Проект на тему «Способы решения квадратных уравнений»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………..……………………………….… 3

1. Определение квадратного уравнения, его виды………………………………………3

2. Способы решения квадратных уравнений…………………………………………….4

2.1. Решение неполных квадратных уравнений………………………………………4

2.2. Разложение левой части уравнения на множители………………………………5

2.3. Метод выделения полного квадрата………………………………………………6

2.4. Решение квадратных уравнений по формуле…………………………………….6

2.5. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета……………7

2.6. Решение уравнений с помощью теоремы Виета (обратной)…………………….7

2.7. Решение квадратных уравнений способом «переброски»……………………….8

2.8. Свойства коэффициентов квадратного уравнения……………………………….8

2.9. Графическое решение квадратного уравнения…………………………………...9

Заключение………………………………………………………………………………...11

Список литературы………………………………………………………………………..11

Приложения………………………………………………………………………………..12

Введение

Актуальность.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они представляют собой большой и важный класс уравнений, которые решаются как с помощью формул, так и с помощью нестандартных способов. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики мы изучили квадратные уравнения, узнали различные способы решения уравнений второй степени. Этот материал меня заинтересовал, и я решила узнать, существуют ли другие способы решения квадратных уравнений. Это определило тему исследования: «Способы решения квадратных уравнений».

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Мне пришла идея рассмотреть те способы решения квадратных уравнений, на которые недостаточно времени уделено на уроках или совсем не рассматриваются в школьном курсе. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Цель исследования: изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Задачи:

1. Изучить учебно–методическую литературу по решению квадратных уравнений.

2. Провести анализ различных способов решения квадратных уравнений.

3. Опробовать методы решения квадратных уравнений на практике

4. Собрать дидактический материал.
Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: методы решения квадратных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в приобретении навыка решения квадратных уравнений различными способами.

1.Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение:Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax² + bx + c = 0,

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения.

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

1) ах² + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах² + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах² = 0.

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство. 0=0.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

2.Способы решения квадратных уравнений

2.1 Решение неполных квадратных уравнений

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Пример: а)2х²-7х=0

б)х²-16=0

в)5х²=0

Решение:

а) 2х²-7х=0; х(2х-7)=0

х=0,

2х-7=0; х=3,5;

Ответ: х₁=0, х₂=3,5.

б) х²-16=0; х²=16

Ответ: х₁=4, х₂=-4

в) 5х²=0; х²=0; х=0

Ответ: х=0.

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и ни одного корня.

2.2 Разложение левой части уравнения на множители

Решим уравнение х² - 2х - 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х² - 2х - 8 = х² - 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -42).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 2)(х -4)=0.

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4. Это означает, что числа - 2 и 4 являются корнями уравнения х² - 2х - 8 = 0.

2.3 Метод выделения полного квадрата

Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде:

х² + 6х = х² + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как

х² + 2• х • 3 + 3² = (х + 3)².

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х² + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

х² + 6х - 7 = х² + 2• х • 3 + 3² - 3² - 7 = (х + 3)² - 9 - 7 = (х + 3)² - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)² - 16 =0, (х + 3)² = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х₁ = 1, или х + 3 = -4, х₂ = -7.

2.4 Решение квадратных уравнений по формуле

а) Решим уравнение: 4х² + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b² - 4ac = 7² - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,

Если D> 0, то уравнение имеет два разных корня;

б) Решим уравнение: 4х² - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b² - 4ac = (-4)² - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0, D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнениеах² + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х² + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b² - 4ac = 3² - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D<0

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, уравнение ах² + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула корней квадратного уравнения ах² + bх+с=0 позволяет найти корни любогоквадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

2.5 Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х² + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x₁ x₂ = q,

x₁ + x₂ = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

Например, x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 2 и x₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x² + 8x + 7 = 0; x₁ = - 7 и x₂ = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например, x² + 4x – 5 = 0; x₁ = - 5 и x₂ = 1, так как q= - 5 и p = 4;

x² – 8x – 9 = 0; x₁ = 9 и x₂ = - 1, так как q = - 9 и p = - 8

2.6 Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета (обратной)

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р, х₁х₂ = q, то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х² +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Пример

х² +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что х₁ +х₂ = - 3 и х₁х₂ = - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями уравнения.

2.7 Решение квадратных уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнениеа²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у² + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х₁ = у₁/а и х₁ = у₂/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

 Пример.

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим

у² – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5 х₁ = 5/2 x₁ = 2,5

у₂ = 6 x₂ = 6/2 x₂ = 3.

Ответ: 2,5; 3

2.8 Свойства коэффициентов квадратного уравнения

 Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

2.9 Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении х² + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х² = - px - q.

Построим графики зависимости у = х² и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1).

Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х² - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 3х + 4.

Построим параболу у = х² и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х₁ = - 1 и х₂ = 4.

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х² - 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 2х - 1.

Построим параболу у = х² и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х² - 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 5х - 5. Построим параболу у = х² и прямую у = 2х - 5. Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х² - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

Заключение

Квадратные уравнения умели решать ещё более трех тысяч лет назад. Способы решения были сложными. Общее правило решения уравнений вида: ax² + bx = c, где a<>0, b и c – любые, которым мы пользуемся и сейчас сформулировал индийский ученый Брахмагупта (VII в. н. э.).

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Способов решения квадратных уравнений очень много. Я нашла 9 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ЕГЭ.

Данная исследовательская работа может быть использована учителями математики на уроках и элективных курсах по математике при изучении темы «Квадратные уравнения», учениками для расширения и углубления знаний по решению квадратных уравнений. Любой учащийся, используя эту исследовательскую работу, может самостоятельно изучить данную тему.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой учеников, всё это нам даёт возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Литература

1.Арутюнян, Е.Б.Занимательная математика/ Е.Б. Арутюнян Москва «Аст – пресс» 1999.

2. Глейзер, Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М., Просвещение, 1982.

3. Окунев , А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. / Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

4. Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

5. Соломник , В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

6. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение,

7..Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры/ Л.Ф. Пичурин. Москва «Просвещение» 1990г.

Приложение 1.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/587084-proekt-na-temu-sposoby-reshenija-kvadratnyh-u