Решение неравенств методом интервалов

Тема урока: 

Решение неравенств методом интервалов

Цели урока

- Ознакомить учащихся с алгоритмом решения неравенств методом интервалов.

- Показать примеры решений линейных, квадратных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов по алгоритму.

Используемые на уроке учебные материалы:

На уроке используется учебник математики и видео материалы.

Содержание урока

Актуализация знаний

-Что значит решить неравенство?

Это значит найти такое значение переменной, при котором неравенство становится верным.

-Какие существуют методы решения неравенств?

1. Метод равносильных преобразований.

Предполагает перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число, умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный.

Получившийся в результате преобразования промежуток является ответом.

1. Графический метод.

Построение графика функции, которая соответствует неравенству. Корень функции разбивает ось на 2 промежутка – на первом промежутке функция отрицательна, на втором положительна.

1. Метод интервалов.

Одним из самых эффективных и универсальных методов решения неравенств является метод интервалов. Метод применим к решению следующих неравенств:

- Линейные (где неизвестное стоит только в первой степени;

- Квадратные (где неизвестное стоит во второй степени)

- Дробно-рациональные (где есть операции деления на выражение, содержащее переменную).

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0. 

2. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0. 

3.Учесть область допустимых значений, вычеркнув значения, при которых выражение не определено (например, деление на ноль).

4. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы. В нестрогих неравенствах (≥ или ≤) точки закрашивают, в строгих (> или <) не закрашивают. При этом от того, какая отмечена точка (закрашенная или не закрашенная (выколотая), будет зависеть ответ. 

5. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение из интервала в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

6. Выбрать интервалы, на которых знак функции удовлетворяет неравенству.

Записать окончательный ответ

Рассмотрим пример решения линейного неравенства:

-6х+12>0

-6х+12=0 (ищем, при каком значении х значение функции будет равно нулю)

-6х=-12

х=2 (в точке 2 значения функции превращаются в ноль)

Далее нарисуем координатную ось, на которой отмечена выколотая точка, исходя из того, что неравенство строгое:

Затем можно приступить к определению знаков на соответствующих промежутках.

Рассмотрим промежуток (−∞,2). Определим функцию y = -6x + 12 при x = 1

-6·1+12=6

6 > 0

В результате, данному промежутку соответствует знак «плюс».

Аналогично проанализируем промежуток, выполнив подстановку x = 3.

-6·3+12=-6

-6 < 0

На этом промежутке знак «минус».

При переходе через точку 2 функция меняет знак.

Заштрихуем область над положительным промежутком.

Эта область и есть решение задачи, т.е. при х <2 неравенство -6х+12>0

верно.

Ответ:х <2

Рассмотрим пример решения квадратного неравенства:

х²+ х – 12 <0

Приравниваем левую часть неравенства к нулю

х²+ х – 12 = 0

Находим корни квадратного уравнения

Отмечаем корни на числовой оси

Изобразим интервалы и выполним расстановку знаков.

В интервале х>3 подставим х=4, получим 8>0. Ставим знак (+).

В интервале -4 <х <3 подставим х=2, получим -6<0. Ставим знак (-).

В интервале х <-4 подставим х=-5, получим 8>0. Ставим знак (+).

Учитывая, что исходное неравенство х²+ х – 12 <0.

для решения подходят только отрицательные интервалы.

Ответ: - 4 <x <3 

Рассмотрим пример решения дробно-рационального неравенства:

а) Числитель приравниваем к нулю и находим корни:

б) Знаменатель приравниваем к нулю и находим корни:

13х-4=0

13х=4

х=

В область допустимых значений х=не входит.

в) Отметим корни на координатной оси, предварительно сравнив их по величине и правильно расположим.

Заметим, что точки из числителя будут закрашены, а из знаменателя — выколоты, так как при значении х= знаменатель равен нулю, а на ноль делить нельзя.

г) Определим знаки в интервалах, подставляя числа этих интервалов:

-Рассмотрим интервал х>

Допустим, х=1

Значение функции >0, ставим знак (+) в правом интервале.

-Рассмотрим интервал ≤ х <

Допустим, х= 0

Подставив х=0 в исходное неравенство, получим <0

Значение функции <0, ставим знак (-) в данном интервале.

- Рассмотрим интервал ≤ х ≤

Допустим х = Тогда значение функции будет равно>0

Значение функции >0, ставим знак (+) в данном интервале.

- Рассмотрим интервал х ≤

Допустим, х= -1 Тогда значение функции будет равно

Значение функции <0, ставим знак (-) в данном интервале.

В результате в ответе получились два множества. В первом случае это обычный отрезок. Второй интервал является открытым лучом на числовой оси.

Ответ:

1) ≤ х ≤ 2) х>

Совершенно необязательно проверять знак функции в каждом числовом промежутке. Достаточно определять его только в правом крайнем промежутке. А дальше удобно воспользоваться свойством чередования знаков функции.

Итог урока.

1.Ученики ознакомились с алгоритмом решения неравенств методом интервалов.

2. Ученики научились пользоваться алгоритмом при решении неравенств различного вида.

Домашнее задание

………….

На уроке использован учебник: Математика: ………

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/644855-reshenie-neravenstv-metodom-intervalov