Признаки подобия треугольников: от Фалеса до Ле Корбюзье

Я думаю, что никогда до настоящего

времени мы не жили в такой

геометрический период.

Все вокруг – геометрия”

1. Приветствие. Орг. Момент

Здравствуйте, садитесь.

Эти слова, сказанные великим французским архитектором Де Корбюзье в начале 20 века, очень точно характеризуют и наше время

1. Подготовка к активной познавательной деятельности. Постановка цели.

Давайте с Вами вспомним о причинах возникновения геометрии.

Геометрия - одна из самых древних наук. Она возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: "Не знающие геометрии не допускаются!"

Геометрические знания широко применяются в жизни - в быту, на производстве, в науке.

Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор.

-Как вы думаете, что мы будем делать сегодня на уроке?

- Какова наша цель? (Решение практических задач с использованием подобия)

- Да, сегодня мы обсудим, как свойства подобных треугольников могут быть использованы для измерительных работ на местности.

Но перед этим вспомним некоторые из них.

Определите, по какому признаку подобны треугольники?

- Что общего?

Используя подобие треугольников можно измерить огромные расстояния и высоты используя подручные средства, и сегодня мы будем решать две задачи:

• определение высоты предмета;

• определение расстояния до недоступного объекта.

Работать будем в парах и группах, правила работы перед вами. Работаем все на достижении одной цели.

III.Работа в группах

Рассмотрим несколько случаев из истории и литературы.

Сейчас каждая группа получит задачу, решённую много лет и даже веков назад. Вам необходимо понять и объяснить суть решения, сделать чертёж для решения задачи, т.е. перевести её на язык геометрии и объяснить, для чего нужно было решать эту задачу. Каждая пара в составе группы будет выполнять одно из заданий: объяснение сути метода, чертёж, иллюстрирующий решение, обоснование на основе какого-либо признака подобия, но в итоге представить общую работу группы. На работу вам даётся 10 мин. На выступление 5.

Критерии оценивания указаны в карте урока.

1. Понятна суть метода.

2. Правильная геометрическая иллюстрация.

3. Правильное применение признака подобия.

1. Определение высоты предмета по длине его тени.

Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них люди не умели решать. Например, за шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский научил египтян определять высоту пирамиды..

"Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлёк пользу из своей тени.

Притча.

"Усталый северный чужеземец пришел в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона и что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.

- Кто ты? - спросил верховный жрец.

- Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

- Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? - жрецы согнулись от хохота.

- Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.

- Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого Египта.

- Хорошо, сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Проверим твое искусство".

Вот смотрите, - продолжал Фалес, - мой рост составляет три царских вавилонских локтя. А вот моя тень. Её длина такая же. И какой бы мы предмет не взяли именно в это время тень от него, если поставить его вертикально, точно равна высоте предмета.

Вопрос классу: Однако, способ предложенный Фалесом, применим не всегда. Почему?

Преимущества способа Фалеса:

Недостатки:

1. Определение высоты предмета по шесту.

Не только учёные, но и писатель Жюль Верн знал способ измерения высоты

отрывок из романа.

- Сегодня нам надо измерить высоту площадки скалы Дальнего вида, - сказал инженер.

- Вам понадобится для этого инструмент? - спросил Герберт.

- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.

Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.

Взяв прямой шест, длиной 10 футов, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.

- Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

- Да.

- Помнишь свойства подобных треугольников?

- Их сходственные стороны пропорциональны.

- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим - расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же -мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

- Понял! - воскликнул юноша. - Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

- Да, и, следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.

Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам.

Преимущества способа

Недостатки:

-Скажите, в современном мире есть необходимость измерить высоту большого объекта?

-Есть ещё несколько простых способов определения высоты предмета, например, в настольной книге охотника-спортсмена приведён способ зеркала (можно использовать и лужу.) кому интересно, могут найти описание этого способа и измерить сего помощью высоту любого объекта.

А мы переходим к решению следующей задачи: определение расстояния до недоступного объекта.

1. Практическая работа

Сейчас вы решали задачи предложенные мной. Но в жизни часто приходится самостоятельно принимать решения, используя и те знания, которые получили в школе. Свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности. Мы рассмотрим одну задачу: определение расстояния до недоступной точки. Для примера мы попробуем измерить ширину реки.

Не переплывая реки, измерить ее ширину – так же просто, как определить высоту, скажем, дерева, не залезая на верхушку. В обоих случаях определение искомого расстояния заменяется определением другого расстояния, легко поддающегося непосредственному измерению. В данном случае, мы определим ширину реки с помощью признаков подобия треугольников.

До дома, стоящего на противоположном берегу реки необходимо перекинуть провод. Попробуйте, используя подобие найти расстояние между двумя столбами. Ваша задача изготовить модель, которая впоследствии станет учебным пособием.

- Используя свои знания, подручные материалы, покажите, как это сделать на местности

- Постройте геометрическую иллюстрацию способа

- Укажите, какие измерения необходимо сделать

Критерии оценивания работы:

1. Реалистичность

2. Доступность изложения.

3. Правильное применение признака подобия.

1. Представление результатов работы

Если все найдут один способ, то показать другой.

Конечно, существуют специальные приборы для таких измерений, но они не всегда под рукой.

Научиться решать практические задачи - одна из целей геометрии, это настолько важно, что подобные задачи включены в государственные экзамены ОГЭ и ЕГЭ.

Сейчас, используя материал урока, решите любую задачу ОГЭ на выбор, если нет, на дом любые три задачи.

1. Подведение итогов урока

-Какую цель мы ставили?

- Смогли достигнуть? Что показали задачи , которые мы разбирали на уроке.

- Оцените свою работу, согласно критериям

Если вы довольны работой на уроке в целом, отметьте это треугольником, подобным жёлтому, если не удовлетворены, то - синему.

-По какому признаку подобны треугольники?

Спасибо за урок.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/607545-konspekt-uroka