Графики и функции ОГЭ по математике: как читать график, находить значения и решать задания без угадывания

Графики в ОГЭ по математике часто выглядят проще, чем уравнения. На рисунке уже есть кривая или прямая, нанесены оси координат, отмечены некоторые значения — кажется, что остаётся только посмотреть на картинку и выбрать ответ.

Но именно здесь школьники нередко теряют баллы.

Проблема обычно не в сложной математике. Ученик может перепутать оси, неправильно прочитать координаты, найти значение не той величины или попытаться угадать ответ по внешнему виду графика.

Что важно знать о структуре ОГЭ.В варианте ОГЭ по математике задания на графики и функции встречаются в номерах 10, 11, 14, 22. Задания 10, 11, 14 — с кратким ответом, дают по 1 баллу. Задание 22 — с развёрнутым ответом, даёт 2 балла. Чаще всего проверяются: чтение графика, нахождение значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, максимум и минимум, соответствие между функцией и её графиком.

ФИПИ выделяет функции и их графики как отдельную содержательную область подготовки к ОГЭ. В материалах по алгебре среди проверяемых умений названы работа с графиком функции, область определения и множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, максимумы и минимумы.

Поэтому здесь важно научиться не просто «смотреть на график», а читать его как математический текст.

Актуальные материалы ОГЭ-2027, опубликованные ФИПИ, имеют статус проекта, поэтому перед экзаменом необходимо ориентироваться на утверждённую официальную версию КИМ.

1. Что такое функция простыми словами

Функция показывает зависимость одной величины от другой.

Например: y = 2x + 1.

Здесь значение yзависит от выбранного значения x.

Если взять x = 1, получим y = 3.Если x = 2, то y = 5.

График позволяет увидеть эту зависимость без необходимости каждый раз выполнять вычисления.

2. Первое правило: сначала смотрим на оси

Перед тем как отвечать на вопрос по графику, определите:

• что указано на горизонтальной оси;

• что указано на вертикальной оси;

• какие единицы измерения используются;

• какой масштаб выбран.

Обычно ось x — горизонтальная, ось y — вертикальная. Но нельзя полагаться только на память. На реальном графике нужно посмотреть на подписи.

Полезная привычка.Перед решением буквально проговорите: «По горизонтали у нас x, по вертикали y». Это занимает несколько секунд, но помогает избежать одной из самых распространённых ошибок.

3. Как найти значение функции по графику

Предположим, спрашивается: «Найдите значение функции при x = 3».

Шаг 1. На оси xнайдите число 3.
Шаг 2. Проведите мысленно вертикальную линию вверх или вниз до графика.
Шаг 3. Из точки пересечения с графиком проведите мысленно горизонтальную линию к оси y.
Шаг 4. Прочитайте полученное значение.

Схема: x → график → y.

Это принципиально важно. Если спрашивают значение функции при известном x, мы начинаем с оси x.

4. А если нужно найти x?

Теперь вопрос обратный: «При каком значении x функция принимает значение 4?»

Здесь последовательность меняется. Начинаем с y = 4 → график → x.

То есть ищем число 4 на вертикальной оси. Затем идём к графику. После пересечения возвращаемся к горизонтальной оси. Получаем значение x.

Запомните две схемы.

Найти y по x: x → график → y.
Найти x по y: y → график → x.

Это одна из самых полезных схем для экзамена.

5. Координаты точки на графике

Любая точка на координатной плоскости может быть записана парой: (x; y).

Например: (2; 5). Первое число относится к оси x. Второе — к оси y. Нельзя записывать их наоборот.

Полезно запомнить: сначала идём по горизонтали, потом по вертикали. Именно поэтому координаты записываются (x; y), а не (y; x).

Как проверить координаты точки. Если на графике отмечена точка и нужно определить её координаты:

1. найдите точку;

2. опуститесь вертикально к оси x;

3. определите x;

4. проведите горизонтально к оси y;

5. определите y;

6. запишите пару (x; y).

Не пытайтесь определить оба значения «на глаз» одновременно. Разделите задачу на два маленьких действия.

6. Что такое нули функции

Ноль функции — это значение x, при котором y = 0.

На графике это означает: точка пересечения графика с осью x.

Например, если график пересекает ось x в точке с координатой 3, то x = 3— ноль функции. Если график пересекает ось x несколько раз, нулей может быть несколько.

Очень важный момент. Не перепутайте «где график пересекает ось x» и «где график пересекает ось y». Для нулей функции нас интересует именно ось x.

7. Где функция положительна и где отрицательна

Функция положительна, когда y > 0. На графике это означает: график расположен выше оси x.

Функция отрицательна, когда y < 0. На графике: кривая находится ниже оси x.

Таким образом, можно использовать простую визуальную проверку:

• выше x → y положительный;

• ниже x → y отрицательный.

Точки, где график пересекает ось x, отделяют положительные и отрицательные промежутки.

8. Возрастание и убывание функции

Функция возрастает, если при увеличении xзначение yувеличивается. Функция убывает, если при увеличении xзначение yуменьшается.

Здесь есть удобный способ читать график: мысленно двигайтесь по графику слева направо.

Если график идёт вверх — функция возрастает. Если идёт вниз — функция убывает. Если график некоторое время идёт горизонтально — значение функции не меняется.

Почему нельзя смотреть на график справа налево.Это распространённая ошибка. Ученик видит наклон графика и сразу говорит: «Он идёт вниз — значит функция убывает». Но важно, в каком направлении мы движемся.

При исследовании функции обычно рассматриваем изменение при увеличении x. Поэтому: слева направо → анализируем изменение y.Так гораздо меньше шансов перепутать возрастание и убывание.

9. Максимум и минимум

Если график сначала поднимается, а затем начинает опускаться, в точке поворота находится максимум. Если сначала опускается, а затем поднимается — минимум.

Но здесь нужно внимательно читать вопрос. Могут спросить: «Найдите x точки максимума»или «Найдите значение функции в точке максимума».

Это разные ответы. В первом случае нужен x. Во втором — y.

10. Наибольшее и наименьшее значение на промежутке

Допустим, дан график только на определённом промежутке: [−2; 5].Нужно найти наибольшее значение функции.

Нельзя автоматически брать самый высокий участок всего рисунка, если он находится за пределами указанного промежутка.

Сначала ограничьте область: от x = −2 до x = 5. И только внутри неё ищите максимальное значение. Это очень частая экзаменационная ловушка.

11. Область определения

Область определения — это все значения x, при которых функция существует.

Проще говоря: какие значения x вообще можно подставлять или рассматривать.

На графике область определения можно определить по тому, над какими значениями x есть точки графика. Если график начинается при x = −3 и заканчивается при x = 4, то при соответствующих условиях область определения может быть [−3; 4].Но обязательно обращайте внимание на характер крайних точек.

Открытая и закрытая точка. Если крайняя точка закрашена, значение обычно входит в область. Если точка обозначена пустым кружком, значение не входит.

Например: закрашенная точка → значение включается; пустая точка → значение не включается. Поэтому на графике важно смотреть не только на положение точки, но и на её обозначение.

12. Масштаб графика нельзя угадывать

Предположим, между 0 и 10 на оси расположено пять одинаковых делений. Это не означает автоматически, что каждое деление равно 1. Нужно посмотреть на подписи оси.

Например, если отмечены 0, 5, 10, 15..., то одно маленькое деление может соответствовать другому значению.

Перед ответом проверьте: «Что обозначает одно деление?»

Когда график выглядит «неаккуратно».Иногда линия на рисунке не проходит точно через нужную точку или изображение имеет небольшой масштаб. Не пытайтесь угадывать по толщине линии.

Сначала:

1. определите масштаб;

2. найдите ближайшие координатные линии;

3. проверьте, какая точка действительно соответствует условию;

4. только после этого считывайте значение.

На экзамене график предназначен для математического чтения, а не для художественной оценки.

13. Линейная функция и её график

Одна из базовых функций: y = kx. Её график проходит через начало координат.

Если k > 0, график поднимается слева направо. Если k < 0, график опускается.

Для линейной функции y = kx + b коэффициент k влияет на наклон графика, а b показывает значение функции при x = 0. То есть точка пересечения с осью y имеет координату (0; b).

Как по графику понять знак коэффициента. Это полезный быстрый навык.

Если прямая идёт слева снизу → вправо вверх, коэффициент наклона положительный. Если слева сверху → вправо вниз, коэффициент отрицательный. Но опять же — смотрим именно слева направо.

14. График может рассказывать о реальном процессе

Функция не обязательно связана только с абстрактными x и y. На графике может быть показано:

• изменение температуры;

• движение объекта;

• изменение стоимости;

• количество товара;

• расход топлива;

• зависимость времени от расстояния;

• результаты наблюдений.

В таких задачах сначала нужно понять, что означает каждая ось. Например: по горизонтали — время, по вертикали — расстояние. Тогда увеличение графика означает изменение расстояния во времени.

Как работать с графиком в практической задаче. Используйте алгоритм:

1. прочитайте подписи осей;

2. определите единицы измерения;

3. посмотрите на масштаб;

4. поймите, что именно показывает график;

5. найдите нужное значение на одной из осей;

6. проведите мысленную линию до графика;

7. перейдите к другой оси;

8. запишите ответ с нужной единицей измерения.

Такой алгоритм особенно полезен, если график содержит много линий или точек.

15. Как соединить графики и уравнения

Графический способ полезен ещё и потому, что помогает понять уравнения.

Например, решение уравнения f(x) = 0 на графике соответствует поиску точек пересечения графика функции с осью x.

А решение f(x) = g(x) может быть связано с поиском точек пересечения двух графиков.

То есть графики позволяют увидеть алгебраическую задачу геометрически. Это очень полезная связь между темами.

16. Пример задания ОГЭ с полным решением

Задание. На рисунке изображён график функции y = f(x) на промежутке [−4; 4]. Найдите: а) значение функции при x = 2; б) нули функции; в) промежутки, где функция положительна.

Шаг 1. Читаем оси. По горизонтали — x, по вертикали — y. Масштаб: одно деление равно 1.

Шаг 2. Находим значение при x = 2. Идём по оси x до отметки 2. Проводим вертикальную линию до графика. Из точки пересечения идём горизонтально к оси y. Получаем y = 1. Ответ: f(2) = 1.

Шаг 3. Находим нули функции. Нули — это точки пересечения графика с осью x. По рисунку видно, что график пересекает ось x в точках x = −3 и x = 1. Ответ: нули функции — x = −3 и x = 1.

Шаг 4. Находим промежутки положительности. Функция положительна там, где график выше оси x. По рисунку это участок от x = −3 до x = 1. Ответ: функция положительна при x ∈ (−3; 1).

Этот пример показывает, как один график даёт ответ на несколько разных вопросов. Главное — не пытаться охватить всё сразу, а разбить задачу на шаги.

17. Самые частые ошибки

Ошибка 1. Перепутали x и y. Вместо координат (2; 5) записали (5; 2).

Ошибка 2. Ищут нули функции на оси y. Для нулей функции нужно искать пересечения с осью x.

Ошибка 3. Неправильно прочитали масштаб. Одно деление приняли за единицу, хотя оно соответствует другому значению.

Ошибка 4. Перепутали максимум и значение максимума. Вопрос про x, а ученик записал y.

Ошибка 5. Не учли границы промежутка. Искомая точка находится за пределами заданного участка.

Ошибка 6. Перепутали возрастание и убывание. График рассматривали справа налево.

Ошибка 7. Не посмотрели на единицы измерения. Получили число, но не поняли, что оно означает.

18. Как тренироваться с графиками

Здесь особенно важно не решать десятки абсолютно одинаковых заданий. Можно построить тренировку по пяти направлениям.

Блок 1. Чтение координат. Найдите координаты отмеченных точек.

Блок 2. Значение функции. По заданному x определите y.

Блок 3. Обратный поиск. По заданному y определите x.

Блок 4. Свойства функции. Определите нули, положительные и отрицательные промежутки, возрастание, убывание, максимум, минимум.

Блок 5. Смешанные задачи. Получите график и несколько разных вопросов к нему.

Именно последний этап помогает перестать действовать по одному шаблону.

Очень полезная тренировка без вариантов ответа. Попробуйте самостоятельно сформулировать пять вопросов к одному графику:

1. Каково значение функции при x = …?

2. При каком x функция равна …?

3. Где функция положительна?

4. Где функция убывает?

5. Каковы координаты точки максимума?

Затем решите их. Такая тренировка заставляет вас самостоятельно видеть информацию на графике, а не искать знакомую формулировку среди вариантов.

19. Как понять, что тема освоена

Можно считать работу с графиками достаточно уверенной, если ученик умеет:

• определять назначение осей;
• читать масштаб;
• находить координаты точек;
• находить значение функции по x;
• находить x по заданному значению функции;
• находить нули функции;
• определять положительные и отрицательные промежутки;
• находить промежутки возрастания и убывания;
• определять максимум и минимум;
• работать с заданным промежутком;
• учитывать открытые и закрытые точки;
• объяснить, почему получен именно такой ответ.

Главное

График — это не картинка, которую нужно рассматривать целиком. Это способ представить математическую информацию.

Поэтому перед каждым заданием используйте одну простую последовательность: что на осях → какой масштаб → что спрашивают → откуда начинаем поиск → куда возвращаемся за ответом.

Если спрашивают y при известном x: x → график → y.
Если спрашивают x при известном y: y → график → x.
Если ищут нули: график → ось x.
Если ищут, где функция положительна: график выше оси x.
Если исследуют возрастание: двигаемся слева направо.

Когда эти действия становятся привычными, графики перестают выглядеть как «задачи с картинками» и превращаются в обычный математический алгоритм.