Рациональные уравнения. Методическое пособие по подготовке к ГИА

Ф.И.О автора материала: Дыда Татьяна Ивановна

Место работы: МАОУ СОШ № 18, г. Армавир Краснодарский край

Должность: Учитель математики

« Рациональные уравнения »

Учебно - методический материал

в помощь учителю при подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Автор – составитель:

Дыда Т. И. – учитель математики

МАОУ СОШ № 18 г. Армавир

2014 год

Содержание

I. Рациональные уравнения .................................................................................... стр.

1) Линейные уравнения. ............................................................................................... 3-4

2) Системы линейных уравнений. ............................................................................... 4-8

3) Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним. ..................................... 8-11

4) Уравнения высшей степени. Способ группировки. .............................................. 11-12

5) Уравнения высшей степени. Способ подстановки. .............................................. 12-13

6) Уравнения высшей степени. Способ подбора. ...................................................... 13-15

7) Уравнения высшей степени. Симметрические уравнения четвёртой степени....15-16

8) Уравнения с модулем. ...............................................................................................16-18

9) Рациональные уравнения. ........................................................................................19-22

Рациональные уравнения.

Функция вида Р(х) = + + + ... ++ ,

где n - натуральное число, , , , ..., - некоторые действительные числа, называется рациональной функцией.

Уравнение вида Р(х) = 0, где Р(х) - целая рациональная функция, называется целымрациональным уравнением.

Уравнение вида + + ... + = 0,

где, ,..., , , , ..., - целые рациональные функции, называетсярациональным уравнением.

Решение рационального уравнения = 0, где Р(х) и Q(х) - многочлены , сводится к решению уравнения Р(х) = 0 и проверки того, что корни удовлетворяют условию Q(х) 0.

1. Линейные уравнения.

Уравнение вида ⍺х + b = 0, где ⍺ и b - некоторые постоянные, называетсялинейным уравнением.

Если ⍺ 0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х = - .

Если ⍺ = 0, то линейное уравнение корней не имеет.

Если ⍺ = 0, b = 0, то переписав исходное уравнение в виде ⍺х = - b, легко видеть, что любое х является корнем линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: у = ⍺х + b.

Если прямая проходит через точку с координатами и , то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. = ⍺+ b.

Пример 1.1. Решить уравнение 2х - 3 + 4(х - 1) = 5.

Решение: раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём х:

2х - 3 + 4х - 4 = 5,

2х + 4х = 5 + 3 + 4,

6х = 12,

х = 2.

Ответ: х = 2.

Пример 1.2. Решить уравнение 2х - 3 + 2(х - 1) = 4(х - 1) - 7.

Решение: 2х - 3 + 2х - 2 = 4х - 4 - 7,

2х + 2х - 4х = - 4 - 7 + 3 + 2,

0х = - 6.

Ответ: нет корней.

Пример 1.3. Решить уравнение 2х + 3 - 6(х - 1) = 4(1 - х) + 5.

Решение: 2х + 3 - 6х + 6 = 4 - 4х + 5,

2х - 6х + 4х = 4 + 5 - 3 - 6,

0 = 0.

Ответ: х - любое число.

Решить самостоятельно.

1) 6(х + 4) = 3 - 2х; 6) (7х + 1) - (6х + 3) = 5;

2) 2х + 5 = 2(х - 7); 7) (5х - 3) + (7х - 4) = 8 - (15 - 11х);

3) 3(х + 3) + х = 9 + 4х; 8) 3(1 - 2х) - 5(3 - х) - 6(3х - 4) = 83;

4) 13 - (5х + 11) = 6х; 9) х(2х + 3) - 5(- 3х) = 3х (7 - х);

5) 3у - (5 - у) = 11; 10) 23 - 3(у + 1) + 5(6у - 7) - 7(3у - 1) = 0.

2. Системы линейных уравнений.

Уравнение вида + + ... + = b, где , , ...,, b - некоторые числа, называется линейным уравнением с nнеизвестными, , ...,.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

1) система имеет одно решение;

2) система не имеет решений;

3) система имеет бесконечно много решений.

Пара значений переменных, обращающее каждое уравнение системы в верное равенство, называется решением системы уравнений.

Решить систему уравнений - значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Рассмотримспособы решения систем уравнений:

1) графический способ решения;

2) способ подстановки;

3) способ сложения;

4) способ замены переменной.

П ример 2.4. Пусть требуется решить графически систему уравнений:

Построим в координатной плоскости графики

уравнений системы.

Координаты точки пересечения прямых удовлетворяют, как

первому уравнению, так и второму, т. е. являются решением системы. Графики пересеклись в точке (1; 1). Значит, система имеет единственное решение: х = 1, у = 1.

Ответ: (1; 1).

Пример 2.5 Система уравнений может иметь два решение. Решить графически систему

у равнений:

Графики уравнений пересеклись в двух точках:

А(2; 1) и В(- 1; 4). Значит система имеет два решения:

х₁ = 2, у₁ = 1; х₂ = - 1, у₂ = 4.

Ответ: (2; 1), (- 1; 4).

Пример 2.6. Решить систему уравнений способом подстановки:

Способ заключается в следующем:

1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующее значение второй переменной.

Решение:

Ответ: (1; 4).

Пример 2.7 Решить систему уравнений:

Решение: решим систему способом сложения, умножим первое уравнение на (- 2), а второе на 3, получим:

+

5х = 5, х = 1

Ответ: (1; 2).

Пример 2.8. Решить систему уравнений:

Решение: решим систему способом сложения и умножим первое уравнение на (- 2):

+

0 = 3, равенство неверно, 0 3.

Ответ: нет решений.

Пример 2.9. Решить систему уравнений:

Решение: умножим первое уравнение на (-3), получим

+

0 = 0, равенство верно.

Ответ: бесконечно много решений.

Пример 2.10. Решить систему уравнений:

Решение: при решении систем линейных уравнений с тремя неизвестными удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду. Умножим первое уравнение на (- 2) и сложим со вторым:

разделим на (- 3),

сложим первое уравнение в третьим, получим:

разделим третье уравнение на 7.

система приобрела треугольный вид.

Подставляя у = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя у и z первое уравнение находим х = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

3) Решим систему способом замены переменной.

Пример 2.11. Решить систему уравнений:

Решение: Обозначим , ; причём х у

Система примет вид: - решим способом сложения.

+

66⍺ = 22, отсюда ⍺ = .

Вернёмся к начальным переменным:

подставим вместо ⍺ и b их значения:

отсюда

Ответ: (2,5; - 0,5).

Решить самостоятельно.

Решить графически: Решить системы уравнений:

1) 9)

2) 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

1) Уравнение вида ⍺+ bх + с = 0, где х - переменная, ⍺, b, с - некоторые числа, причём ⍺ , называется квадратным.

Коэффициент ⍺ - называют первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом, с - свободным членом.

2) Выражение D = - 4⍺с называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня:

=

Если D = 0, то уравнение имеет два равных действительных корня: = - , которые называют корнями кратности два.

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

3) Если в уравнении ⍺+ bх + с = 0, ⍺разделить обе части на ⍺, получим уравнение

⍺+ х + = 0, которое называется приведённым и первый коэффициент равен 1;

= - ⍺с, =

4) Уравнения вида а) ⍺+ bх = 0, где с = 0;

б) ⍺ + с = 0, b = 0; в) ⍺= 0, где b = 0, с = 0 называются неполными квадратными уравнениями.

5)Теорема Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения + рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. + = - р, · = q

6)Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, , таковы, что + = - р, · = q, то, - корни уравнения + рх + q = 0.

7) Если дискриминант D > 0, то ⍺+ bх + с = ⍺(х - )(х -), где и - корни трёхчлена.

8) Если D = 0, то ⍺+ bх + с = ⍺ , где - корень трёхчлена,

например, 5 + 10х + 5 = 5 .

Пример 3.12. Решить уравнение 2 - 9х + 4 = 0.

Решение: ⍺ = 2, b = - 9, с = 4.

D = - 4⍺с; D = 9² - 4 · 2 · 4 = 81 - 32 = 49 = 7², D > 0, уравнение имеет два корня;

= ; = = ; = 4, = 0,5.

Если разложить квадратный трёхчлен на множители, то ⍺+ bх + с = ⍺(х - )(х -),

2 - 9х + 4 = 2(х - 0,5)(х - 4) = (2х - 1)(х - 4).

Пример 3.13. Решить уравнение + 10х + 25 = 0.

Решение: ⍺ = 1, b = 10, с = 25.

D = - 4⍺с; D = 10² - 4· 25 = 100 - 100 = 0, D = 0, уравнение имеет один корень

= - ; = - = - .

Если разложить квадратный трёхчлен на множители, то ⍺+ bх + с = ⍺ ,

+ 10х + 25 = .

Пример 3.14. Решить уравнение + 4х + 7 = 0.

Решение: ⍺ = 1, b = 4, с = 7.

D = - 4⍺с; D = 4² - 4· 7 = 16 - 28 = - 12, D < 0, уравнение не имеет корней.

Пример 3.15. Решить уравнение + 10х + 16 = 0.

Решение: ⍺ = 1, , с = 16.

= - ⍺с, = - 1 · 16 = 25 - 16 = 9, D > 0, уравнение имеет два корня;

= = = - 5 3, = - 2, = - 8.

Если разложить квадратный трёхчлен на множители, то ⍺+ bх + с = ⍺(х - )(х -),

+ 10х + 16 = (х + 2) (х + 8).

Пример 3. 16. Решить уравнение 4 - 5х = 0.

Решение: чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители 4 - 5х = х(4х - 5).

Произведение х(4х - 5) = 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: х = 0 или 4х - 5 = 0. Получим = 0, = - корни данного уравнения.

Пример 3.17. Решить уравнение 25х² - 36 = 0

Решение: разложим уравнение на множители с помощью формулы сокращённого умножения 25х² - 36 = (5х - 6) (5х + 6),

(5х - 6) (5х + 6) = 0,

5х - 6 = 0 или 5х + 6 = 0,

= , = - .

Пример 3.18. Решить уравнение 2х² + 128 = 0.

Решение: разделим обе части уравнения 2, получим х² + 64 = 0, х² = - 64.

Так как х² ≥ 0, то уравнение х² = - 64 не имеет корней.

Пример 3.19. Составить квадратное уравнение по его корням: и - .

Решение: = и = - корни уравнения х² + рх + q = 0, по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнение: р = - (х₁ + х₂) = - = - ,

q = х₁ · х₂ = · = - .

Тогда уравнение примет вид: х² - х - = 0, или 18х² - 3х - 1 = 0.

Пример 3.20. Сократить дробь .

Решение: найдём корни квадратного трёхчлена, записанного в числителе:

х² - 3х - 4 = 0. По теореме, обратной теореме Виета х₁ + х₂ = - р, х₁ · х₂ = q,

подставим: х₁ + х₂ = -(- 3), х₁ · х₂ = = - 4. Отсюда х₁ = - 1, х₂ = 4;

х² - 3х - 4 = (х + 1) (х - 4).

Сократим дробь: = = х + 4.

Решить самостоятельно.

Решить уравнения: Решить неполное квадратное уравнение:

1) х² - 3х - 40; 1) - 7х² - 3х = 0;

2) х² + 7х + 6 = 0; 2) - 4х² - 4х = 0;

3) х² + 6х + 9 = 9; 3) 4х² - 5х = 0;

4) х² + 3х - 54 = 0; 4) - 5х² - 9х = 0;

5) 5х² + 4х + 8 = 0; 5) х² + 8 х = 0;

6 ) - 3х² - 3х + 6 = 0; 6) 2х² + 8 = 0;

7) 4х² - 4х + 1 = 0; 7) х² - 1 = 0; 9) х² + = 0

8) - 9х² - 5х +7 = 0; 8) х² - 5 = 0 10) х² = х;

Решите уравнение и разложите его на линейные множители:

1) х² + 14х - 25 = - 4х² + 35х - 47;

2) 5х² + 5х - 15 = 2х² + 11х + 9;

3) - х² + 3х + 55 = ;

4) - 3х² - х +8 = ;

5) = 2х² - 6х - 31;

6) = - х² + 15х + 50.

Составить приведённое уравнение, имеющее корни х₁ и х₂ :

1) х₁ = 3, х₂ = - 1; 2) х₁ = 2, х₂ = 3; 3) х₁ = - 4, х₂ = - 5; 4) х₁ = , х₂ = -

Сократите дробь:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

4. Решение уравнений высшей степени. Метод группировки.

Путём группировки слагаемых, применяя формулы сокращённого умножения привести уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа - ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей и решаем несколько маленьких уравнений.

Пример. 4.21. Решить уравнение х³ - 3х + 2 = 0.

Решение: х³ - х - 2х + 2 = 0; сгруппируем:

(х³ - х) - (2х - 2) = 0;

х (х² - 1) - 2 (х - 1) = 0; применим формулу сокращённого умножения:

х (х - 1)(х + 1) - 2(х - 1) = 0; повторился множитель (х - 1):

(х - 1) (х(х + 1) - 2) = 0;

(х - 1) (х² + х - 2) = 0;

(х - 1) = 0 или х² + х - 2 = 0;

х₁ = 0 х₂ = - 2, х₃ = 1.

Ответ: х₁ = 0, х₂ = - 2, х₃ = 1.

Пример. 4. 22. Решить уравнение: х⁴ - 2х² - 12х - 8 = 0.

Решение: перепишем уравнения так, чтобы можно было выделить полный квадрат:

х⁴ + 2х² + 1 - 4х² - 12х - 9 = 0;

(х⁴ + 2х² + 1) - (4х² + 12х + 9) = 0;

(х² + 1)² - (2х + 3)² = 0, применить формулу разности квадратов:

(х² + 1 + 2х + 3) (х² + 1 - 2х - 3) = 0;

(х² + 2х + 4)(х² - 2х - 2) = 0;

(х² + 2х + 4) = 0 или (х² - 2х - 2) = 0;

= - ⍺с; = - ⍺с;

D₁ = 1 - 4 = - 3; D₁ = 1 + 2 = 3, D₁ > 0, два корня

D₁ < 0, нет корней х_{1, 2} = 1 .

Ответ: х_{1, 2} = 1 .

Решить самостоятельно.

Решите уравнения способом группировки:

1) х³ - 8 + х - 2 = 0;

2) х³ + х + 2 = 0;

3) 2х⁴ + х³ + 4х² + х + 2 = 0;

4) х⁴ - 5х³ + 20х - 16;

5) х⁸ - 6х⁷ + 9х⁶ - х² + 6х - 9 = 0.

5. Уравнения высшей степени. Способ подстановки.

Ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначают новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения.

Пример. 5.23. Решить уравнение + + 4 = 0.

Решение: Обозначим = t, уравнение примет вид: t + + 4 = 0, отсюда

t² + 4t + 3 = 0, t 0

t₁ = - 3, t₂ = - 1.

Вернёмся к начальной переменной и решим два уравнения:

а) = - 3, б) = - 1;

х² + 4х - 5 = 0, х 0; х² + 2х - 5 = 0, х 0;

х₁ = - 5, х₂ = 1. D₁ = 1 + 5 = 6, D₁ > 0,

х₃,₄ = - 1 .

Ответ: х₁ = - 5, х₂ = 1, х₃,₄ = - 1 .

Пример 5.24. Решить уравнение: - = 55.

Решение. В данной случае подстановка видна лишь после преобразований:

- ( = 55,

Обозначим, = t, уравнение примет вид: t² - (t +1) = 55,

t² - t - 56 = 0, t₁ = - 7, t₂ = 8.

Вернёмся к начальной переменной:

а) х² + 2х = - 7, б) х² + 2х = 8;

х² + 2х + 7 = 0, х² + 2х - 8 = 0,

D₁ < 0, нет корней; х₁ = - 4, х₂ = 2.

Ответ: х₁ = - 4, х₂ = 2.

Пример 5.25. Решить уравнение х (х + 2) (х + 3) (х + 5) = 72.

Решение: перегруппируем сомножители и преобразуем данное уравнение,

х (х + 5) (х + 2)(х + 3) = 72;

(х² + 5х) (х² + 5х + 6) = 72;

Обозначим (х² + 5х) = t, уравнение примет вид:

t (t + 6)= 72,

t² + 6t - 72 = 0,

t₁ = 6, t₂ = - 12.

Вернёмся к начальной переменной:

а) х² + 5х = 6, б) х² + 5х = - 12,

х² + 5х - 6 = 0, х² + 5х + 12 = 0,

х₁ = 1, х₂ = - 6. D = 25 - 48 = - 23, D < 0, нет корней.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = - 6.

Решить самостоятельно.

Решите уравнения способом подстановки:

1) х⁶ - 5х³ + 4 = 0; 3) 6 - = 4х - х²; 5) (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 1;

2) х⁴ - 6х² + 8 = 0; 4) + = 2; 6) (х - 4) (х - 5) (х - 6) (х - 7) = 1680.

6. Уравнения высшей степени. Способ подбора.

При решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения

++ ... + ⍺₁х + ⍺₀ = 0

ищем в виде , где р - делитель ⍺₀, q - делитель ;

р и q - взаимно простые, р Z, q N.

Пример 6.26. Решить уравнение: х³ - х² - 8х + 6 = 0.

Решение: здесь = 1, ⍺₀ = 6. Поэтому корни данного уравнения следует искать среди делителей числа 6: Проверкой убеждаемся, что при х = 3, данное уравнение обращается в верное равенство: 3³ - 3² - 8 · 3 + 6 = 27 - 9 - 24 + 6 = 0.

Делим х³ - х² - 8х + 6 на х - 3.

х³ - х² - 8х + 6 х - 3

х³ - 3х² х² + 2х - 2

2х² - 8х

2х² - 6х

- 2х + 6

- 2х + 6

0

Тогда х³ - х² - 8х + 6 = (х - 3) (х² + 2х - 2), т.е. данное уравнение можно представить в виде: (х - 3) (х² + 2х - 2) = 0,

(х - 3) = 0 или х² + 2х - 2 = 0;

х₁ = 3 = - ⍺с;

D₁ = 1 + 2 = 3, D₁ > 0, уравнение имеет два корня

х_{2, 3} = - 1 .

Ответ: х₁ = 3, х_{2, 3} = - 1 .

Пример 6.27. Решить уравнение 4х⁴ + 8х³ + х² - 3х - 1 = 0.

Решение: здесь = 4, ⍺₀ = -1. Поэтому корни данного уравнения следует искать среди чисел: (Делители числа 4: делители ( - 1): есть .

Проверкой убеждаемся, что при х = , данное уравнение обращается в верное равенство. Делим 4х⁴ + 8х³ + х² - 3х - 1 на х + .

4х⁴ + 8х³ + х² - 3х - 1 х +

4х⁴ + 2х³ 4х³ + 6х² - 2х - 2

6х³ + х²

6х³ + 3х²

- 2х² - 3х

- 2х² - х

- 2х - 1

- 2х - 1

0

Данное уравнение можно представить (х + ) (4х³ + 6х² - 2х - 2) = 0.

Отсюда х₁ = (решение найденное подбором) или (4х³ + 6х² - 2х - 2) = 0 | : 2,

2х³ + 3х² - х - 1 = 0. Аналогично подбором находим корень уравнения: х =

Снова делим уголком:

2х³ + 3х² - х - 1 х +

2х³ + х² 2х² + 2х - 2

2х² - х

2х² + х

- 2х - 1

- 2х - 1

0

Имеем (х + ) (2х² + 2х - 2) = 0, отсюда

х + = 0 или 2(х² + х - 1) = 0,

х₂ = - х² + х - 1 = 0,

D = 1 - 4 · (- 1) = 5, D > 0, два корня;

х_{3, 4} = .

Ответ: х₁ = х₂ = , х_{3, 4} = .

Решить самостоятельно.

Решите уравнения способом подбора:

1) х³ - х² - 9х - 6 = 0,

2) х³ - 3х + 2 = 0,

3) х⁴ - х³ - 35х² + 57х + 90 = 0,

4) 2х³ + х² - 9 = 0,

5) 4х⁴ + 8х³ - 3х² - 7х + 3 = 0,

6) х⁵ - х⁴ - 3х³ + 5х² - 2х = 0.

7. Уравнения высшей степени. Симметрические уравнения четвёртой степени.

Уравнение вида + + ... + ⍺₁х + ⍺₀ = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях равны, т. е. если равны:

=, = , = и т.д.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида:

⍺х⁴ + bх³ + сх² + bх + ⍺ = 0, где ⍺, b, с - некоторые числа, причём ⍺ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

- разделить левую и правую части уравнения на х². При этом не происходит потери решения, т. к. х = 0 не является корнем исходного уравнения при ⍺ 0,

+ + + + = 0;

- группировкой привести полученное уравнение к виду: ⍺ (х² + ) + b (х + ) + с = 0;

- ввести новую переменную t = х + , т.к.= х² + 2 + , то t² - 2 = х² + ;

- уравнение примет вид: ⍺ (t² - 2) + bt + с = 0, ⍺t² + bt + с - 2⍺ = 0;

- решить полученное уравнение относительно t и вернуться к начальной переменной.

Пример 7. 28. Решить уравнение 2х⁴ + 3х³ - 16х² + 3х + 2 = 0

Решение: разделим обе части уравнения на х² 0, получим

2х² + 3х - 16 + + = 0, т.е. 2 + 3 - 16 = 0.

Обозначим = t, тогда уравнение примет вид:

2(t² - 2) + 3t - 16 = 0; раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

2t² + 3t - 20 = 0,

t₁ = - 4, t₂ = .

Вернёмся к начальной переменной:

а) = - 4, б) = ,

х² + 4х + 1 = 0, 2х² - 5х + 2 = 0,

х_1,2 = - 2 ; х₃ = 2, х₄ = .

Ответ: х_1,2 = - 2 х₃ = 2, х₄ = .

Решить самостоятельно.

Решите уравнения.

1) х⁴ - 5х³ + 8х² - 5х + 1 = 0;

2) 2х⁴ + х³ - 11х² + х + 2 = 0;

3) 2х⁴ + 3х³ - 3х² - 3х + 2 = 0.

8. Уравнения с модулем.

При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов:

| f (х)| =

Пример 8.29. Решите уравнение:

| 1 - 2х | + | 3х + 2| + | х| = 5.

Решение: приравняем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:

0 Х

а) если х < , то (1 - 2х) > 0, (3х + 2) < 0, х > 0 и уравнение примет вид:

(1 - 2х) - (3х + 2) - х = 5,

1 - 2х - 3х - 2 - х = 5,

- 6х = 6,

х = - 1,

Корень х = - 1 ( - ; );

б) если ≤ х < 0, то (1 - 2х) > 0, (3х + 2) ≥ 0, х < 0 и уравнение примет вид:

(1 - 2х) + (3х + 2) - х = 5,

1 - 2х + 3х + 2 - х = 5,

3 5.

На промежутке [; 0) корней нет.

в) если 0 ≤ х < , то (1 - 2х) > 0, (3х + 2) > 0, х > 0 уравнение примет вид:

1 - 2х + 3х + 2 + х = 5,

2х = 2,

х = 1.

Корень х = 1 [ 0; ).

г) если х ≥ , то получим тоже самое уравнение:

1 - 2х + 3х + 2 + х = 5,

х = 1.

Корень х = 1 [; + ).

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = .

Пример 8.30. Решить уравнение | х | + | х - 1| = 1.

Решение: приравняем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:

0 1 х

а) если х ( - ; 0), то уравнение примет вид:

- х - (х - 1) = 1,

- х - х + 1 = 1,

- 2х = 0,

х = 0.

Корень х = 0 ( - ; 0).

б) если х [ 0; 1) , то уравнение примет вид:

х - (х - 1) = 1,

х - х + 1 = 1,

0 = 0; х - любое число из [ 0; 1);

в) если х [ 1; +), тогда

х + х - 1 = 1,

2х = 2,

х = 1.

Корень х = 1 [ 1; +).

Ответ: [ 0; 1 ].

Пример 8.31. Найти корни уравнения: | х² - 14 | = | х² - 4 |.

Решение: возведём обе части в квадрат и получим эквивалентное уравнение:

=, применим формулу сокращённого умножения

х⁴ - 28х² + 196 = х⁴ - 8х² + 16,

20х² = 180,

х² = 9,

х_1,2 = 3.

Ответ: х_1,2 = 3.

Пример 8.32. Решите уравнение: | 5х + 2 | = 3- 3х.

Решение: Это уравнение эквивалентно системе

и

Ответ: ; .

Решить самостоятельно.

Решите уравнения:

1) х² + | х | - 2 = 0,

2) 2 |х + 6 | - | х | - | х - 6 | = 18,

3) х² - 2х - 3 = | 3х - 3 |,

4) | х² - 6| х | + 4 | = 1,

5) | х - 6 | = 4 - х²,

6) | х | = | 3 - 2х | - х -1,

7) |8 - 5х | = | 3 + х| + | 5 - 6х |,

8) |5х - 1| - |4х + 2| = |х - 3|,

9) |2х + 5| + |3х - 7| = |4х + 1|,

10) |х - 1| = |2х - 3| - |х - 2|,

11) |3х + 2| + |2х - 3| = 11.

9. Рациональные уравнения.

Рациональнымназывается уравнение вида: = 0,

где Р(х) и Q(х) многочлены и Q(х) .

Решением рационального уравнения сводится к следующим этапам:

1) Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение и умножить на общий знаменатель.

2) Решить уравнение Р(х) = 0.

3) Проверить чтобы его корни удовлетворяли условию Q(х).

Решение уравнения равносильно системе:

Пример 9.33. Решить уравнение: + = 1.

Решение: Подведём к общему знаменателю:

= 0,

= 0, данное уравнение равносильно системе:

Так как = 2 не обращают знаменатель в нуль, то это корни данного уравнения.

Ответ: = 2 .

Пример 9.34. Решить уравнение: + = - .

Решение: поскольку число х = 0 не является корнем данного уравнения, то разделив на х

числитель и знаменатель каждой дроби в левой части уравнения, получим уравнение:

+ = - , обозначим х + = t, уравнение примет вид:

+ = - , подведём к общему знаменателю:

= ;

= 0 ; отсюда

Вернёмся к начальной переменной:

а) б)

Решим уравнения:

а) б)

D = - 4⍺с; D = 25 -12 = 13; D = - 4⍺с; D = 9 - 12 = - 3;

= ; D < 0, нет корней.

Корни = не обращают знаменатель в нуль, поэтому и являются решением данного уравнения.

Ответ: = .

Пример 9.35. Решить уравнение: + + + = 4.

Решение: разделим почленно дроби: = = 1 + ; = 1 - ;

= 1 - ; = = 1 + ;

1 + + 1 - + 1 - + 1 + = 4 ;

4 + - - + = 4 ;

- - + = 0 | : 2, получим:

- - + = 0 ;

+ = + ; подведём к общему знаменателю отдельно левую часть и правую часть и получим:

= , подведём к единому общему знаменателю:

Решив уравнение , получим = . Проверкой убеждаемся, что корни уравнения не обращают знаменатель в нуль.

Ответ: = .

Пример 9.36. Решить уравнение: = .

Решение: поделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части на :

= ; обозначим = t , уравнение примет вид:

= , преобразуем: 10 t² - 29 t + 10 = 0;

t₁ = , t₂ = .

Вернёмся к начальной переменной:

а) х + = , б) х + = ,

2х² - 5х + 2 = 0; 5х² - 2х + 5 = 0; D < 0, уравнение не имеет

х₁ = 2, х₂ = . действительных корней.

Проверкой убеждаемся, что х₁ = 2, х₂ = - не обращают знаменатель в нуль, значит они являются корнями данного уравнения.

Ответ: х₁ = 2, х₂ = .

Пример 9.37. Решить уравнение х² + = .

Решение:в левой части уравнения стоит сумма двух квадратов, дополним его до квадрата разности: х² - + = - ,

= - ,

= - 2·, обозначим = t , получим уравнение:

t² = - 2· t ,

9 t² + 18t - 40 = 0,

D = 441 > 0, t₁ = , t₂ = .

Вернёмся к начальной переменной:

а) = ; б) = ;

D < 0, уравнение не имеет

х₁ = 2, х₂ = . действительных корней.

Проверкой убеждаемся, что х₁ = 2, х₂ = не обращают знаменатель в нуль.

Ответ: х₁ = 2, х₂ = .

Решить самостоятельно.

Р ешить уравнение.

1) = 0; 8) = 0;

2) - = 1; 9) - = 2;

3) + + = ; 10) + 1 = ;

4) + = 10 ; 11) + = + 4;

5) + = ; 12) + = ;

6) + = 1; 13) + = ;

7) + = . 14) + = .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/75519-racionalnye-uravnenija-metodicheskoe-posobie-