Решение ключевых задач по геометрии при подготовке к ЕГЭ

Решение ключевых геометрических задач для 11 класса, подготовки к ЕГЭ. (C2, С4).

Задачи из курса планиметрия.

Треугольник со сторонами 20, 48, 52 , центр окружности лежит на большей стороне, а две другие стороны являются касательными к этой окружности. Найти радиус окружности.

Ответ: 120/17

В трапеции основания равны 2 см и 8 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей, около нее, если известно, что эти

окружности существуют.

Ответ:

Равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковой стороной 36 см. Какой длины отрезки нужно отложить от вершины треугольника на его боковых сторонах, чтобы соединив их концы, получить трапецию с периметром, равным 80 см?

Ответ: 12 см.

Треугольник, АС =18 см,см. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла ?

Ответ: 2:1.

Прямоугольный треугольник. Биссектриса острого угла треугольника делит противоположный катет на отрезки 8 см и 10 см. Определить площадь треугольника.

Ответ: 108 см².

Из вершины острого угла ромба проведены перпендикуляры к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принадлежит эта вершина. Длина каждого перпендикуляра равна 3 см, а расстояние между их основаниями 3см. Вычислить длины диагоналей ромба .Ответ: 6 см, см.

Дана окружность, радиус 11 см, точка Kудаленная на 7 см от центра окружности Через точку K проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков, на которые точка K делит хорду

Ответ: 12 см и 6 см.

Дан равнобедренний треугольник. Основание треугольника равно см, а медиана боковой стороны 5 см. Найти длину боковой стороны.

Ответ: 6 см.

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 6 см, а один из катетов равен 20 см.

Две касательные к окружности пересекаются под углом 60⁰. Найти расстояние от точки их пересечения до центра окружности, если радиус равен 4 см.

Ответ: 8 см.

Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 6 см, периметр равен 84 см. Найти площадь трапеции.

Ответ:192 см².

Диагонали трапеции равны 7 см и 8 см, а основания 3 см и 6 см. Какова площадь трапеции?

Ответ: см².

Из одной точки, находящейся вне окружности проведены касательная и секущая к этой окружности. Касательная большего внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 1 см и 2 см. Какова длина секущей?

Ответ: 9 см.

Секущая_ABCотсекает дугу_BC,содержащую 112⁰. Касательная _ADточкой касания _Dделит дугу в отношении 3:4. Определить угол BAD

Ответ: 8°.

Геометрические задачи с применением тригонометрии.

1. В трапеции меньшее основание равно 2, прилежащие углы по 135°. Угол между диагоналями, напротив основания, равен 150°. Какова площадь трапеции?

Ответ: 2.

2. Найти косинус острого угла ромба, если прямая, проведенная через его вершину, делит угол в отношении 1:3, а противолежащую сторону в отношении 3:5.

Ответ:

3. В окружность радиуса _Rвписан треугольник, вершины которого делят окружность на 3 части в отношении 2:5:17. Найти площадь треугольника.

Ответ:

4. Около круга радиуса _rописана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции составляет с большим основанием угол_α.Найти радиус круга, описанного около трапеции.

Ответ:

5. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен _α.Высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного круга на _m.Найти радиус описанного круга.

Ответ:

Задачи из курса стереометрия.

1.Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 9 и 12, а все боковые ребра равны 12,5. Найти объем пирамиды.

Ответ: 360.

2. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны основания равны 8 и 2, а высота 4. Найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Ответ:100; .

3. Радиус основания конуса равен 2, образующая составляет с основанием угол

градусов. Найти объем правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.

Ответ:6.

В треугольной пирамиде три грани взаимно перпендикулярны, а их площадь равна 2, 4 и 9. Найти объем пирамиды.

Ответ:4.

5. В прямоугольном параллелепипеде площадь основания равна 300, боковое ребро равно 16. Известна также площадь сечения, проведенного через концы трех ребер, исходящих из одной вершины: она равна 250. Определить объем параллелепипеда.

Ответ:4800.

6. Полушар вписан в конус так, что его основание лежит на основании конуса. Высота конуса равна 20, образующая равна 25. Найти радиус полушара.

Ответ:12.

7. Высота конуса равна 20, а радиус основания 17. Найти площадь сечения, проходящего через вершину конуса на расстоянии 15 от центра основания конуса.

Ответ: 200.

8. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см, а две стороны основания и диагональ параллелепипеда образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 5 см. Найти площадь основания параллелепипеда.

Ответ: 176.

9. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм, 4 стороны которого равны 26 и 10, а синус угла между ними равен . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его объем равен 40.

Ответ:36.

10. В правильную шестиугольную пирамиду вписан прямой конус и около нее описан прямой конус. Даны высота пирамиды = 10 и радиус основания описанного конуса = 6. Найти разность объемов описанного и вписанного конусов.

Ответ:.

11. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы со стороной основания 6 равна 288. Найти диагональ боковой грани.

Ответ: 10.

12. В правильной четырехугольной пирамиды проведено диагональное сечение, оно представляет собой правильный треугольник. Какова сторона основания пирамиды, если ее объем равен 1 .

Ответ:

13.Шар описан около прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник со сторонами 6 и 8. Найти объем шара, если высота призмы равна 24.

Ответ:

В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 12 и 9. Найти косинус угла наклона бокового ребра к основанию, если все ее боковые ребра равны 12,5.

Ответ:0,6.

15. В правильной четырехугольной пирамиде тангенс угла между апофемами двух противоположных граней равен . Найти величину плоского угла при вершине грани пирамиды.

Ответ: 75°.

Ребро правильного тетраэдра равна Определить радиус шара, поверхность которого касается всех ребер тетраэдра. Ответ дать при

Ответ: 2.

В шар вписана пирамида с высотой 10, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найти радиус шара, если известно, что высота пирамиды проходит через центр шара.

Ответ: 6,25.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, у которого сумма катета и гипотенузы равна 27, а угол между ними равен . Через другой катет и вершину противоположного угла другого основания проведена плоскость, образующая с основанием угол 60°. Найти объем призмы.

Ответ: .

Гранями треугольной пирамиды являются равные равнобедренные треугольники. Углы при вершине каждого такого треугольника равны 80°, а его основание равно 4. Определить объем и площадь полной поверхности пирамиды.

Ответ: а)

Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара? В ответе указать объем большей части.

Ответ: а) см³.

Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Чему равен радиус основания цилиндра?

Ответ:14 см.

Высота прямой треугольной призмы равна 5 м, ее объем равен 24 м³, а площади граней относятся как 17:17:16. Найти периметр основания.

Ответ: 10.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/59786-reshenie-kljuchevyh-zadach-po-geometrii-pri-p