Перпендикулярные прямые. признак перпендикулярности прямой и плоскости

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

«Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

Методическая разработка теоретического занятия

Перпендикулярные прямые. Признак

перпендикулярности прямой и плоскости.

учебная дисциплина БД. 04 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

(базовая подготовка)

Канаш, 2025

Аннотация

Данная разработка предназначена для изучения темы «Перпендикулярные прямые. Признак перпендикулярности прямой и плоскости» обучающимися 1 курсов СПО. Эта тема является введением в последующие, следовательно, именно ее успешное понимание и отработка послужат базой под изучение других.

Для того чтобы установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных, повторяется тема «Стереометрия», которая подготавливает учащихся к восприятию нового материала.

СОДЕРЖАНИЕ

3. Контролирующий блок

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка занятия на тему «Перпендикулярные прямые. Признак перпендикулярности прямой и плоскости» на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.

Цель изучения данной темы ознакомиться перпендикулярными прямыми, признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Методическая разработка занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Перпендикулярные прямые. Признак перпендикулярности прямой и плоскости» –2 часа. В процессе практического занятия студенты закрепляют полученные знания.

Методическая разработка предназначена для оказания методической помощи студентам при изучении занятий по теме «Перпендикулярные прямые. Признак перпендикулярности прямой и плоскости». Методическая разработка основывается на учебнике для базового и профильного обучения: Алгебра и начала математического анализа А.В. Погорелов.

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

1.1. Учебно-методическая карта

1.2. Технологическая карта

2. Информационный блок

2.1. План лекции

Ход занятия:

Перечень вопросов, рассматриваемых по теме

1. Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;

2. Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;

3. Решать задачи по теме.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 . Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..

Доказательство:

Дано: a ‖ b, a ⊥ c

Доказать: b ⊥ c

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90^о.

Так как b ‖ a, а а ‖ МА, то b ‖ МА.

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90^о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90^о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90^о, то есть b ⊥ с. 

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство:

Дано: a ‖ а₁, а ⊥ α

Доказать, что а₁ ⊥ α

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁ ⊥ x.

Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а₁ ⊥ α

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Дано: а ⊥ α, b ⊥ α

Доказать, что а ‖ b

Доказательство:

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а.

М ∊ b, M ∊b₁, b₁ ‖ a. По предыдущей теореме b₁ ⊥ α.

Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b₁ и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b₁, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b₁ ∊ β, α   β = c (невозможно)→ а ‖ b

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рис. 2.

Доказательство.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

Рис. 3.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с₁, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с₁ перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с₁ параллельны. Но по построению прямые с и с₁пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Рис. 1.

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Выбор элемента из выпадающего списка

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC ).

• AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

• AD, AC, AD₁,

• ВС, ВА.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

• AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Все остальные

Подсказка: в кубе все углы по  . Плоскость (DC ), проходит через грань куба DC .

• Разбор задания: Куб – это геометрическая фигура у которой все углы прямые, следовательно нужно увидеть ребра которые перпендикулярны к плоскости (DC ), к грани куба (DDC ).Эти ребра - AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

Пример 2

Ребус – соответствия.

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

Утверждение:

• Две прямые называются перпендикулярными, если …..

• Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

Варианты ответов:

• 

• 

• параллельны

• один

• она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

• перпендикулярна плоскости.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Все остальные.

Подсказка:

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Контролирующий блок:

Перпендикулярность прямой и плоскости

Выберите ребра, перпендикулярные плоскости DCС₁.

Варианты ответа:

1) AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

2) AD, AC, AD₁

3) BC, BA

2.Закончите предложения, чтобы получилось верное утверждение, установив соответствие между элементами.

Две прямые называются перпендикулярными, если

а)угол между ними равен 90°

б)перпендикулярна плоскости.

в)она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

параллельны.

3.Распределите пары «прямая-плоскость» по категориям.

D₁C₁и DCB 

D₁C₁и ABB₁

C₁C₁и DCB 

AB и CC1B

1. Подчеркните лишние элементы в решение задачи

Дано: точка М лежит вне плоскости АВС, ∠MAC=900, ∠BAC=900.

Доказать, что прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.

Подсказка

Доказательство:

AC⊥AB (по условию), AC⊥AM (по условию)

AB⊂(AMB),(AMC);

AM⊂(AMB), (AMC);

AB⊂AM = А, В,

следовательно AC⊥(АМВ), (АМС) (по признаку параллельности прямой и плоскости.

Что и требовалось доказать.

5.Точки A, М и О лежат на прямой a, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, B, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: АОВ, МОС, DAM,

6.В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение плоскостью A1B1C. Тогда:

Подсказка

Углом между секущей плоскостью и прямой AC является угол между прямыми AС и A1C.

Угол между секущей плоскостью и плоскостью ABC равен углу BCA1.

Угол между секущей плоскостью и плоскостью ABC равен 450.

Плоскость CBB1 перпендикулярна линии пересечения секущей плоскости и плоскости ABC.

OA, BMO?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/640200-perpendikuljarnye-prjamye-priznak-perpendikul