Логическое мышление и его развитие в процессе обучения математике

ВВЕДЕНИЕ

Основной задачей обучения математике является развитие логического мышления, а проблему развития логического мышления можно частично решить на уроках математики с использованием различных занимательных задач, в том числе и математических софизмов.

Вопрос о софизмах не является таким простым, каким он представляется с первого взгляда. Обычно софизмы являются интеллектуальным мошенничеством, заслуживающим осуждения. Бывают вместе с тем случаи, когда софизм оказывается своеобразной формой постановки глубоких, но еще не вполне ясных проблем. В этих ситуациях анализ софизма не может быть завершен раскрытием логической или фактической ошибки, допущенной в нем. Это как раз самая простая часть дела. Сложнее уяснить проблемы, стоящие за софизмом, и тем самым раскрыть источник недоумения и беспокойства, вызываемого им, и объяснить, что придает ему видимость убедительного рассуждения. Практика обучения математике показывает, что поиск заключённых в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключённой в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффективная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и закрепить то или иное математическое правило. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому её пониманию.

Логическое мышление и его развитие в процессе обучения математике.

Одной из первоочередных и важнейших задач школьного курса математики является формирование и развитие мышления учащихся. В процессе обучения математике речь в первую очередь идёт о развитии математического мышления. Математическое мышление учащихся проявляется в умении анализировать и синтезировать, обобщать, конкретизировать, в умении применять различные приёмы мыслительной деятельности к изучаемому материалу, к решению задач. А.Я. Хинчин, глубоко интересовавшийся проблемами обучения математике, к чертам математического мышления относил следующие четыре характерных признака:

1. «Для математики характерно доведение до предела доминирования логической схемы рассуждения... Эта черта в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок…»;

2. "Лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший, ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации".

3. "Четкая расчлененность хода аргументации".

4. Скрупулезная точность символики. "Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собой искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания" [11, с. 141-144].

Математическое мышление учащихся развивается постепенно. Можно выделить три ступени его развития:

Мышление на первой ступени развития еще не в состоянии выделять общие и существенные признаки изучаемых объектов, а способно лишь нерасчлененно фиксировать эти объекты в виде некоторого их множества.

Мышление на второй ступени развития приобретает некоторую способность выделять уже некоторые типические признаки объектов и образовывать своего рода понятия, фиксирующие практически важные внешние отношения этих объектов.

Третья ступень в развитии мышления характеризуется тем, что мышление становится способным выделять, абстрагировать и синтезировать в определенные целостные образования общие и существенные свойства рассматриваемых объектов.

Если мышление на первой стадии развития и мышление на второй стадии развития характерны, как правило, для детей дошкольного и младшего школьного возраста, то мышление на третьей стадии развития становится достоянием ученика только с подросткового возраста, примерно от 11-15 лет. Стало быть, весь предшествующий период до указанного возраста мышление как бы еще готовится стать мышлением логическим.

Что понимается под логическим мышлением?

Логическое мышление – одна из составных частей абстрактного мышления (наряду с аналитическим и пространственным мышление), которое в свою очередь тесно связано с мыслительной операцией абстрагирования. Логическое мышление - это способность делать правильные выводы из существующих посылок, это мышление по законам логики, по тем абстрактным схемам, которые фиксируются ими.

Абстрагирование - это мысленное отвлечение от конкретного содержания изучаемого объекта, от его несущественных свойств и выявление существенных свойств для данного объекта.

Логическое мышление характеризуется не только знанием и умением применять законы логики, а также оно характеризуется умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы, умением осуществлять и контролировать различные интеллектуальные операции: доказывать, выдвигать и развивать гипотезы, классифицировать, строить определения, умозаключать. Однако, чаще всего, умозаключения учеников не опираются на законы логики, а значит, являются неправильными.

Под умозаключением понимается такая форма мышления, в процессе которой ученик, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Ученик пользуется в основном двумя видами умозаключений – индуктивным и дедуктивным. Индуктивное умозаключение представляет собой умозаключение от частных суждений к общему суждению. Дедуктивное умозаключение – это умозаключение от общего суждения к частному суждению. Индуктивные умозаключения используются в основном при поиске решения задачи, а вот дедуктивные - при доказательстве теорем, обосновании решения задач, обобщении методов решения задач одного типа.

Развитием логики мышления следует заниматься в течение всех лет обучения в школе, повседневно и на каждом уроке. Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Нестандартные задачи – отличный инструмент для такого развития. К таким задачам можно отнести:

• Задачи на исследование;

• Задачи на доказательство;

• Математические софизмы и контрпримеры;

Так как логика как раздел математики изучается в школе довольно редко, то для того, чтобы навыки проведения учащимися логически правильных рассуждений были осознанными, необходимо применять соответствующую методику, использующую элементы логики в качестве необходимого инструмента правильной математической деятельности. Необходимо, чтобы элементы логики стали неотъемлемой частью преподавания математики, важным вспомогательным элементом, повышающим эффективность обучения.

Роль доказательства и его опровержения в развитии логического мышления.

Доказательство – это процедура установления истинности некоторого утверждения путём приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из которых вытекает первое.

Оно состоит из следующих элементов:

1. тезис – утверждение, которое нужно доказать;

2. аргументы – те положения, с помощью которых доказывается тезис;

3. логическая связь между аргументами и тезисом;

Очень часто в школе при обучении математике основной упор делается на заучивание набора математических фактов, не вникая в то, как эти факты выводятся из уже изученных математических предложений. Поэтому обучение доказательству – это не только анализ готовых доказательств, это прежде всего обучение поиску доказательства и его построению. Учить доказывать означает, прежде всего, учить рассуждать, а это одна из основных задач обучения вообще.

В ходе доказательства тех или иных утверждений учащиеся выделяют данные и исходные величины, кропотливо выстраивают логические цепочки, вспоминают формулы и уже известные факты, что положительно влияет на их логическое мышление. Однако важно уметь не только доказывать правильное положение, но и опровергать ошибочное. Опровержение – это рассуждение, направленное против выдвинутого тезиса и имеющее целью установление его ложности или недоказанности. Рассмотрим основные приёмы опровержения, описанные в учебном пособии для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, колледжей А.А. Ивина «Элементарная логика» [4, стр. 122]:

• Выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине;

• Доказательство истинности отрицания утверждения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удалось показать истинность отрицания тезиса, вопрос об истинности самого тезиса сразу отпадает (метод от противного);

• Опровержение может быть направлено на связь аргументов и тезисов. Тогда надо показать, что тезис не вытекает из доводов, приведённых в его подтверждение. Если между аргументом и тезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью приводимых аргументов.

Логическая культура предполагает не только умение рассуждать последовательно, с соблюдением требований логики, но и способность обнаруживать в рассуждении логические и математические ошибки и подвергать их анализу.

Задачи на отыскание ошибки играют немаловажную роль в развитии логического мышления учащихся, они заставляют критически мыслить, обдумывать каждый свой шаг, приучают обращать внимание на тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений. Ошибки многообразны по сути. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся:

• Содержательные ошибки – попытка обосновать доказываемое утверждение с помощью ложных аргументов. Законы логики гарантируют истинное заключение, только когда верны принимаемые аргументы. Если хотя бы один из них ошибочен, то уверенности в истинности выводимого тезиса нет.

Довольно распространённой ошибкой является круг в доказательстве: справедливость доказываемого утверждения обосновывается посредствам этого же утверждения, высказанного, быть может, в другой форме. Если за предпосылку доказательства принимается то, что нужно доказать, доказываемая мысль выводится из самой себя и получается абсурд.

• Потеряна логическая связь. Если хоть одна из посылок доказательства неверна, оно теряет силу. В качестве примера приведём «доказательство», выполненное ученикомкласса гимназии №2 при решении задачи №680 из учебника «Геометрия 7 - 9» Атанасяна Л. С.

Т екст задачи: «Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке D стороны BC. Докажите, что а) D - середина BC; б)C».

Предложенное доказательство:

а) Так как DE и DF - серединные перпендикуляры к сторонамAB и AC, то E и F середины сторон AB и AC соответственно, то EF - средняя линия треугольника ABC, следовательно, EF параллельна BC. Четырёхугольник CFED - параллелограмм (EF||CD и CF||DE), значит EF=CD, а так как EF - средняя линия треугольника ABC, то CD=EF=BC.

б) В четырёхугольнике AEDF ∠F =∠E = 90 , значит ∠A = ∠D = 90 . Таким образом, треугольник ABC прямоугольный, а значит C.

В случае а) ошибка заключается в том, что в доказательстве используется то, что нужно доказать. В случае б) - неверно предположение о том, что если в четырёхугольнике два угла прямые, то и два других угла также являются прямыми.

Под софизмом понимают рассуждение кажущееся правильным, но содержащее скрытую ошибку в цепочке рассуждений. Подробно софизмы рассматриваются в следующих параграфах.

Под контрпримером понимают пример, опровергающий верность некоторого утверждения. Контрпримеры чаще всего используются в том случае, когда ученик допустил ошибку при решении задачи, но ответ получил верный. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Упростить выражение: , если .

, так как при .

Ответ: .

Однако, многие ученики забывают поставить знак модуля и не учитывают ограничения для переменной . В таком случае, чтобы убедить ученика в допущенной ошибке, можно изменить условие задачи так, чтобы при неверном решении ученик обязательно допустил ошибку.

В данной задаче условие можно изменить следующим образом: «Упростить выражениеесли ».

Пример 2.

Найти область определения функции .

:

,

,

, ,

рис. 2

.

,

Ответ: .

Ученики забыли о том, что знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то есть не должен равняться 4,5. Несмотря на это они получают верный результат: , так как значение находится вне найденного интервала. Учитель может изменить задачу так, чтобы значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, входило в интервал найденный учащимися: «Найти область определения функции ». Если школьники забудут, что , то получат неверный результат: .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/610486-logicheskoe-myshlenie-i-ego-razvitie-v-proces