Конспект урока «Применение теорем синусов и косинусов»

КОНСПЕКТ УРОКА ГЕОМЕТРИИ В 9 КЛАССЕ

Предмет: Геометрия

Класс: 9

Тема урока: Практическое применение теорем синусов и косинусов

Тип урока: Урок комплексного применения знаний и умений (урок-практикум)

Педтехнологии: технология проблемного обучения, практико-ориентированное обучение

Продолжительность: 45 минут

1. ЦЕЛИ УРОКА

Образовательная цель: создать условия для формирования умения применять теоремы синусов и косинусов к решению прикладных задач (измерительные работы на местности, навигация), переносить геометрические знания в жизненные ситуации.

Развивающая цель: развивать пространственное воображение, логическое мышление, умение анализировать условие задачи и выбирать рациональный способ решения; развивать навыки самоконтроля и учебного сотрудничества.

Воспитательная цель: повышать познавательный интерес к изучению геометрии через демонстрацию её практической значимости; формировать ответственное отношение к учебному труду, аккуратность выполнения чертежей и вычислений.

2. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ (ФГОС)

Личностные УУД:

- Проявление познавательной инициативы в учебном сотрудничестве;

- Осознание практической значимости геометрических знаний для жизни и профессии (инженер, геодезист);

- Готовность к саморазвитию и самообразованию.

Метапредметные УУД:

- Регулятивные: формулировать учебную цель, планировать этапы решения задачи, осуществлять контроль и коррекцию вычислений, оценивать результат.

- Познавательные: структурировать знания; строить логические цепи рассуждений; осуществлять перевод условия из текстовой формы в графическую (чертёж).

- Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, слушать собеседника, распределять функции в группе при работе в парах.

Предметные УУД:

- Уметь формулировать теоремы синусов и косинусов;

- Применять эти теоремы для нахождения неизвестных элементов треугольника (сторон и углов) в контексте практических задач;

- Понимать разницу условий применения теорем (по двум сторонам и углу, по стороне и двум углам).

3. ХОД УРОКА

1. Организационный момент (1-2 мин)

Деятельность учителя: Приветствие, проверка готовности рабочих мест, фиксация отсутствующих. Создание позитивного настроя.

«Добрый день, будущие инженеры и архитекторы! Сегодня мы не просто решаем треугольники, мы отправляемся в геодезическую экспедицию. Проверьте, чтобы на партах были инструменты для построений».

Деятельность учащихся: визуально проверяют наличие тетради, ручки, линейки. Настраиваются на восприятие.

2. Актуализация знаний (5 мин)

Форма: «Математический диктант + самопроверка»

Деятельность учителя: диктует задания по формулам устно или выводит на экран незаконченные фразы.

Задания:

1. Для треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C: запишите теорему синусов.

2. Теорема косинусов для стороны a запишите в виде выражения...

3. Какая теорема связывает две стороны и угол между ними? (Косинусов).

4. Какая теорема подходит, если известна одна сторона и два угла? (Синусов).

Деятельность учащихся: записывают формулы в тетрадь. (Приложение 1). После завершения — проверка по слайду (взаимопроверка или самопроверка, оценивание +1 балл за верную формулу).

Итог: Учитель акцентирует: «Теорема синусов работает, когда известна пара "сторона-противолежащий угол", теорема косинусов — для нахождения третьей стороны по двум сторонам и углу между ними. Сегодня мы применим это к реальным объектам».

3. Постановка проблемы и мотивация (3 мин)

Прием: Создание проблемной ситуации (показ изображения реки или оврага).

Деятельность учителя: Демонстрация на слайде фотографии реки. Вопрос: «Представьте, что перед вами широкая река. Рулетки такой длины у нас нет, переплывать её холодно. Как измерить её ширину, стоя на этом берегу?» (Выслушивает предположения). «Именно для этого нам нужно смоделировать ситуацию на плоскости и применить геометрию. Это и будет цель нашего урока».

Деятельность учащихся: предлагают идеи (замерить расстояние вдоль берега, измерить углы), осознают, что для решения нужны знания формул сегодняшнего урока.

4. Основной этап — Решение практических задач (25 мин)

Форма: Фронтальная работа с пошаговым оформлением на доске.

Учитель делит задачи по уровню сложности и способу применения формул.

Задача 1 (Применение т. синусов). «Ширина реки» (7-8 мин)

Условие: чтобы найти ширину реки, отметили на берегу точку A. На противоположном берегу заметили дерево B. От точки A отложили вдоль берега расстояние AC = 50 м. Измерили углы: ∠BAC = 75°, ∠BCA = 60°. Найдите ширину реки (расстояние от точки A до прямой BC? — Уточняем: найти расстояние AB, но в задаче шириной часто называют перпендикуляр, однако здесь находим сторону AB по теореме синусов, а затем высоту, если нужно. Упростим: найти AB).

Ход решения: находим угол B = 180 - 75 - 60 = 45°. По т. синусов: AB / sin60 = AC / sin45. Отсюда AB = (50 * √3/2) / (√2/2) = 50 * √1.5 ≈ 61.2 м.

Деятельность учащихся: вместе с учителем выполняют чертёж, записывают краткое решение. Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях.

Задача 2 (Применение т. косинусов). «Расстояние между кораблями» (8-9 мин)

Условие: из порта P вышли два корабля. Один — на юг со скоростью 40 км/ч, второй — на восток под углом 60° к первому (т.е. азимут 120°) со скоростью 30 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа? (Показать схему).

Решение: за 2 часа первый прошел PA = 80 км, второй PB = 60 км. Угол между направлениями = 60°. Применяем теорему косинусов для треугольника PAB: AB² = 80² + 60² - 2*80*60*cos60° = 6400 + 3600 - 4800 = 5200. AB = √5200 ≈ 72.1 км.

Деятельность учащихся: Построение чертежа «по компасу». Выявление, почему здесь нельзя применить синусы (неизвестны углы при основании треугольника), идёт активное обсуждение выбора формулы.

Задача 3 (Комбинированная / на нахождение высоты). «Высота столба» (8-9 мин)

Условие (геодезический кейс): для определения высоты башни AB установили прибор (теодолит) на расстоянии CK = 40 м от основания башни. Угол между горизонтальной линией KC и лучом зрения на вершину башни A равен 35°. (Уровень глаз прибора C находится на высоте 1,5 м над землей).

(Здесь используется тангенс, но для 9 класса это сложно, модифицируем для синуса).

Модификация: из точки C на уровне земли измерили угол к вершине A (элевация) = 30°. Из точки D, расположенной на той же прямой на 10 м дальше от башни, угол оказался 25°. Найдите высоту BA.

Решение: нужно составить систему или использовать теорему синусов в треугольнике ACD, где CD=10 м, ∠ACD=30°, ∠ADC=180-25=155°, угол A=25°. Находим AC, затем в треугольнике ABC (∠ABC=90°, ∠ACB=30°, AC известна) находим AB = AC * sin30.

Деятельность учащихся: сравнивают результаты. Учитель акцентирует, что в жизни мы часто не можем подойти вплотную к объекту, поэтому метод треугольников незаменим.

5. Физкультминутка (2 мин)

Комплекс: Динамическая пауза (смена деятельности).

1. Гимнастика для глаз: «Нарисуйте глазами треугольник, квадрат, окружность» (повторить 3-4 раза).

2. Упражнение для снятия мышечного напряжения: встать, потянуться, наклоны в стороны (счет 1-4).

Действие учителя: произносит команды в игровой форме, контролирует выполнение.

6. Самостоятельная работа / Работа в парах (5 мин)

Форма: Экспресс-тест на карточках (2 варианта).

Задание: Дан треугольник (чертеж) с указанием элементов. Выбрать формулу для нахождения искомого элемента.

Вариант 1: Даны b=8, c=10, угол A=60°. Найти a. (Ответ: т. косинусов).

Вариант 2: Даны a=5, угол B=45°, угол C=70°. Найти b. (Ответ: т. синусов).

Деятельность учителя: раздает карточки, отслеживает время. Консультирует слабоуспевающих.

Деятельность учащихся: решают в парах (обсуждают выбор формулы). Проверка по ключу на доске (взаимопроверка, ставят оценки друг другу).

7. Рефлексия и итоги (3 мин) (приложение 2)

Деятельность учителя: задаёт вопросы:

«Что было для вас самым полезным на уроке? Где вы сможете применить эти знания?»

Деятельность учащихся: заполняют лист самооценки, анализируют свою работу. Сдают карточки самостоятельной работы.

Оценивание: Учитель объявляет оценки за работу у доски и за диктант. Аргументирует отметки.

8. Домашнее задание (2 мин)

Дифференцированное задание:

- Базовый уровень: Задача №1 из учебника (стандартная) на применение любой из теорем.

- Повышенный уровень (творческое): «Измеритель на практике». Придумайте и опишите план измерения высоты вашего дома или длины теннисного стола (находясь в одной точке), используя подручные средства (транспортир, нить с грузом для отвеса). Составьте математическую модель (чертеж) и запишите формулу для вычисления.

Приложение 1

Приложение 2

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/648877-konspekt-uroka-primenenie-teorem-sinusov-i-ko