром»

1. Задачи с параметром

1.1. Параметр. Задачи с параметром

Параметр – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.
Решить уравнение или неравенство с параметром – значит для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений этого уравнения или неравенства. Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости от значений параметра (иногда говорят, что решение «ветвится» в зависимости от параметра). 
К задачам с параметрами можно отнести и поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.
Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом,имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничиваемся его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение и на ответ.

1.2. Основные типы задач с параметром

1. Уравнения (неравенства), которые надо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Например: При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?

2. Уравнения (неравенства), для которых необходимо определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Например: При каких значениях параметра уравнение имеет ровно три корня?

3. Уравнения (неравенства), для которых требуется найти все значения параметра, при которых указанные уравнения (неравенства) имеют заданное число решений (или не имеют решений, или имеют бесконечно много решений).

Например: Найдите все значения параметра а при каждом из которых уравнение имеет ровно два корня.

4. Уравнения (неравенства), для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

1.3. Способы решения задач с параметром

Способ I (графический). Наиболее понятный и очень наглядный способ решения. Суть его заключается в том, что в зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a). Естественно, что для этого просто необходимо знать типы элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические), их свойства и графики. Использование графического способа даже схематически помогает найти решение задачи. Если в правой и левой части уравнения (неравенства) находятся функции разных типов, то можно смело утверждать, что решение аналитическим способом такой задачи бессмысленно, не нужно тратить на него время, а лучше сразу же создать графическую иллюстрацию задания. Наглядно и быстро!

Способ II (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После проведенных упрощений возвращаются к исходному смыслу переменных x и a и заканчивают решение.

2. Аналитический способ решения задач с параметром

2.1. Алгоритм решения линейных уравнений с параметром

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида:

p(a)x−q(a)=0, где p(a) и q(a) - выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a. Приведем наше уравнение к виду: p(a)x=q(a),

Отсюда единственное решение:

x=q(a)/p(a) при p(a)≠0.

Если же p(a)=0 и q(a)=0, то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда p(a)=0,а q(a)≠0, то уравнение не имеет решений. По некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с x в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились.

Сформулируем алгоритм решения линейного уравнения с

параметром:

1. упростите уравнение так, чтобы оно приняло вид ax=b.

2. исследуйте коэффициент при неизвестном (если он содержит параметр) на равенство нулю (а = 0, а ≠ 0).

3. исследуйте корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра (уравнение имеет единственный корень, бесконечное множество корней, не имеет корней).

4. запишите ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Пример 1.

Решить уравнение ax−5a=7x−3при всех возможных a.

Перенесем все одночлены с x влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем x за скобку, как общий множитель:

x(a−7)=5a−3;

Первый случай, когда (a−7)≠0. Тогда мы можем поделить все уравнение на a−7и выразить:

x=(5a−3)/(a−7).

Второй случай, когда a−7=0, получим уравнениеx∗0=32,которое не имеет решений. Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра а. Например, x=2/7 при a=0,x=−1/3 при a=1 и т.д. 
Ответ: При a=7 x∈∅; 
при a≠7a≠7 x=(5a−3)/(a−7).

Пример 2. Решить уравнение  .

Это линейное уравнение вида  . Рассмотрим три ветви решения, а по сути три задачи, на которые распадается исходная задача.

1)     если  , то уравнение приобретает вид   и не имеет решений;

2)     если  , то получаем   и очевидно   любое число;

3)     если  , то имеем   - единственное решение.

Ответ. Если  , то решений нет; если  , то решений бесконечно много; если  , то   - единственное решение.

Пример 3.

Найдите все a, при которых корнем уравнения

ax+5a−2(3x+2)=−5x+a²будет любое число.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие x, влево, а остальные – вправо.

ax−6x+5x=−5a+4+a²

Приведем подобные

ax−x=a²−5a+4

Вынесем за скобку x и разложим квадратный многочлен на множители:

x(a−1)=a²−5a+4

x(a−1)=(a−1)(a−4)

Первый случай: 

(a−1)=0,т.е. a=1

x∗0=(a−1)(a−4)

x∗0=0.

Решением уравнения будет любое число. 
Второй случай: (a−1)≠0, т.е. a≠1

x=(a−1)(a−4)/(a−1)=a−4.Решением данного уравнения будет одно число x=a−4. 
Ответ: a=1.

Пример 3.

Решитеуравнение 

x/(5a+x)−(5a+x)/(x−5a)=100a²/(25a²−x²).

Из ОДЗ видно, что 5a+x≠0 и x−5a≠0, таким образом, x≠±5a. Приведем уравнение к общему знаменателю 

x²−25a² и умножим на него все уравнение:

x²−5ax−x²−10ax−25a²=−100a²

−15ax=−75a²

ax=5a².

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: a=0. Получаем уравнение 

0∗x=0. Решениями этого уравнения будет любое число, кроме x=0 (ОДЗ x≠±5a).

Второй случай: 

a≠0. Выражаем x=5a²/a=5a. Этот корень не будет удовлетворять ОДЗ.

Ответ: При a=0 решениями уравнения будут все действительные числа, кроме x=0.Если a≠0, то решений нет.

2.2. Решение линейных неравенств с параметром

Решая линейное неравенство с параметром, необходимо привести его к виду ax>b,

затем рассмотреть значения параметра, при которых коэффициент при переменной х является положительным, отрицательным и равным нулю. 

Необходимо помнить:

Неравенствавида ах ≤ 0,  ах > в и т.д. исследуются и решаются аналогично.

Пример 1.

  Решить неравенство .

Если , то  ; если  , то  любое; если  , то  .

Ответ.  , если  ;  , если  ;  , если  .

Пример 2.

При каких a неравенство 2x – a<3 является следствием неравенства 3a − x > 5?

По определению, неравенство 2 является следствием неравенства 1 (или из неравенства 1 следует неравенство 2), если каждое решение неравенства 1 является также решением неравенства 2; иными словами, множество решений неравенства 1 содержится в множестве решений неравенства 2.

В нашем случае неравенством 1 является неравенство 3a − x > 5, решения которого:

x < 3a − 5.

Неравенством 2 служит неравенство 2x – a<3, решения которого:

x < (3 + a)/ 2 .

Множество первого неравенства должно содержаться в множестве второго, то есть каждая точка луча (−∞; 3a−5) должна принадлежать лучу (−∞; (3+a)/ 2) . Так будет, если вершина первого луча находится левее вершины второго луча или совпадает с ней: 3a − 5 <(3 + a)/ 2 . Остаётся решить это неравенство: a < 13/ 5 . Ответ: a < 13 /5 .

   Пример 3. При каких значениях параметра   неравенство   является следствием неравенства  ?

         Из формулировки задачи ясно, что множество решений первого неравенства должно содержать множество решений второго неравенства. Если переписать данные неравенства в виде   и  , то очевидно, что условие задачи выполнится, если  , т.е.  .

Ответ.  .

2.3. Квадратные уравнения с параметром

Уравнение вида ах²+bx+c=0, где х – переменная, а0 называется квадратным. Корни квадратных уравнений х₁; х₂. Дискриминант квадратного уравнения D = b²–4ac. Теорема Виета: х₁+ х₂ = -b,

х₁ х₂ =c.

Алгоритм решения квадратного уравнения с параметром:

1) упростите уравнение так, чтобы оно приняло вид квадратного уравнения относительно неизвестного: ax2 + bx + c = 0;

2) исследуйте коэффициент уравнения при x² , если он содержит параметр, на равенство нулю (a = 0, a ≠ 0);

3) определите вид уравнения и исследуйте корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра:

- если a = 0, то уравнение линейное и необходимо найти его корни в соответствии с алгоритмом решения линейного уравнения;

- если a ≠ 0, то уравнение квадратное. Исследуйте наличие корней и найдите их при каждом фиксированном значении параметра из условия, что D >0, D < 0, D = 0.

4) собрав ранее полученные результаты в зависимости от значений параметра, запишите ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Пример 1. При каких значениях a уравнение ax² – x + 3 = 0 имеет единственное решение? Рассмотрим случай, когда a = 0, то данное уравнение примет вид: -x + 3 = 0, то оно является линейным и имеет единственное решение x = 3.

Если a ≠ 0, то имеем квадратное уравнение. D = 1 – 12a. Чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы D = 0.

1 – 12a = 0, a = 1/12.

Ответ: Уравнение имеет единственное решение при a = 0 или a = 1/12.

Пример 2. При каких значениях a уравнение (a – 2)x ² + (4 – 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Если a – 2 = 0, т.е. a = 2, то уравнение примет вид 0x = -3 и не имеет решений.

Если a ≠ 2, то данное уравнение – квадратное. Уравнение имеет единственный корень, если D = 0. D = (4 – 2a)² – 12(a – 2) = 16 – 16a +4a² – 12a + 24 = 4a² – 28a + 40,

4a² – 28a + 40 = 0, a²– 7a + 10 = 0, пот.Виета a = 2 или a = 5. Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то a = 5.

Ответ: Уравнение имеет единственное решение при a = 5.

Пример 3.

При каких значениях a уравнение ax²– 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?

Если a = 0, то уравнение примет вид -4x = -3 и имеет единственный корень x = ¾ , что не удовлетворяет условию.

Если a ≠ 0, то данное уравнение – квадратное. Оно имеет два корня, если его D > 0.

D = 16 – 4a(a + 3) = 16 – 4a² – 12a = - 4a² – 12a + 16,

- 4a²– 12a + 16 > 0, a² + 3a – 4 < 0.

Решая квадратичное неравенство, получаем -4 <a< 1. Однако в полученный промежуток (-4;1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо, то -4 < a < 0 или

0 < a < 1.

Ответ. Уравнение имеет более двух корней при -4 < a < 0 или 0 < a < 1.

Пример 4. . При каких значениях a уравнение a(a + 3)x² + (2a + 6)x – 3a – 9 = 0 имеет более одного корня?

Если a(a + 3) = 0, т.е. a = 0 или a = -3, то уравнение примет вид:

При a = 0 6x = 9, x = 1,5 – единственное решение;

При a = -3 0x = 0, x – любое действительное число.

Если a ≠ 0 и a ≠ -3 получаем квадратное уравнение a(a + 3)x² + 2(a + 3)x – 3(a + 3) = 0, или, разделив обе части уравнения на (a + 3), уравнение ax² + 2x – 3 = 0, дискриминант которого равен 4(1 + 3a), D > 0 при a > - 1/3. Следовательно, при a > - 1/3 уравнение имеет два корня, но в данный промежуток входит число 0, которое мы уже проверили и оно не подходит, то из данного промежутка надо исключить a = 0.

Ответ: Уравнение имеет более двух корней при a = -3, -1/3 < a < 0, a > 0.

Пример 5. Решите относительно x уравнения: а) x² -ax=0

D=a² , значит D>0 или D=0.

D=0, то a 2=0, a =0, то x=0.

D>0, a 2>0 для любого a ≠ 0, то x = a.

Ответ: если a=0, то x=0; если a ≠ 0, то x=a.

Пример6. При каких значениях параметра   уравнение 

 имеет единственное решение?

Возможны два случая: если  , то исходное уравнение превращается в линейное,  решение которого находится по иным правилам, чем решение квадратного уравнения в случае  .

1)     если  , то уравнение приобретает вид   и решений не имеет;

2)     если  , то искомые значения параметра – это корни  уравнения   , где   - дискриминант квадратного уравнения. Эти корни имеют значения   и . Поскольку мы установили, что при   решений нет, то окончательно получаем  .

Ответ:  .

2.3.1. Знаки корней квадратного уравнения

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

- Оба корня квадратного уравнения x1 и x2 положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

- Оба корня квадратного уравнения x1 и x2 отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения x1 и x2 имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

 Пример 7.

Найдите все значения a, при каждом из которых все решения уравнения

(a-3)x²-2ax+5a=0 положительны.

Уравнение является квадратным, кроме случая, когда a-3=0. Рассмотрим этот случай отдельно

1) a=3. Получим линейное уравнение

-6x+15=0

x=2,5

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При a≠3 уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то D неотрицателен.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение  . Решение первого неравенства:
.

Решение системы:   .

С учетом пункта 1 получим ответ

Ответ:  .

2.3.2.  Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра

 Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Пусть квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + с имеет корни x₁ и x₂,   - абсцисса вершины параболы y = ax² + bx + с, d - заданное число. Рассмотрим ряд утверждений, связанных с взаимным расположением x₁ , x₂ и числа d.

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше числа d, (рис.1) необходимо и достаточно выполнение условий.

Пример:

При каких значениях параметра а корни уравнения ax²-(2а + 1)х + 3а - 1 = 0 больше единицы?

1. При а = 0 х = -1 - не удовлетворяет требованию задачи.

2. При а   

Ответ: 

Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше числа d, (рис.2) необходимо и достаточно выполнение условий

Теорема 3. Для того чтобы число d было расположено между корнями квадратного трёхчлена, (рис.3) необходимо и достаточно выполнение условий

Теорема 4. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена лежали в интервале (d: p), (рис.4) необходимо и достаточно выполнение условий

 (4)

Теорема 5 . Для того чтобы отрезок [d; p] лежал в интервале (x₁; x₂), (рис.5) необходимо и достаточно выполнение условий

 или   (5)

2.4. Решение квадратных неравенств с параметром

Общая схема решения квадратного неравенства , где х - неизвестное; - действительные числа или функции от параметра, причем .

1. Решить неравенство при .

2. Найти дискриминант и корни квадратного трехчлена, считая, что ; указать знаки дискриминанта в зависимости от параметра.

3. Решить неравенство, если:

а) б) в)

1. Решить неравенство, если:

а) б) в)

1. Записать ответ.

1. Решить неравенство:

а) .

1. .

; . Знаки :
Если , то , причем при .

1. а) , тогда ;
   б)ни при каких значениях m.

2. а) , тогда ;

б) , тогда решений нет.

Ответ: 1) при решений нет;

2)при ;

3) , ;

4) при , .

3. Разбор некоторых задач с параметром из ЕГЭ

Пример 1.Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет более двух корней.

Преобразуем исходное уравнение:

Последнее уравнение имеет более двух корней или если a=−1, или если уравнение   имеет два различных корня, отличных от 3:

откуда   или 

Исходное уравнение имеет более двух различных корней при    при a=−1, при    и при 

  Ответ: 

Пример 2. Найдите все значения a, при каждом из которых система ЕГЭ,2018

имеет единственное решение.

Решение системы может быть единственным в двух случаях.

1 случай. Единственное решение является граничной точкой для множества решений каждого из двух неравенств. В этом случае это единственное решение должно удовлетворять системе уравнений

Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

Если   то   а значит,   При этом значении a система принимает вид:

Единственное решение 

Если   то   и   Система принимает вид:

При этом значении a система имеет бесконечно много решений.

2 случай. Одно из неравенств имеет единственное решение, удовлетворяющее другому неравенству.

Первое неравенство имеет единственное решение при

При этом первое неравенство имеет единственное решение   которое удовлетворяет второму неравенству.

Второе неравенство имеет единственное решение при

При этом второе неравенство имеет единственное решение   которое не удовлетворяет первому неравенству.

Ответ: 

Пример 3.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение.

Решение. Вычтем из второго уравнения первое и сгруппируем слагаемые:

Пусть     тогда   Получаем систему

Первое уравнение имеет решение при   тогда система имеет решения в том случае, когда уравнение   имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий условию   Дискриминант этого квадратного уравнения равен

Значит, уравнение имеет корни при 

Рассмотрим квадратичную функцию 

 Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины   При   абсцисса вершины   Значит, только один (меньший) корень уравнения   может быть не больше   Для этого достаточно, чтобы 

Ответ: 

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/586908-statja-na-temu-analiticheskij-sposob-reshenij