Методы решения задач по финансовой математике

Методы решения задач по финансовой математике (задание 16 ЕГЭ)

Учитель математики МОУ Шиловская СШ Дроба О.Г.

Задачи по финансовой математике часто кажутся сложными из‑за обилия условий и терминов. Но на практике почти любую такую задачу можно решить, если действовать системно: сначала чётко выделить параметры операции (сумму, ставку, срок, тип платежей), затем выбрать подходящий метод и построить математическую модель, а уже потом переходить к вычислениям.

Материал, который представлен далее, как раз и посвящён основным методам, которые помогают структурировать и решать такие задачи.

Все задачи ЕГЭ, связанные с кредитами, можно разделить на три группы: краткосрочные кредиты (на 3-4 года), задачи на дифференцированные платежи и задачи, в которых оговаривается остаток долга.

Рассмотрим каждый вид задачи по отдельности.

1. Задачи выплаты кредитов в течение 3-4 лет.

П
усть клиент взял в банке Р рублей. Через период времени t₁размер долга вырастет до Р_1,клиент вносит платеж R₁, размер долга уменьшается до К₁, и т.д. См.график:

i – процентная ставка

K1=P*(1+i)-R1

K2=k1*(1+i)-R2

K2*(1+i)-R3=0

Пример 1.31.12.13 г. Сергей взял в банке 9 930 000 руб. под 10% годовых. 31-го декабря следующего года банк начисляет проценты, затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами?

Решение: По условию Р=9 930 000 р., i=0.1,R1=R2=R3-?

По графику составляем уравнение:

((9 930 000*1,1-Х)*1,1-Х)*1,1-Х=0

((9 930 000*1,1-Х)*1,1-Х)*1,1=Х

((9 930 000*1,1-Х)*1,1-Х)=10Х/11

(9 930 000*1,1-Х)*1,1=21Х/11

9 930 000*1,1-Х=210Х/121

9 930 000*1,1=331Х/121

Х=3 993 000 руб.

Пример 2. 31 декабря 2013 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем Андрей переводит в банк 3 460 600 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение: ((Х*1,1-3 460 600)*1,1)-3 460 600)*1,1-3 460 600=0

Откуда Х= 8 606 000 руб.

Пример 3. 31 декабря 2013 года Игорь взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю?

Решение: пусть 1+ i=Х, тогда

(100 000*Х-51 000)*Х-66 600=0, откуда Х=1,1, i=10%

1. Задачи на дифференцированные платежи.

Ключевая фраза: «Долг уменьшается на одну и туже величину».

Основной принцип: «Каждый раз клиент выплачивает набежавшие проценты за один период и 1/n часть долга».

Чаще всего периодом является 1 месяц, причем если кредит взят на 1 год, то выплачивается набежавший процент и 1/12 часть долга, если на 2 года, то процент + 1/24 часть долга и т.д.

Введем обозначения:

А – первоначальная сумма кредита (основной долг),

n – период,

p – проценты,

S – сумма платежей за определенный период

Здесь полезно напомнить учащимся формулу: 1+2+3+…+ n=n(n+1)/2

Из данных в таблице выводим формулы:

S%=Ap(n+1)/2 –сумма набежавших процентов,

S=A+S% - сумма всех выплат.

Наибольший платеж – первый, наименьший – последний.

Пример. Галина взяла в кредит 12 млн.руб. на 24 месяца. По договору Галина должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 3%, а затем уменьшается на сумму,, уплаченную Галиной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Галиной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Галина вернет банку в течение первого года предоставления кредита по сравнению со вторым?

Решение.А=12 млн.руб, р=0,03, n=24.

Т.к. сумма долга уменьшается равномерно, то разница в сумме за первый и второй год будет в начисленных процента.

% за первый год:S₁=Ар+23Ар/24+….+13Ар/24)=Ар(1+23/24+22/24+…+13/24)= Ар*(24+13)*12/(2*24)=12*0,03*37/4=3,33 млн.руб.

% за весь период (см.формулу) S%=Ар*(n+1)/2=4,5 млн.руб.

% за второй год: S₂=S%-S₁=4,5-3,33=1,17 млн.руб.

S₁-S₂=3,33-1,17=2,16млн.руб

1. Задачи, в которых оговаривается остаток долга.

Пример. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение: р=0,05

Общая сумма выплат: Ар(1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5)+А= 4,5Ар+А= 1,225А

То есть выплаты больше суммы долга на 22,5%.

Пример. 15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

Решение: Составим таблицу:

Размер выплат: Ар(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)+А = А(2,6р+1)<1,2

2,6р<0.2

p<0,0769,p<7,6%,p=7%

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/644087-metody-reshenija-zadach-po-finansovoj-matemat