Математические софизмы и их использование в обучении математике

Математические софизмы и их использование в обучении математике.

«Правильно понятая ошибка
– это путь к открытию».
И. П. Павлов.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

§1.История возникновения софизмов.

«Софизм- слово греческого происхождения, которое в переводе означает хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Другими словами софизм– это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую – нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям». [1, стр.7]

История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

Необходимо различать парадоксы и софизмы. Парадоксы- справедливые, хотя и неожиданные утверждения, в то время как софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку. Поиск заключённых в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью чертежей, за законностью математических операций. Если нашёл ошибку в софизме, значит, осознал её, а осознание ошибки предупреждает от её повторения в дальнейшем. «Можно сколько угодно объяснять ученикам, что делить на нуль нельзя или что при умножении обеих частей неравенство на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, но учащиеся продолжают совершать одни и те же ошибки. В то же время эффективная демонстрация «доказательства» неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение математическими правилами, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют на эмоциональном уровне понять и закрепить то или иное математическое правило или утверждение». [8, стр. 3]

Древнегреческие учёные, которые сталкивались с задачами, которые содержат неявную ошибку в доказательстве, прикладывали много усилий, чтобы выявить механизм образования таких задач. Неразрешённость задач, с которыми встречались древние математики, объясняется, как правило, нарушением законов логики. Поэтому уже тогда встал вопрос о системе «профилактических приёмов» - определённых правил с целью устранения логических ошибок. Первая проба проведения «логической профилактики» в математике принадлежит гениальному древнегреческому математику, автору «Начал» - Евклиду из Александрии. Он создал удивительный сборник «Псевдарий», где поместил разнообразные ошибочные рассуждения, к которым часто приходят при решении задач в математике. Таким образом, Евклид был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов. О его назначении и содержании рассказывает Прокл (410 – 485). Из слов Прокла видно, что работа предназначена для начинающих изучать геометрию. Она ставила своей задачей научить учащихся обнаруживать ложные заключения и тем самым иметь возможность их избегать. Требовательность Евклида и строгость к культуре рассуждений нашла многочисленных последователей. Они собрали и опубликовали большую коллекцию математических софизмов и парадоксов. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Сборники математических софизмов и парадоксов были всегда популярными. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона. Платон заметил, что основание не должно заключаться в субъективной воле человека, иначе придётся признать законность противоречий, а поэтому любые суждения считать обоснованными. Эта мысль была развита и Аристотелем. Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях», в которой все ошибки разделялись на два класса: «неправильности речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении. Таким образом, считается, что Аристотель впервые дал систематический анализ софизмов.

Большинство софизмов известно давно, рассыпано по различным сборникам, журналам и составляет своего рода математический фольклор, передаваемый устно из поколения в поколение. И при этом редко удаётся установить, первое ли это воспроизведение и не встречался ли этот софизм раньше.

Рассмотрим примеры софизмов, ставших знаменитыми ещё в древности: «Что ты не терял, то имеешь; рога ты не терял - значит, у тебя рога». «Сидящий встал; кто встал, тот стоит, следовательно, сидящий стоит». «Этот пёс твой; он отец - значит, он твой отец».

А вот софизмы, использующие уже современный материал:

«Одна и та же вещь не может иметь какое – то свойство и не иметь его. Собственность предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность – это, очевидно, не ответственность, а ответственность – не самостоятельность. Получается вопреки сказанному выше, что собственность включает самостоятельность и несамостоятельность ответственность и безответственность»;

«Компания, получившая когда – то кредит от банка, теперь ничего ему уже не должна, так как она стала иной: в её правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду»;

«Каждый год вашей жизни — это её 1/n часть, где n — число прожитых вами лет. Но n + 1>n. Следовательно, 1/(n + 1)< 1/n»;

Приведём пример математического софизма. «Сумма натуральных чисел, каждое из которых превосходит единицу, больше их произведения. Будем исходить из несомненного равенства: (1). Воспользовавшись логарифмированием обеих частей равенства (1), запишем: (2). От соотношения (2) перейдём к неравенству: (3), которое перепишем в виде:

. В результате имеем, что

(4), поделив обе части последнего неравенства на , получаем откуда ».

Ошибка допущена при переходе от равенства (2) к неравенству (3). Так как логарифм правильной дроби отрицательный, то в неравенстве (3) вместо знака больше должен быть поставлен знак меньше в связи с тем, что удвоенное отрицательное число меньше этого отрицательного числа.

§2.Понятие «софизм». Классификация софизмов.

Софизм представляет собой рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую или математическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному заключению.

Математические софизмы являются тем частным случаем ошибок в математических рассуждениях, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее хорошо замаскирована. Раскрыть софизм – это значит указать ошибку в рассуждении, с помощью которой была создана внешняя видимость доказательства. Осознание ошибки предупреждает от её повторения в других математических рассуждениях, а достигается оно противопоставлением ложному рассуждению истинного.

Математические софизмы, в основном, строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях (особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному), на маскировке ошибочных рассуждений. Нередко софизм основывается на таких логических ошибках, как подмена тезиса доказательства, несоблюдение правил логического вывода, принятие ложных посылок за истинные и так далее.

Осознание педагогической роли математических упражнений на опровержение ложных доказательств порождает стремление к выявлению их основных видов как необходимого условия для рационального отбора и использования этого материала в школе. Было сделано много попыток сгруппировать математические софизмы по характеру допущенных в них ошибок. Классификаций математических софизмов существует много, но единой классификации нет. Группировать нелепые доказательства можно по разным признакам, однако, главное их придерживаться на протяжении всей классификации. Познакомимся с некоторыми классификациями софизмов.

Выдающийся русский педагог – математик В.И.Обреимов (1843 – 1910) предложил свою классификацию упражнений указанного типа:

1. Равенство неравных;

2. Неравенство равных;

3. Меньшее превышает большее;

4. Геометрические несообразности;

5. «Мнимое реально»;

Первые три группы классификации (равенство неравных, неравенство равных, меньшее превышает большее) охватывают те ложные доказательства, тезисы которых противоречат применению критериев сравнения, то есть понятий «больше», «меньше», «равно». Четвёртая группа (геометрические несообразности) включают в себя такие умозаключения, в которых нелепый вывод возникает из – за ошибки чертежа при безукоризненном проведении всех остальных логических рассуждений. В пятой группе («мнимое реально») нашли себе место ложные доказательства, связанные с неправильной трактовкой понятия мнимого числа.

Рассмотрим классификацию ложных доказательств немецкого учёного Германа Шуберта (1848 – 1911). Им было предложено четыре вида ложных доказательств:

1. Деление на нуль;

2. Двузначность квадратного корня;

3. Геометрический обман (ошибка в построении);

4. Приписывание сумме бесконечного множества чисел бесконечно большой величины;

Из всех классификаций упражнений на опровержение ложных математических рассуждений по видам основных ошибок можно выделить ещё одну классификацию, классификацию В.М.Брадиса. В ней подчёркивается названием каждого вида специфическое педагогическое назначение того или иного упражнения, что создаёт возможность для быстрой ориентировки в материале и предупреждает бессистемность в его использовании. Перейдём к конкретному рассмотрению классификации В.М.Брадиса:

1. Неправильности речи.

Каждый правильно спланированный и проведённый урок по математике является одновременно и уроком по развитию речи учащихся. Интенсивному искоренению неправильностей, встречающихся в речи учащихся, способствует привлечение самих учащихся к корректированию ответов своих товарищей. Следует довести до сознания учеников, что неправильности речи затрудняют изучение математики и являются одним из источников различных заблуждений. Группа софизмов «неправильности речи» подразделяется на следующие виды:

• Двусмысленность слова.

Каждое понятие в математике обозначается своим особым термином. В исключительных же случаях, то есть когда один и тот же термин употребляется в разных смыслах, необходимы специальные указания, в каком именно смысле употреблён данный термин, если это не ясно из самого контекста.

Пример: Квадрат – показатель степени и геометрическая фигура, корень – в смысле решения уравнения и как синоним слова «радикал», число – количественное и порядковое, отвлечённое и именованное, точное и приближённое.

• Двусмысленность произношения.

Здесь речь идёт об искажении первоначального смысла фразы из – за изменённой постановки ударения в каком – нибудь слове.

Пример: Сто сорок да сто сорок будет двести сорок (сорок – в смысле птиц и сорок – в смысле число).

• Двусмысленность конструкции.

Имеется в виду такая конструкция предложения, которая допускает разное восприятие его смысла.

Пример: Сколько будет трижды три и семь?

Со смыслом этой фразы согласуются два различных, друг друга исключающих, порядка действий, а именно: 33+7 и 3(3+7).

• Ошибка распределения.

Эта ошибка имеет место, когда термину, употреблённому в собирательном смысле, придаётся значение разделительного.

Пример: Все углы треугольника равны двум прямым углам. Здесь слово «все» употреблено в смысле «сумма». Однако выбор термина неудачен, так как можно его понимать и в смысле «каждый». Мысль становится абсурдной: «Каждый угол треугольника равен двум прямым углам».

• Ошибка составления.

Эта ошибка возникает тогда, когда термину, употреблённому в разделительном смысле, придаётся значение собирательного.

Пример: Все углы треугольника меньше двух прямых углов. Здесь слово «все» употреблено в смысле «каждый». Однако, слово «все» можно понимать и в смысле «сумма»: «Сумма углов треугольника меньше двух прямых углов», что абсурдно для евклидовой геометрии.

2. Распространение на исключительные случаи.

Здесь речь идёт об использовании действительно общего правила, но в таком специальном случае, при котором некоторые дополнительные обстоятельства исключают возможность его применения.

Рассмотрим пример, принадлежащий чешскому математику Б.Больцано (1781 – 1848):

Пустьa и b – разные величины.

Будут иметь место тождества: и . Сложение даёт: , или . Разделив обе части последнего неравенства на множитель , мы получим нелепый результат: при всяких a и b.

3. Приписывание свойств определённого вида всему роду.

Пример: В любом прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.

Доказательство.

В озьмём разность квадратов гипотенузы и одного из катетов (рис.3). Это выражение можно представить в виде произведении

или . Разделим обе части последнего равенства на выражение , получим пропорцию:

.

Так как положительная величина больше отрицательной, то

. Но тогда и , а потому

, или .

В этом софизме ошибка заключается в том, что утверждение: если

и , то и , справедливо только для положительных чисел, на отрицательные числа оно не распространяется.

4. Неправильное применение принципа непосредственных умозаключений путём обращения.

Пример 1: Любые два числа друг другу равны.

Пустьa≠b. Напишем тождества: и . Так как , то . Раскроем квадратные скобки: . Прибавим к каждой части равенства , то есть дополним до квадрата разности двух чисел:

( . Так как квадраты двух чисел равны, то и основания равны: , следовательно, .

Суть ошибки состоит в том, что на основании того, что если основания равны, то и квадраты равны, нельзя утверждать, что если квадраты равны, то и основания равны. На самом деле имеет место утверждение: «Если квадраты равны, то и основания могут быть равны», так как квадраты равны не только равных чисел, но и чисел, равных только по абсолютной величине.

1. Подмена точных определений геометрической интуицией.

Доказательство всякого математического суждения должно быть основано на первичных понятиях, на точных определениях всех остальных понятий, аксиомах, ранее доказанных теоремах данной научной области и только на них. Определения устраняют неопределённость используемых терминов, которая служит причиной разнообразных заблуждений.

Нередко возникают ошибки из попыток учащихся устанавливать в качестве дополнительных оснований какие – либо данные опыта, извлекаемые из наглядного изображения.

Пример:Cумма катетов равна гипотенузе.

Доказательство.

В озьмём произвольный прямоугольный треугольникABC и разделим его гипотенузу AC на n равных частей, где n – некоторое натуральное число, а затем через каждую точку деления проведём пару прямолинейных отрезков: один параллельно катету BC, другой параллельно катету AB. Продолжив эти отрезки до их взаимного пересечения, получим ступенчатую ломаную, изображённую на рисунке 3. Суммавсех звеньев этой ломаной от точки C до точки B равна сумме катетов , так как сумма всех проведённых отрезков, параллельных одному из катетов, равна этому катету. Будем теперь неограниченно увеличивать число n, придавая ему последовательно значения 2, 4, 8, 16, … и так далее. Число звеньев (оно равно 2n) в ступенчатой линии AC будет при этом неограниченно возрастать, но длина каждого звена будет стремиться к нулю, и ступенчатая линия будет всё меньше и меньше отличаться от гипотенузыAC. При ступенчатая линия сольётся с AC, а потому (1). Но, как было видно выше, для любого натурального числа n справедливо равенство . Следовательно, и равен той же сумме: (2). Сопоставление равенств (1) и (2) приводит к заключению, что Другими словами, сумма катетов прямоугольного треугольника равна гипотенузе, что противоречит теореме, согласно которой любая из сторон треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Предел суммы всех звеньев ломаной при любом n, в том числе и при , равен . Рисунок же создаёт лишь иллюзию приближения суммы к гипотенузе прямоугольного треугольникаABC. Длина гипотенузы AC равна пределу другой последовательности. Так как у одной ступеньки её высота равна , а длина равна , то гипотенуза этой ступеньки, лежащая на гипотенузе AC, равна (по теореме Пифагора) . Сумма гипотенуз всех nступенек равна, очевидно,

не зависит от n, и её предел будет равен длине гипотенузыACВ этом и состоит ошибка данного софизма.

6. Ошибка построения.

Геометрические софизмы, основанные на ошибках в построении, среди которых будет выделено семь видов, ведут учащихся к пониманию целесообразности построения правильного чертежа.

• Различные точки рассматриваются как совпадающие.

П ример: Площадь равностороннего треугольника равна нулю.

Доказательство.

В равностороннем треугольнике ABC проводим высоту AD (рис.5).

Рассматриваемый треугольник равновелик прямоугольникуADCE, смежными сторонами которого являются отрезки AD и CD. На продолжении AD откладываем отрезок DFНа отрезке AF как на диаметре описываем полуокружность, которая пересечётся с продолжением DC в некоторой точке K. Тогда Квадрат KDJH, как и прямоугольник ADCE, равновелик треугольнику ABC. Представляя ∆ CEA сдвинутым вдоль AC так, что C совпадает с N,E с H и A с L, заметим, что квадрат KHJD состоит из фигуры CLJD и фигуры, равновеликой BMJD, следовательно, квадрат KHJD равновелик трапеции CBML. Отсюда следует, что площадь равностороннего треугольника ALM равна нулю.

Разъясним ошибку данного софизма: утверждение, что при указанном параллельном перенесении точка Е совпадает с точкой H, ошибочно. Для того, чтобы в этом убедиться и иметь возможность оценить численную величину ошибки, найдём отрезки HQ и LJ.

;

, ,

где буквой a обозначена сторона ∆ABC.

.

, откуда находим:

( .

• Совпадающие точки рассматриваются как различные.

• Точка берётся там, где она не может быть.

• Предположенная точка пересечения на самом деле отсутствует.

• Ломаная принимается за прямую.

• Прямая принимается за ломаную.

7. Ошибка, являющаяся следствием буквального толкования сокращённой (условной) формулировки некоторых геометрических утверждений.

Пример: Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.

Доказательство.

Дана окружность, в которой проведён диаметрAB и хорду AC (рис.6). Через середину D этой хорды и точку B проводим хорду BE. Соединив точки C и E, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы BAC и CEB равны как в писанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу BC. Углы ADB и CDE равны как вертикальные. Стороны AD и CD равны по построению. Следовательно, треугольники ABD и CDE равны по стороне и двум углам. Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому , то есть диаметр окружности равен некоторой хорде, не проходящей через центр.

В этом софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE (рис.6) равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам, Однако такого признака не существует. Правильно сформулированный признак гласит: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

8. Нарушение смысла условных записей.

Подстановка в буквенную формулу численных значений, заведомо не входящих в область её существования, рассматривается как задача чисто механическая. Однако нельзя забывать, что в записи некоторых формул имеет место момент условности. Пример: Единица равна двум.

Формула бинома Ньютона имеет следующий вид:

.

Это равенство верно для любого натуральногоn. Пусть n=1, тогда

, то есть . Если , то верное равенство. Но, если , то приходим к утверждению: .

Ошибка заключается в том, что при автоматической подстановке n в формулу бинома, упускается из внимания, что разложение бинома имеет член, где n - показатель степени бинома. Следовательно, для разложение обрывается на втором шаге: , .

9. Уклонение от тезиса.

Н екоторые софизмы построены на том принципе, что в ходе доказательства абсурдный тезис софизма подменяется каким – либо истинным утверждением.

Пример (софизм Прокла): Две прямые не пересекаются между собой и тогда, когда, будучи пересечены третьей, они образуют такие внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых.

Доказательство.

рис. 7

Главным недостатком классификации В. М. Брадиса является то, что помимо софизмов, построенных на ошибках речи, ошибках построения, неправильности применения принципа непосредственных умозаключений путём обращения, уклонение от тезиса и так далее существуют софизмы с ошибкой в логической структуре рассуждений (неправильное применение законов логики, неверное правило вывода). Такие софизмы целесообразно использовать в школьном курсе математики, они помогут овладеть техникой построения доказательств. Приведём пример логических софизмов.

Пример 1: «Куча».

Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка,
то и n+1 песчинка тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок
не образует кучу песка. К этому парадоксу можно сделать следующий
комментарий: метод полной математической индукции нельзя применять,
как показывает парадокс, к объёмно неопределённым понятиям, каковым
является понятие "куча песка".

Ошибка в данном софизме заключается в том, что куча - это количество зёрен, определяемое визуально, которое состоит из некоторого количества более мелких градаций. Например, куча состоит из кучек, состоящих из горстей, которые состоят из щепоток, которые состоят из зёрен. Следовательно, из данного определения, одно, несколько или десятки зёрен кучей не являются. Это значит, что куча как принятое понятие появится, только когда появится хотя бы одна горсть, которая является самым крупным подмножеством – элементом множества куча.

Пример 2: «Нет конца».

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и так далее до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Ошибкой приведённого софизма является отождествление суммы бесконечного множества членов с бесконечно большой величиной, хотя на самом деле речь идёт лишь о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии , равной единицеТо есть, с одной стороны, путь, пройденный движущемся предметом, состоит из бесконечного числа отрезков, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, не имеющая конца, всё же завершится, и завершится она пределом, равным сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 3: «О полупустой бочке».

Полупустая бочка - это ведь то же, что и полуполная. Но если две половины равны, то должны быть равны и целые. Полупустая бочка равна полуполной - значит, пустая бочка должна равняться полной. Выходит, что пустой равен полному.

Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как полупустая бочка есть не половина пустой бочки, а такая бочка, одна половина которой пуста, а другая - полна. В данном софизме рассуждали так, как будто слово «полупустая» значит «половина пустой бочки», а слово «полуполная» - «половина полной». При таком неправильном понимании получили неверный результат.

§3. Методические аспекты использования софизмов.

Софизм представляет собой рассуждение, содержащее одну или несколько хорошо замаскированных ошибок, которые приводят к нелепому, абсурдному результату, другими словами, можно сказать, что любой софизм является ошибкой. Возникает вопрос о целесообразности использования математических софизмов в школе. Перечисленные ниже аргументы позволяют сделать вывод о том, что использование софизмов в процессе обучения (в разумной мере) способствует достижению образовательных, развивающих и воспитательных целей образования.

1. Введение математических софизмов в ход урока имеет важное значение для воспитания логического мышления, у учащихся развивается умение правильно и логично рассуждать, обнаруживать в рассуждениях логические и математические ощибки и подвергать их анализу, формируются представления о правилах вывода и законах логики, а значит, в целом повышается уровень математической культуры учащихся, что является важной задачей обучения математике.

2. Математические софизмы приучают к точности рассуждений и математической строгости.

3. Разбор софизмов развивает наблюдательность, вдумчивость, критическое отношение к изучаемому материалу, так как учащиеся учатся критически осмысливать каждый этап рассуждений.

4. Использование софизмов развивает взаимоконтроль и самоконтроль учеников;

5. Математические софизмы заставляют внимательно прочитывать их тексты, следить за наличием точности в формулировках и записях, за отсутствием незаконных обобщений, запрещённых действий, за соблюдением всех условий применимости теорем, помогают различать во многом сходные понятия, то есть приучает учащихся к внимательности.

6. Решение этих нестандартных задач, сопровождаемое анализом допущенных ошибок, производит на учеников сильное впечатление, и в момент рассуждения в классе не остаётся равнодушных и невнимательных и тем самым повышается интерес к предмету.

Если ученик допустил ошибку при решении задачи, то прямое указание учащемуся на допущенную им неправильность часто малоэффективно, в таком случае учитель может предложить ему софизм, содержащий подобную ошибку, которая приводит к неверному результату. Анализ приведённого софизма позволит ему на эмоциональном уровне осознать, где он сделал неверный шаг. Возможно, что в дальнейшем ученик не допустит похожей ошибки при решении задач.

1. Софизмы позволяют предупредить появление типичных ошибок, то есть провести своеобразную их профилактику.

С методической точки зрения математические софизмы можно условно разделить на «учебные» и «классические». «Учебные» математические софизмы необходимо чаще применять на уроках и в домашнем задании. Они в основном формулируются в виде упражнений с решением, в котором необходимо отыскать ошибку, и построены они на типичных ошибках, допускаемых учащимися при изучении той или иной темы. В «учебных» софизмах абсурдность результата не столь очевидна, как в «классических» софизмах. Такие софизмы учитель может составлять самостоятельно, опираясь на ошибки, которые допускают его ученики. Такие ошибки есть при изучении любой темы математики, они появляются при написании различного рода работ: самостоятельных, контрольных, математических диктантов, при устных ответах учащихся на уроке, при выполнении домашних заданий.

Чтобы составить «учебные» софизмы, необходимо выделить часто допускаемые учениками ошибки. Например, при изучении в 8 классе свойств неравенств, многие учащиеся допускают одну и ту же ошибку: при умножении на отрицательное число обеих частей неравенства не меняют знак неравенства на противоположный. Чтобы заострить внимание учеников на этой детали, учитель может предложить следующее задание:

Установить, верно ли решение неравенства, приведённое ниже? Если решение неверно, то найдите ошибку и объясните причину её появления.

«

(1)

».

Ошибка заключается в том, что при делении обеих частей неравенства (1) на отрицательное число знак неравенства не поменялся на противоположный.

Большое количество ошибок допускают ученики 11 классов при решении показательных и логарифмических неравенств. При решении этих неравенств учащиеся не учитывают ряд важных моментов, в частности, возрастающими или убывающими являются функции, присутствующие в неравенстве и на каком числовом множестве они определены. Чтобы акцентировать внимание учащихся на этих моментах, можно предложить им упражнение следующего вида:

Верно ли решение логарифмического неравенства, приведённое ниже? Если нет, то указать ошибку и объяснить причину её появления.

«

обозначим , тогда имеем неравенство или которое ни при каком не имеет решений. Таким образом, получаем, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет».

Ошибки:

1. не указана область определения данного неравенства .

2. логарифмическая функция убывает на промежутке , следовательно, при переходе от неравенствак неравенству знак неравенства меняется на противоположный.

Софизмы второго вида, то есть «классические» математические софизмы, можно применять при проведении внеклассных мероприятий. Они имеют довольно интересные, интригующие результаты, что привлекает интерес учащихся. К примеру: катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, любой треугольник равнобедренный, 5=6. Но их формулировка часто вызывает у учащихся недоумение и неприятие, поэтому больше времени уходит на анализ софизма и поиск ошибки, которая, как правило, менее очевидна, чем в «учебных» софизмах, но приводит к абсурдному результату. Пример 1. Из точку на прямую можно опустить два перпендикуляра.

Д оказательство: попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Ошибка состоит в том, что рассуждения опирались на ошибочный чертеж. Если соединить точку F с точками A,B и C, то ∠AFB=∠CFB=d, следовательно, AF и FC и лежат на AC. Сторона AC пересекается окружностями в одной точкеF и существует один перпендикуляр BF, опущенный из B на AC.

П ример 2. Каждая точка диаметра окружности лежит на самой окружности.

рис. 9

Следует учесть, что нельзя использовать математические софизмы при объяснении нового материала, чтобы не фиксировать внимание учащихся на ошибках и не создавать ложных представлений.

Математические софизмы в учебном процессе могут быть использованы:

• На уроках, для создания проблемных ситуаций, для повышения интереса к предмету;

• В домашнем задании, для более осознанного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку, составить софизм)

• При проведении различных соревнований, чтобы сделать их более интересными;

• На элективных курсах, для усвоения изученных тем математики.

В приложении рассмотрены примеры «классических» и «учебных» софизмов, которые возможно использовать как на уроках математики, так и на внеклассных мероприятиях в 7 - 11 классах (стр. 42).

Прежде чем предложить учащимся софизм, учитель должен продумать, как он им его представит. Способы предъявления софизмов могут быть самыми разнообразными. Разберём некоторые из возможных путей.

1. На доске записано или спроецировано на интерактивную доску несколько утверждений, в том числе и неверных, которые надо отыскать и указать в них ошибку. Ученик должен выбрать утверждение, которое, по его мнению, является неправильным, и аргументировать свой ответ. Пример: Из всех предложенных равенств найдите неверное и объясните, почему оно ошибочно.

• ;

• ;

• 

: .

1. Так же можно представить софизм в виде вопроса. В этом случае от отвечающего требуется раскрыть софизм, что бывает трудно, особенно если софизм сформулирован в виде упражнения. Пример: В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, то есть площадь пробоины равна 65 см². Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (то есть площадь равна 64 см²), разрезал её прямыми линиями на четыре части так, как показано на рисунке 10, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине (рисунок 11). Этим прямоугольником он и заделал пробоину.

Как могло получиться так, что плотник сумел квадрат в 64 см² обратить в прямоугольник с площадью 65 см²?

В софизме допущена неточность при перекладывании частей, составляющих квадрат, показанный на рисунке 10, в новом порядке, показанном на рисунке 11. На самом деле BE является ломаной, то есть точки B,E и C не лежат на одной прямой.

1. Самый распространённый способ предъявления софизмов – это запись текста абсурдного «доказательства» на доске или, если кабинет математики достаточно оборудован компьютерной техникой, вывод на интерактивную доску. В этом случае учитель просто задаёт вопрос: «В чём ошибка?», после чего ученики, проанализировав софизм, должны найти и исправить нелепость.

П ример: Из точки на прямую можно восстановить к ней два перпендикуляра.

рис. 12

В чём ошибка?

Ошибка: Чертёж ошибочен, прямые AK и AC на самом деле должны совпадать. Иначе сумма углов, лежащих по одну сторону от прямой линии, превосходила бы 180°: ∠BAK+∠KAC+∠CAN=180°+∠KAC>180°,∠KAC= 0°.

Несмотря на различные способы представления софизмов, решение их всех протекает по единой схеме:

• Нужно тщательно ознакомиться с абсурдным доказательством;

• Проследить всю логическую цепочку рассуждений;

• Подробно останавливаться на каждом шаге и формулировать заново те факты, которые использовались в софизме.

Следует помнить, что ошибка в софизме в любом случае есть и её можно выделить из запутанного доказательства путём правильных логических рассуждений.

Для более ясного понимания методических аспектов использования софизмов в школе мной было проведено два «урока абсурда».

«Уроки абсурда» включали в себя рассмотрение следующих вопросов:

• Что понимается под софизмом;

• История возникновения софизмов;

• Чем полезны софизмы;

• Разбор математических софизмов, построенных на ошибках логики;

• Разбор алгебраических софизмов;

• Разбор геометрических софизмов.

При проведении уроков использовались задачи для 8 класса, которые рассмотрены в «Приложение» (стр.49 - 54,стр.84 - 86, стр.66 - 76, стр.93 - 94).

Знакомство учеников с математическими и логическими софизмами сопровождалось презентацией, в которой была изложена как теоретическая часть изучаемого материала, так и приведены примеры софизмов по логике, алгебре и геометрии. На уроках использовался раздаточный материал в виде карточек с примерами математических софизмов, в которых учащиеся сами должны были найти ошибку.

На основе проведённых уроков и анализа разобранных софизмов были сделаны следующие выводы:

• Ученикам легче находить ошибку в «учебных» софизмах, которые сформулированы в более привычном для них виде.

• «Классические» софизмы вызвали у ребят затруднения, связанные с тем, что ярко выраженная абсурдность результата сбивала их с толку, отвлекая от отыскания ошибки, которая привела к нелепому результату;

• Так как учащиеся не знакомы с логикой, то им было тяжело осознать ошибки в логических софизмах;

• Учащимся был интересен процесс отыскания ошибок в математических софизмах.

На примере «Уроков абсурда» учитель может разработать элективный курс по теме «Математические софизмы» на 6 - 10 часов, содержащий софизмы, которые рассмотрены в приложении (стр. 42). По окончанию элективного курса ученикам может быть предложена проверочная работа, включающая в себя три задания по алгебре и геометрии (два задания по алгебре и одно задание по геометрии). Рассмотрим два варианта проверочной работы:

1 вариант

Задача №1. Половина любого числа равна половине его противоположного.

Пустьa - произвольное число, положим . Тогда или после умножения на a получим . Прибавляя к обеим частям этого равенства , имеем . Так как , то предыдущее равенство можно записать в виде , следовательно, получаем Так как по условию , то из равенства (2) имеем , тогда окончательно получаем, что .

В чём ошибка?

Задача №2.

Ответ: .

В чём ошибка?

Задача №3. Отрезки параллельных прямых, заключённые между сторонами угла, равны.

Д оказательство:

Возьмём произвольный угол и пересечём его стороны двумя параллельными прямыми,AB и CD являются отрезками параллельных, E – вершина угла. Параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, тогда , (1). Умножим равенства (1) на разность : ,

,

. Разделим равенство (2) на разность , получим . То есть отрезки параллельных прямых, заключённые между сторонами угла, равны.

В чём ошибка?

2 вариант

Задача №1. Любые два неравных числа равны между собой.

Пусть , . Умножим последнее равенство на , получим ,, , , , следовательно, . Так как , то .

В чём ошибка?

Задача №2.

Ответ: .

В чём ошибка?

З адача №3. Все хорды одной и той же окружности равны.

Доказательство:

Возьмём две произвольные неравные хорды произвольной окружности и проведём соответственно равные параллельные между собой хорды AB и CD.S – точка пересечения продолжений AC и BD. Пусть ∆ SAB и ∆ SCD подобны (по первому признаку подобия треугольников, по двум углам). Тогда , следовательно, (1). Умножим равенство (1) на разность , неравную нулю.

или

.

. Разделим обе части последнего равенства на разность произведений . В результате получим .

В чём ошибка?

Все задания этой работы направлены на выявление у учащихся умений различать верные и неверные рассуждения, правильно и логично мыслить, находить в решении задачи хорошо замаскированные ошибки.

На основе данной работы можно сделать вывод о том, что использование математических софизмов, как «учебных», так и «классических» способствует более эффективному достижению образовательных, развивающих и воспитательных целей обучения математике.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/610487-matematicheskie-sofizmy-i-ih-ispolzovanie-v-o