Доклад «Первые теоремы»

Первые теоремы

В школьном курсе геометрии более двух­сот теорем и задач на доказательство. Встре­ча с первой теоремой — это, без преувели­чения, событие в школьной жизни ученика. Какой будет эта встреча — радостной, без­различной или неприятной — зависит от учи­теля.

При изучении первых доказательств у учеников возникает множество вопросов. «Зачем доказывают теоремы, когда и так все ясно?» Почему в одних случаях говорят «это дано», а в других «это надо доказать», хотя второе нередко не менее очевидно, чем пер­вое. Неизвестно, почему доказа­тельство теоремы проводится так, а не ина­че. Новыми явля­ются ссылки на определения, а при доказа­тельстве следующих теорем ссылки на пре­дыдущие.

Если эти проблемы не разрешить, то ос­воение геометрии по существу не начнется. Непонимание, необходимость учить наизусть вызывают стойкую неприязнь к геометрии.

Многих затруднений, встречающихся в начальном периоде, можно избежать, если все ученики класса освоят необходимые тер­мины, решат подготавливающие задачи, бу­дут участвовать в составлении формулиров­ки теоремы, в поиске доказательства. Рас­смотрим некоторые способы достижения этих целей: общие вопросы, а затем подготовим­ся к первым теоремам по учебнику [Атанасяна] и к первой теореме по учебнику [Погорелова]. Для кратко­сти, как правило, приведены только верные ответы.

О теореме

Ученикам нужно рассказать, что означает слово тео­рема(от греческого слова — рассматриваю, исследую), при­вести известные примеры.

Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений (доказательства), называют ТЕОРЕМОЙ. Когда в геометрии формулируется свойство какой-нибудь фигуры, то тем самым формулируется теорема.

Цель доказательства— представить полные и нео­провержимые аргументы справедливости теоремы. Когда нужно установить, что несколько объектов обладают не­которым свойством, можно рассмотреть каждый из них. А если объектов бесконечно много? Тогда доказывают те­орему.

Почему мы убеждены, что вертикальные углы равны?

-Почему мы можем использовать эту теорему? Потому, что это было доказано раз и навсегда.

Выдающийся древнегреческий математик Фалес Ми­летский (около 625—547 гг. до н. э.) доказал много тео­рем. Но едва ли он рассчитывал, что придется находить, высоту пирамиды в Египте. Именно эту задачу предложи­ли ему жрецы (возможно, решив испытать его). Что сделал Фалес? Начертил на земле окружность, радиус которой равен его росту, дождался, когда его тень коснулась окружности, и в этот момент сказал жрецам: «Измерьте, длину тени пирамиды». Он знал соответствующие теоремы и мог воспользоваться ими: так как длина его тени, оказалась равной его росту, то и длина тени пирамиды, стала равной ее высоте.

В теореме различаютусловие изаключение.Во многих современных учебниках написано: «Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется дока­зать.

Теорему «Вертикальные углы равны» можно записать в другой форме: «Если углы вертикальные, то они равны». Для чего теорему записывают таким образом? Чтобы сразу было видно, что дано (на что нужно опираться при доказательстве), и что надо доказать. Яснее становится постановка задачи и, следовательно, легче найти доказательство.

Утверждения бывают истинные и ложные. Что нужно делать, чтобы опровергнуть неверное суждение? Чтобы опровергнуть неверное утверждение, доста­точно привести один противоречащий пример (контрпри­мер) — пример, удовлетворяющий условию этого утверж­дения, но не удовлетворяющий его заключению. Рассмот­рим утверждение «Если натуральное число делится на 5, то оно оканчивается нулем». В качестве контрпримера можно привести число 25. Почему этого достаточно? По­тому, что здесь подразумевается: «всякое натуральное число, которое делится на5, оканчивается нулем». Число 25 делится на 5, но нулем не кончается, значит, не вся­кое.

Рассмотрение контрпримеров помогает ученику понять необходимость каждого условия теоремы, облегчает запо­минание. Построение контрпримеров позволяет отсекать неверные гипотезы при решении задачи, помогает, когда уточняется формулировка теоремы и при поиске ее дока­зательства. Чтобы класс освоил построение контрпримеров, нужно на одном из уроков рассмотреть несколько контрпримеров и дать подобные задачи на дом. Затем, время от времени, после доказательства теоремы, опустив какое-то условие, предложить классу доказать, что полу­ченное утверждение неверно.

Услышав сообщение учителя «Сегодня мы докажем теорему», ученик сразу спрашивает: «А зачем?» Этот воп­рос задает и взрослый, когда ему приходится делать рабо­ту неизвестно для чего. Очень трудно осваивать теорему, если считаешь, что она не нужна. Учитель не должен забывать об этом. Не только о первой, но о каждой теореме нужно сказать хотя бы несколько слов о том, как возникла эта проблема, зачем нужно ее решать. Учителю-то известны ее значение, связь с другим материалом.

Существует немало рисунков, которые можно исполь­зовать, чтобы обратить внимание учеников на несовершен­ство нашего глазомера. Сравнивая, например, отрезки АВи CD(рис. 1) нетрудно заметить, что АВ < CD.Отрезок АЕ(рис. 2) кажется меньше ED.Верхняя часть отрезка BD(рис. 3) кажется меньше нижней. Однако, измерив отрезки, убеждаемся, что АВ = CD, АЕ = ED,верхняя и нижняя части отрезка BDравны. УглыАОВ иCOD(рис. 4) кажутся больше угла ВОС,а на самом деле все эти углы равны. Точка С явно «не лежит» на отрезке АВ(рис. 5), хотя и это представление обманчиво.

С подобными приме­рами люди не раз встречались в своей практике и поняли, что зрительным впечатлениям не всегда можно доверять. В геометрии, начиная от Фалеса, обнаружив какое-то но­вое свойство фигуры, формулируют его в виде теоремы и ищут доказательство.

Подготовка к освоению теоремы

Чтобы теорема заинтересовала учеников и была ими усвоена, нужна основательная, всесторонняя подготовка. Не заинтересуются — не будут слушать, и урок потеряет смысл, не будет уроком.Необхо­димо, чтобы ученики:

а) владели определениями, терминами и обозначе­ниями, используемыми в формулировке и доказательстве теоремы;

б) приняли посильное участие в составлении ее формировки;

в) освоили формулировку, выделили условие и за­ключение;

г) имели опыт в решении задач;

д) освоили первые шаги (умели сделать чертеж как можно более близким к условию; внести в него все, что дано в условии, ввести необходимые обозначения; запи­сать условие и заключение, используя введенные обозна­чения);

е) владели элементарными навыками поиска реше­ния задачи.

Сообщить готовое быстрее, чем открывать его вместе с учениками. Но от «прослушанного», как известно, через две недели в памяти остается не более 20%. Не обернется ли такая «экономия» перегрузками, когда придется де­сять раз повторять? Самостоятельное открытие теоремы вызывает интерес у учеников. Материал усваивается глуб­же. Укрепляется желание к познанию нового, развивает­ся мышление. Чтобы ученики могли принять участие в выдвижении гипотезы, в открытии некоторого свойства, Учитель предлагает специальные подготавливающие вопросы и задачи. Возможно, первая попытка ученика сфор­мулировать теорему окажется не очень удачной. С помо­щью примеров и контрпримеров учитель помогает уточ­нить формулировку, доказать необходимость каждого ус­ловия теоремы. Вызывают интерес вопросы учителя, за­данные с целью заронить сомнение в справедливости тео­ремы.

Подготавливающие задачи и вопросы имеют большое значение. Рассмотрение некоторой задачи помогает учи­телю убедить класс в необходимости доказательства тео­ремы. Иногда решение задачи является частью доказа­тельства. Бывает, что теорема является логическим след­ствием рассмотренной задачи. Может показаться, что ис­пользование подготавливающих задач «отнимает много времени». Но одна из главных целей обучения математи­ке — обучение решению задач (не только математических). А подготавливающая задача — это новая задача и, как правило, нестандартная. Решение этих задач, кроме под­готовки к освоению теоремы, еще и развивает мышление, учит поиску решения. Подготавливающие задачи не только об­легчают понимание теории, но и позволяют достичь глубокогo ее усвоения.

Отмечая важность подготавливающих задач, подчерк­нем, что нельзя постоянно облегчать работу учащихся, так как тогда они не научатся самостоятельному поиску доказательства.

Пункты а), г), и д) с успехом можно освоить заранее, при решении задач. Сколько и каких — решает учитель в зависимости от уровня подготовленности класса. Главное, чтобы ученики были готовы к освоению теоремы. Если же что-то останется неосвоенным, это обязательно скажется. Целесообразно обратить внимание учеников на первые шаги доказательства (сделать чертеж, ввести обозначения, выделить и записать условие и заключение), подчеркнуть их значение. Если все ученики овладевают первыми ша­гами, то это существенно облегчит доказательство теорем. Многие ученики считают излишним записывать усло­вие и требование задачи. Нужно их убедить, что не ис­пользуя условие, нельзя решить задачу или доказать тео­рему. Требование мы записываем, чтобы видеть цель. Когда не удается решить задачу или доказать теорему, нередко причина состоит в том, что не использовано условие или упущена из вида цель.

Составление формулировки в виде «Если... то...» уче­ники могут освоить без большого труда до изучения пер­вой теоремы, так как раньше уже встречались с ними, например, при изучении признаков делимости. Приведя ученикам эти примеры, можно рассчитывать, что подоб­ные примеры они смогут привести сами. Затем, напри­мер, признак делимости на 9 можно сформулировать так: «Всякое натуральное число, сумма цифр которого делит­ся на 9, делится на 9» и предложить ученикам записать его в виде «Если... то...» Эти же примеры можно исполь­зовать, чтобы объяснить, что дано, что утверждается.

С примерами из геометрии дело обстоит сложнее: до первых теорем ни одно предложение вида «Если... то...» в учебнике не встречается. Но после того, как класс «разберет­ся» с известными примерами, можно вместе с учениками привести к этому виду несколько задач или утверждений из геометрии, рассмотренных до рассмотрения первой теоремы. В этом виде можно, например, записать следующие утверж­дения: «Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пере­секаются», «Угол, смежный острому углу, является тупым» (задача 55,[Атан.]). А из [АПогорелова] — § 1, задачи 30 и 41. Правда, в этих задачах то, что требуется найти, не формулируется в закон­ченном виде. Но когда задача решена и ответ известен, мож­но записать текст в окончательном варианте. Например, «Пря­мая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пе­ресекает и вторую», а потом уже в виде «Если... то...»

Разумеется, не лишне, если учитель предварительно сообщит, что умение записывать утверждение или задачу в виде «Если... то...» пригодится в дальнейшем неодно­кратно.

Ученикам можно поручить изготовить простые моде­ли (вырезать из бумаги круг, треугольник, склеить из развертки пирамиду), выполнить несложные чертежи. Дать задание, выполнение которого подготовило бы класс к открытию нового. Об этом нужно позаботиться заранее.

Очень важно приучать учеников слушать себя. Если сразу записать неточную фразу ученика на доске или в его тетради, то он может самостоятельно заметить оплош­ность. Некоторые учителя не делают этого. В результате ученики не приобретают необходимого умения, что ска­зывается на развитии мышления.

Таким образом, необходимо, чтобыученик вникв проб­лему и захотел ее решать. Тогда он будет уточнять поста­новку задачи, участвовать в поиске решения и получит удовлетворение от работы.

Начало и ход поиска доказательства

Рекомендации ученикам:

• сделать первые шаги (построить чертеж, ввести обо­значения, выделить условие и заключение и записать их в символическом виде);

• принять активное участие в поиске доказательства (попробовать сделать это «от начала» или «от конца», вы­полнить вспомогательное построение, рассмотреть част­ный случай, использовать метод доказательства от про­тивного и др.);

• понять, как использовать условие теоремы;

• вспомнить определения, известные свойства, которые могут здесь пригодиться;

• обосновать каждый шаг, каждый вывод.

Обучение поиску решения — одна из главных задач учителя. Элементарные навыки поиска приобретаются при самостоятельном решении задач. С помощью реко­мендаций учитель может ускорить этот процесс и сде­лать его осознанным. При совместном поиске доказа­тельства учитель предлагает классу наводящие вопро­сы. Они, в отличие от подсказки, оставляют ученику поле для самостоятельной деятельности, для творчес­кой инициативы. Сравним две рекомендации: «Исполь­зуйте равенство данных отрезков» и «Как использовать то, что дано по условию». «Плохой» наводящий вопрос годится лишь в данной, конкретной задаче, а «хоро­ший», если он усвоен, ученик может использовать не только в подобных задачах, но и в других задачах, в подобных ситуациях. Если какую-то рекомендацию уче­ники слышали два-три раза, то учитель может уже пря­мо спросить: «Какая рекомендация может тут помочь?» Усвоение общих рекомендаций по поиску решения не менее важно, чем усвоение теорем. На это нужно обра­тить внимание учеников.

Бывает, что наводящий вопрос не помог. Тогда пред­лагается следующий, более «прозрачный» вопрос. У опыт­ного учителя такой вопрос, как правило, готов заранее. Умение поставить точный наводящий вопрос, не подска­зать лишнее, — показатель мастерства учителя. При же­лании этого вполне можно достичь.

Если до систематического изучения курса геометрии учитель не всегда спрашивал «Почему?», то теперь, когда доказательства идут одно за другим, он регулярно требует обоснование. И, самое важное — добивается, чтобы уче­ники привыкли искать и находить обоснование каждого шага. Их нужно убедить в необходимости этой привычки. Не доказано, значит, возможно и неверно. Ссылки на оп­ределения, теоремы и аксиомы должны быть выверены. Применяя доказанную ранее теорему, нужно сначала убе­диться, что ее условие выполнено.

Завершение доказательства теоремы

Рекомендации ученикам:

• составить (под руководством учителя) план доказа­тельства;

• найти все места в доказательстве, где были использо­ваны условия;

• убедиться, что рассмотрены все возможные случаи, что получен требуемый результат;

• проверить, обоснован ли каждый шаг доказательства;

• попытаться найти другие способы доказательства, сравнить их и выбрать наилучший;

• оценить свои действия в ходе поиска доказательства (что было удачно, что нет и почему), записать идеи и ре­комендации, которые могут пригодиться;

• решить задачи на применение теоремы.

Пока идет поиск, действует интуиция, выдвигаются разные предположения, в том числе и не обоснованные. Но когда теорема доказана, нужно убедиться в правиль­ности каждого шага.

Нередко спрашивают, зачем после доказательства теоремы еще и план составлять. Речь идет не о тех доказательствах, которые, как говорят в арифметике, «в одно действие». Но и в этих случаях тоже полезно «остановиться, оглянуться», чтобы, например, запом­нить идею доказательства, которая может пригодить­ся в дальнейшем. Составляя план, можно обнаружить лишние или неверные действия. Составление плана — это одна из форм проверки. Попутно уточняются связи между отдельными шагами. Освоение одного плана кажется нецелесообразным, освоение двух десятков может помочь в решении задач и доказательстве дру­гих теорем.

Теорема не будет усвоена, пока ее не применяли. Сна­чала теорему применяют непосредственно, когда сразу видно, как это делается, а потом в нестандартных зада­чах. Можно:

• вывести следствия, рассмотреть частные случаи;

• обобщить теорему;

• применять теорему при решении прямой и обратных, задач;

• применить способ ее доказательства;

• рассмотреть обратные теоремы.

Чтобы составить задачу, обратную данной, нужно пе­реставить местами одно из условий (или все условия) с одним из заключений (или со всеми). После того, как уче­ники, зная высоту и основание треугольника, вычислили его площадь, учитель сразу предлагает им составить об­ратную задачу (по основанию и площади найти высоту или по высоте и площади найти основание). Решение и составление обратных задач поднимает понимание на более высокий уровень.

Первую задачу на применение теоремы некоторые учи­теля решают сами, а затем дают подобные задачи, лишая класс «пищи для ума», лишая возможности заняться ин­тересным делом. Первое применение теоремы — это твор­ческая работа. И тут учитель не должен спешить подска­зывать, а напротив, поощрять всякую новую идею, даже если она в данной ситуации не способствует продвиже­нию вперед.

Теорема о вертикальных углах [Атанасян]

При доказательстве этой теоремы используется свой­ство смежных углов. Поэтому необходимо, чтобы все уче­ники умели строить угол, смежный с данным, и решили несколько задач (например, 59, 63 и более сложную зада­чу 83).

Задачи 59 и 63 очень подходят для подготовки к дока­зательству теоремы.

Учитель:

- Может ли угол, смежный с прямым, быть острым?

[Нет. Потому, что их сумма меньше 180°.]

- Каким будет угол, смежный с прямым?

[Прямым.]

- Обратите внимание, мы решали задачи, не измеряя углы, даже не строили чертеж. Чем же мы воспользовались?

[Свойством смежных углов.]

Построить вертикальные углы несложно. Предложите ученикам: «Постройте две пересекающиеся прямые». За­тем обозначьте углы, которые получились при пересече­нии:1,2,3,4. Установив, как взаимосвязаны 1 и 3, а также 2 и 4, можно ввести определение. Существует еще один способ.

Подготавливающая задача. «Постройте угол. Назо­вем его угол первый. Так его и обозначим на чертеже. Постройте угол (второй), смежный с первым. А теперь постройте еще один угол, смежный со вторым». При та­ком способе построения вертикальных углов ученики бу­дут более подготовлены к самостоятельному доказатель­ству теоремы.

Доказательство теоремы можно дать по учебнику. Но в дальнейшем неоднократно приходится доказывать ра­венство двух величин. Поэтому целесообразно выделить идею (план доказательства). Учитель:

- Итак, по-видимому, 1 и 3 равны (рис. 6).

Измерение транспортиром точных данных не дает. А, главное, если построить дру­гую пару пересекающихся прямых, неизвестно, будут ли у них 1 и 3 равны между со­бой. Что же, снова проводить измерения? Нам нужно та­кое доказательство, которое годилось бы для любой пары пересекающихся прямых. Итак, даны вертикальные углы. Мы хотим доказать, что 1 = 3. Как доказать это ра­венство? Попробуем найти отдельно, чему равна левая часть равенства, чему равна правая его часть и посмот­рим, что получилось. Следовательно, в данной задаче сна­чала попробуем найти, чему равен 1. Рассмотрим чер­теж.

Что мы видим кроме1 и 3?

[Углы второй и четвертый.]

Что мы знаем про1 и 2? [Это смежные углы. Их сумма равна 180°.]

- Запишем это: 1 + 2 = 180°. Что делать дальше? В чем состоит наша цель?

[Найти 1.]

- Найдем этот угол: 1 = 180° - 2. Что делать дальше? Вспомните о цели.

[Можно точно также найти 3: 3 = 180° - 2. Теперь видно, что они равны.]

- Приведем точную формулировку: так как правые части этих равенств равны, то равны и левые. Итак, мы доказали, что вертикальные углы равны. Раз и навсегда. И для любой пары вертикальных углов, и без транспортира.

Подведем итог, как была доказана теорема?

[Нужно было доказать равенство двух углов. Мы нашли, чему равна левая часть равенства, чему равна его правая часть и увидели, что они равны. Но сначала надо было увидеть, что1 и 2 — смежные, воспользоваться их свойством. Найти, чему равен 1. Рас­смотреть еще одну пару смежных углов. Ис­пользовать в качестве смежного тот же 2чтобы можно было сказать: так как равны правые части равенства, то равны и левые его части.]

- По условию дано, что 1 и 3 — вертикальные. В каком месте доказательства мы использовали это усло­вие?

[Когда записали, что оба эти угла являются смежными 2.]

Доказательство теоремы и решение задачи похожи. Что-то дано, что-то надо получить. Также опираются на усло­вие и известные формулы и свойства. В одном случае ут­верждение теоремы кажется не очевидным, в другом — наоборот, но после доказательства все сомнения отпадают.

В математике, как при строительстве дома: положили один ряд кирпичей, а затем, «опираясь на него», кладут второй. То, что найдено сегодня, завтра будет использова­но при доказательстве других теорем, открытии новых свойств, решении задач. Эту теорему мы будем много раз использовать при решении задач и при доказательстве других теорем. Приведу только два примера. Откройте учебник на с. 166. На рисунке 221 показаны вертикаль­ные углы 3 и 4. Равенство этих углов используется при доказательстве теоремы. А теперь откройте с. 50. Рису­нок 95 дан к задаче 169. При решении этой задачи свой­ство вертикальных углов используется дважды. Свойство это было известно еще до Фалеса. Некоторые ученые пы­тались обосновать его с помощью измерений. Но только Фалес доказал его, опираясь на свойства смежных углов. Он доказал еще ряд теорем (о сумме углов треугольника, о вписанном угле, опирающемся на полуокружность, вто­рой признак равенства треугольников и др.). Выдвиже­ние и разработка идеи — формулировать свойства фигур в виде теорем и приводить доказательства — событие ог­ромного значения в истории человеческой мысли. Посте­пенно эта идея распространилась среди ученых. Эстафету от Фалеса принял Пифагор. Его ученики уже понимали значение обоснования и гордились тем, что учитель дока­зал знаменитую теорему. После Пифагора много новых результатов в математике получили Евдокс, Теэтет и др. Требовалось подвести итог, привести все в систему. Эту работу блестяще выполнил Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «Начала», которая послужила основой для даль­нейшего развития математики. Более 2000 лет геометрию изучали сначала по этой книге Евклида, а затем по учеб­никам, написанным на ее основе.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/75883-doklad-pervye-teoremy