Индивидуальный прект

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №2

МБОУ СОШ №2

Индивидуальный проект по теме

«Невозможные фигуры»

Выполнил: Леонов Даниил ученик 10Б класса

Руководитель: учитель математики

Ромашова Наталья Владимировна

г. Константиновск

2022г

Содержание

Введение (3)

1. Определение невозможных фигур (4)

2. Виды невозможных фигур (6)

2.1. Удивительный треугольник – трибар(6)

2.2. Бесконечная лестница (7)

2.3. Космическая вилка (7)

2.4. Невозможные ящики (8)

3. Применение невозможных фигур (9)

3.1. Невозможные фигуры в иконописи (9)

3.2. Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре (9)

3.3.Невозможные фигуры в живописи (10)

3.4.Невозможные фигуры в оформительском искусстве (11)

Заключение (12)

Список литературы (13)

Приложение (14)

Введение

На рекламных плакатах, вывесках, журналах используются фигуры, интригующие своей неправильностью и загадочностью. Посмотрев на них, создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Их называют невозможными.

Невозможные фигуры известны, чуть ли, не со времен наскальной живописи, их систематическое изучение началось лишь в середине XX века.

В 1934 году Оскар Рутерсвард (OscarReutersvard) случайно создал свою первую невозможную фигуру - треугольник, составленный из девяти кубиков, но вместо того, чтобы что-то исправить, принялся создавать другие невозможные фигуры одну за другой.

Даже такие простые объемные формы, как куб, пирамида, параллелепипед можно представить как комбинацию нескольких фигур, находящихся на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Всегда при этом должна быть линия, по которой изображение отдельных частей совмещающих в целостную картину.

Невозможная фигура –это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не может существовать в действительности, но который, однако, можновидеть как двухмерное изображение. Это один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

Перед нами встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»

Предмет исследования: зрительные иллюзии.

Объект исследования: невозможные фигуры.

Цель проекта:выяснить, как создаются невозможные фигуры.

Задачи проекта:

1. Изучить литературу по теме «Невозможные фигуры» и обратить внимание на их классификацию.

2. Изучить способы построения невозможных фигур.

3. Изготовить невозможную фигуру.

Актуальность: в нашей жизни бывают случаи, когда надо нарисовать геометрическое тело на листе бумаги. Чаще всего приходится работать с компьютерной графикой архитекторам, работникам телевидения и рекламных агентств, дизайнерам. Для этого нужно иметь пространственное воображение.

Методы:

• изучение литературы и материалов интернет- сайтов по данной теме;

• беседа с учителем;

• наблюдение, анкетирование;

• анализ полученных результатов;

• систематизация найденного материала;

• моделирование объекта исследования.

Гипотеза: в нашей жизни нет ничего невозможного, главное знать, как правильно поступить.

В данной работе мы показали, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками.

Практическая значимость.

Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.

Глава 1. Теоретическая часть

Определение невозможных фигур

До сих пор не существует чёткого определения невозможных фигур. Мною было найдено несколько различных подходов к определению этого понятия.

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры.

Невозможные фигуры – это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах - в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других - с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

Как правило, чтобы трехмерная модель невозможной фигуры выглядела невозможной, она должна рассматриваться с какого-то определенного угла обзора, чтобы возникла иллюзия невозможности.

Данная фотография (Рис.1) создана известным популяризатором работ М.К. Эшера, автором большого количества книг Бруно Эрнстом. На переднем плане фотографии мы видим фигуру невозможного треугольника. На заднем плане установлено зеркало, в котором отражается та же фигура с другой точки зрения. И мы видим, что на самом деле фигура невозможного треугольника является не замкнутой, а разомкнутой фигурой. И только с той точки, с которой мы обозреваем фигуру кажется, что вертикальный брусок фигуры заходит за горизонтальный брусок, вследствие чего фигура кажется невозможной. Если бы мы сместили угол обзора немного, ты нам сразу бы стал виден разрыв в фигуре, и она потеряла бы свой эффект невозможности. Тот факт, что невозможная фигура выглядит невозможной только с одной точки зрения характерен для всех невозможных фигур.

Некоторые книги утверждают, что невозможный трезубец принадлежит к классу невозможных фигур, которые не могут быть воссозданы в реальном мире. На самом деле это не так. ВСЕ невозможные фигуры можно увидеть в реальном мире, но невозможными они будут выглядеть только с одной единственной точки. Примером этого может послужить данная фотография (Рис. 2).

В Институте Глазной Оптики в городе Аахен (Германия) смогли решить эту задачу, создав специальную установку. Конструкция состоит из двух частей. В передней части расположены три круглые колонны и строитель. Эта часть освещается только внизу. За колоннами расположено полупроницаемое (half-permeable) зеркало с отражающим слоем, расположенным спереди, то есть зритель не видит то, что находится за зеркалом, а видит в нем только отражение колонн. 
Изображение в зеркале меняется, когда включаются источники света, расположенные за зеркалом. Тогда зрителю становятся видны две квадратные колонны и поперечная балка, находящиеся за зеркалом и освещаемые только в верхней части.

Рассмотрим знаменитую картину Мориса Эшера/MauritsEscher "Водопад"/"Waterfall" (рис. 3) и ее упрощенную компьютерную модель (рис.4), выполненную в фотореалистичном стиле.

В этой работе Эшера изображен парадокс — падающая вода водопада управляет колесом, которое направляет воду на вершину водопада. Конструкция составлена из трёх перекладин, положенных друг на друга под прямым углом. Водопад на литографии работает как вечный двигатель. В зависимости от движения взгляда попеременно кажется, что обе башни одинаковы и что расположенная справа башня на этаж ниже левой башни.

При попытке соорудить двигатель согласно чертежу (или при внимательном анализе последнего) "обман" всплывает сразу - в трехмерном пространстве такие конструкции геометрически противоречивы и могут существовать только на бумаге, то есть на плоскости, а иллюзия "объема" создается лишь за счет признаков перспективы (в данном случае - умышленно искаженных).

Виды невозможных фигур

"Невозможные фигуры" делятся на 4 группы:

1.Удивительный треугольник – трибар

Эта фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл (рис.7) и Роджер (рис.6)Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как "трехмерную прямоугольную структуру"[2]. Она также получила название "трибар".

С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара (рис.8-11).

Как известно, всякое двухмерное изображение представляет собой проекцию трехмерной фигуры на плоскость (лист бумаги). Способов проекции существует достаточно много, но в рамках каждого из них отображение выполняется однозначно, то есть существует строгое соответствие между трехмерной фигурой и ее двухмерным изображением. Однако аксонометрические, изометрические и другие популярные способы проекции являются однонаправленными преобразованиями, осуществляемыми с потерей информации и потому обратное преобразование может быть выполнено бесконечным множеством способов, то есть двухмерному изображению соответствует бесконечное множество трехмерных фигур и любой математик без труда докажет, что такое преобразование возможно для любого двухмерного изображения. То есть, на самом деле никаких невозможных фигур нет!

А вот другое отображение от Матье Хемакерза. Возможных вариантов обратного отображения много (рис.12). Бесконечно много!

2.Бесконечная лестница

Эту фигуру чаще всего называют "Бесконечной лестницей", "Вечной лестницей" или "Лестницей Пенроуза" – по имени ее создателя. Ее также называют "непрерывно восходящей и нисходящей тропой" (рис.13).

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году [2]. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

Секрет бесконечной лестницы Пенроуза кроется в правильном угле наблюдения за объектом. Сразу станет понятно, что в правом угле имеется едва заметный разрыв. В результате конструкция теряет вид лестницы, которая позволяет осуществлять бесконечный подъем или спуск.

Заблуждение происходит из-за неправильной адаптации мозгом полученной от изображения информации. Он не замечает противоречий в соединении элементов конструкции и ошибочно воспринимает все как единое целое. Неправильное восприятие в результате становится оптической иллюзией. Главная хитрость – создание обманчивого представления о предмете.

На сегодняшний день эта фигура одна из самых популярных среди утопических. Ей пользуются в своей профессиональной деятельности психологи, философы, иллюзионисты.

3.Космическая вилка

Следующая группа фигур под общим названием "Космическая вилка". С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов (рис.14), (рис.15).

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее "Скобой, состоящей из трех элементов".

С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто "досадной ошибкой". Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

4.Невозможные ящики

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве".

"Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником "Сумасшедшего ящика" была "Невозможная коробка" (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера (рис.17).

Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.

Применение невозможных фигур

3.1. Невозможные фигуры в иконописи

Христианство очень редко использовало модели несуществующих фигур, но их изображения часто встречаются на иконах и фресках. До нашего времени сохранилось не так уж и много моделей невозможных фигур в храмах. Самым известным из них является изображение невозможного треугольника расположенного на экране перед алтарем (рис.16). Он находится в церкви Святой Троицы, простроенной бенединскими монахами с 1150 по 1550 годы. Впоследствии она была разрушена, в 1869 году – восстановлена и перестроена.

Изображения невозможных фигур встречается на иконах и фресках. Обычно это невозможная колоннада. Основание средней колонны удалено от зрителя. До сих пор исследователи не пришли к выводу о том, является такая конструкция замыслом художника или ошибкой.

Оформление часовни Рождества Богородицы возле деревни Ижевцы в Черновецкой области (Украина) (рис.19). На фресках изображено большое количество невозможных фигур, что является характерным приемом художника. В большинстве других примеров использования невозможных конструкций в иконописи появление невозможных конструкций связано, скорее, с ошибками художников, нежели осознанными намерениями.

3.2.Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре

За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

В последнее время было создано несколько мини скульптур и объемных моделей невозможных фигур. Им даже поставлен памятник.

Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии. Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру (рис. 20).

Но стоит изменить угол зрения, как треугольник из "невозможного" превращается в реальное и эстетически непривлекательное сооружение, не имеющее к треугольникам никакого отношения (рис.21).

В качестве примера невозможных фигур в архитектуре можно привести так называемые Кубические дома (рис.22). Они были построены в 1984 году в Роттердаме (Нидерланды) архитектором ПиетомБломом. Дома развернуты на угол в 45 градусов и расположены по шестиугольной сетке. Конструкция состоит из 32 кубов, соединенных друг с другом. Каждый кубический дом состоит из четырех этажей. На первом этаже – вход, на втором – кухня и гостиная, на третьем – спальня и ванная комната, на четвертом этаже часто устраивают оранжерею. Крыши домов, окрашенные в белый и серый цвета, при взгляде сбоку напоминают горные пики, покрытые снегом. Этот комплекс зданий обладает еще одним интересным свойством. С высоты птичьего полета здания образуют конструкцию, выглядящую как невозможная фигура.

В Бельгии в местечке называющемся Опховен (Ophoven) художник Матье Хемакерза создал свою собственную невозможную фигуру (рис.23). В его варианте у фигуры нет ровных сторон, но есть «законченность». Эффект невозможности можно рассмотреть только под определенным углом обзора, когда все изогнутые линии сливаются в прямые. Если не обращать внимания на тени и блики, то можно рассмотреть «невозможность».

3.3.Невозможные фигуры в живописи

В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм («невозможность») – изображение невозможных фигур, парадоксов. Интерес к импоссибилизму разгорелся к 1980 году. Этот термин был введен в обращение Тедди Бруниусом, профессором искусствоведения копенгагенского университета. Термин этот точно определяет то, что входит в это новое понятие: изображение предметов, которые кажутся реальными, но не могут существовать в физической реальности.

Оп-арт (англ. Op-art – сокращенный вариант opticalart – оптическое искусство) – художественное течение второй половины 20 века, использующее различные зрительные иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Самостоятельным направлением в оп-арте является так называемый имп-арт (imp-art) (рис.24), использующее для достижения оптических иллюзий особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости.

1. 1. Невозможные фигуры в оформительском искусстве

Не редко невозможные фигуры используются для оформления логотипов.

На рисунке 25изображен логотип французской автомобильной компании Renault. В 1972 году её символом стал невозможный четырёхугольник. Так же невозможный треугольник в своем логотипе использует мебельный магазин «Мебельные галлюцинации» (рис.26).

Глава 2. Практическая часть.

1.Анкетирование

Я провел социологический опрос учащихся 1 – 7 классов.

На вопрос: «Знаете ли вы о существовании невозможных фигур?», большинство ребятответили, что ничего не знают о существовании невозможных фигур. Хотя многие из нас машинально чертят геометрические фигуры, когда разговаривают по телефону, и легко изображают невозможные фигуры.

Например, можно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному – и невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то их можно закончить как две балки с одной стороны и три с другой (рис.26).

2.Создание невозможных фигур

Я создал несколько невозможных фигур, чтобы более наглядно представить, как они могут существовать. Для этого я взял в сети интернет развертки для склеивания, ножницы и клей (Рис. 27).

Развертку невозможного треугольника Пенроуза (трибара) распечатал на принтере. В результате получились фигура, на первый взгляд мало похожая на трибар (Рис. 28).

Сначала я подумал, что ошибся в изготовлении, но посмотрев на нее под определенным углом, все отлично получилось. Для создания полной иллюзии необходим правильный угол зрения и верное освещение. Мне понравилось, и яизготовил более сложные фигуры(Рис. 29-30).

Заключение

Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ - что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так - то просто - он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.

Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного - все эти требования современной жизни заставляют искать новые методы, которые способны изменить пространственное мышление, воображение.

В своей работе я подтвердил гипотезу, которую выдвигал в самом начале.

Изучив литературу по теме и проведя практическую работу, я смог ответить на вопрос «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?» Я понял, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Я создал модели невозможного треугольника и еще двух фигур. Нам удалось показать, что невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Правильный угол зрения и верное освещение позволят создать полную иллюзию.

Невозможные фигур широко используются в современной рекламе, промышленной графике, плакатах, оформительском искусстве и логотипах различных фирм, найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.

Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен.

Список литературы

1.Левитин Карл Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, 1984, -176 с.

2.Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26

3.Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.

4.Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.

Интернет ресурсы:

1.https://ru.wikipedia.org/wiki/Водопад_(литография)

2.http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/

3.http://www.konenko.net/imp.htm

4.https://www.liveinternet.ru/users/naniika/post137335452/

Приложение

Рисунок 1. Фотография Бруно Эрнста

Рисунок 2. Фотография невозможного трезубца

Рисунок 3. Вечный двигатель на гравюре "Водопад" Эшера.

Рисунок 4. Компьютерная модель вечного двигателя Эшера.

Рисунок 5. Трибар

Рисунок 6. Роджер Пенроуз Рисунок 7. ЛайонеллПенроуз

Р исунок 8. Тройной деформированный трибарРисунок 9. Треугольник из 12 кубов

Рисунок 10. Крылатый трибарРисунок 11. Тройное домино

Рисунок 12. Треугольник Пенроуза в различных ракурсах

Р исунок 13. Бесконечная лестница

Рисунок 14. Космические вилки

Рисунок 15. Комические вилки (3D).

Рисунок 16. Невозможные ящикиРисунок 17. Куб Неккера

Рисунок 18. Фреска перед алтарем

Рисунок 19. Оформление часовни Рождества Богородицы

Рисунок 20. Треугольник Пероуза в Австралии

Рисунок 21. Так выглядитТреугольник Пенроуза с другой стороны

Р исунок 22. Кубические дома

Рисунок 23. Невозможная фигура Матье Хемакерза

Р исунок 24. Пример имп-арта

Рисунок 24. Логотип компании РеноРисунок 25. Логотип мебельного магазина

Рисунок 26. Простые чертежи невозможных фигур

Рисунок 27. Материалы и инструменты для практической работы

Рисунок 29. Невозможный многогранник

Рисунок 28. Трибар

Рисунок 30. Невозможный брусок.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/608617-individualnyj-prekt