Текстовые задачи ОГЭ по математике: как переводить условие на язык формул и составлять уравнение

Текстовые задачи часто вызывают у школьников больше трудностей, чем обычные уравнения.

Почему?

В уравнении уже написано математическое выражение: 3x + 5 = 20. Нужно только решить его.

А в текстовой задаче сначала необходимо самому понять: что обозначить за x → какие величины связаны → как выразить остальные величины → какое уравнение составить.

Получается, что основная сложность находится не в самом решении уравнения, а в переводе текста на язык математики.

Именно этому навыку и стоит уделить отдельное внимание.

Что важно знать о структуре ОГЭ. В варианте ОГЭ по математике текстовые задачи встречаются в заданиях 1–5 (практико-ориентированный блок), 8, 9, 14, 21, 22. Задания 8, 9, 14 — с кратким ответом, дают по 1 баллу. Задания 21 и 22 — с развёрнутым ответом, дают по 2 балла. Чаще всего встречаются задачи на движение, работу, проценты, стоимость и смеси.

Актуальные материалы ОГЭ-2027, опубликованные ФИПИ, имеют статус проекта, поэтому перед экзаменом необходимо ориентироваться на утверждённую официальную версию КИМ.

1. Главная схема текстовой задачи

Практически любую текстовую задачу удобно проходить по цепочке:

прочитать → определить неизвестное → выразить остальные величины → найти связь → составить модель → решить → проверить → ответить на вопрос.

Не нужно сразу искать формулу. Сначала нужно понять ситуацию.

2. Что обозначать за x

Это первый важный выбор.

Например, сказано: «Один товар стоит на 50 рублей дороже другого».

Можно обозначить через xцену более дешёвого товара. Тогда цена второго: x + 50. Это удобно.

Можно сделать наоборот — обозначить дорогой товар через x. Тогда цена дешёвого будет: x − 50.

Оба варианта математически допустимы. Но один из них может сделать дальнейшее решение гораздо проще.

Хорошее правило: за x лучше брать ту величину, через которую проще выразить остальные.

Неизвестное должно иметь смысл. Не стоит писать «x = какое-то число». Сразу определите: x — скорость автомобиля; x — количество тетрадей; x — длина первого отрезка; x — первоначальная цена товара.

Это помогает не запутаться по ходу решения. Особенно если в задаче появляется несколько связанных величин.

3. Сначала составляем список величин

Предположим, задача рассказывает о движении автомобиля. Известны: скорость, время, расстояние.

Перед составлением уравнения полезно буквально выписать: S — расстояние, v — скорость, t — время. А затем вспомнить связь: S = vt.

После этого текст становится математической задачей.

4. Задачи на движение

Для движения используются три основные величины: S — расстояние, v — скорость, t — время.

Главная формула: S = vt. Из неё: v = S / t, t = S / v.

Но формулу недостаточно помнить. Нужно понимать, какая величина неизвестна и как она связана с остальными.

Встречное движение. Если два объекта движутся навстречу друг другу, их расстояния за одинаковый промежуток времени складываются.

S₁ = v₁t, S₂ = v₂t. Первоначальное расстояние между объектами: S = S₁ + S₂. Получаем: S = (v₁ + v₂)t.

Здесь особенно важно понимать смысл происходящего. Два объекта одновременно сокращают расстояние между собой. Поэтому используется сумма скоростей.

Движение в одном направлении. Если два объекта движутся в одном направлении, появляется другая ситуация. Например, один движется быстрее другого и постепенно догоняет его.

Тогда используется разность скоростей: v₁ − v₂, если v₁ > v₂. Расстояние между объектами изменяется со скоростью, которую называют относительной.

Главное — не запоминать только слова «встреча» и «догоняет». Нужно представить движение на схеме.

Почему рисунок помогает. В задачах на движение очень полезно сделать простую схему: А → → →, ← ← ← Били А → → → Б— и подписать скорость, время, расстояние.

Это занимает несколько секунд, но позволяет увидеть, нужно ли складывать или вычитать скорости.

Единицы измерения в задачах на движение. Это одна из главных ловушек.

Если скорость дана в км/ч, время должно быть выражено в часах. Если время дано в минутах, его нужно перевести: минуты ÷ 60 = часы.Например, 30 минут = 0,5 часа.

Только после этого можно использовать скорость в км/ч.

5. Задачи на работу

В задачах на совместную работу встречаются: производительность, время, объём выполненной работы.

Если один человек выполняет всю работу за a часов, его производительность за один час: 1/a. Если другой выполняет её за b часов: 1/b.

При совместной работе производительности складываются: 1/a + 1/b.

Главная идея здесь: сначала найдите, какую часть всей работы выполняется за единицу времени. После этого составление уравнения становится гораздо понятнее.

6. Задачи на проценты

Процентные задачи мы уже рассматривали среди практических заданий, но в текстовой задаче появляется дополнительная сложность.

Нужно определить: от какой величины считается процент.

Например, товар подорожал на 20%. Если первоначальная цена — x, новая цена: 1,2x. Если товар подешевел на 20%: 0,8x.

Не путайте: увеличение на 20% → 1,2x; уменьшение на 20% → 0,8x.

7. Задачи на числа

Очень распространённый тип: «Одно число на несколько единиц больше другого».

Если меньшее число: x, то большее: x + a. Если одно число в несколько раз больше другого: kx. Если одно число составляет определённую долю другого: используется соответствующий коэффициент.

Здесь важно внимательно читать слова. «На 5 больше»— это x + 5. «В 5 раз больше»— это 5x. Это совершенно разные математические ситуации.

«На сколько» и «во сколько раз». Эти формулировки нельзя путать.

Если одно значение 20, а другое 15: на сколько больше: 20 − 15 = 5; во сколько раз больше: 20 ÷ 15.

Разность и отношение отвечают на разные вопросы. Поэтому перед вычислением всегда возвращайтесь к формулировке задачи.

8. Задачи на стоимость

Здесь чаще всего используется: стоимость = цена × количество.

Если цена одной единицы — x, а количество — n, то: C = xn. Если известна общая стоимость: x = C/n.

Но в реальной задаче может появиться: скидка, наценка, несколько товаров, разные цены, фиксированная плата. Тогда нужно разбить ситуацию на части.

9. Задачи на смеси и концентрации

Здесь главное — не складывать проценты автоматически.

Если смешивают растворы разной концентрации, важно учитывать количество вещества, а не только процент.

Общая идея: количество вещества = объём × концентрация.

Например, если есть раствор объёмом V и концентрацией p, количество растворённого вещества можно представить как Vp при записи концентрации в виде десятичной дроби.

Затем количества вещества в отдельных частях складываются. Такие задачи требуют аккуратной записи данных, поэтому таблицу в голове лучше заменить короткой схемой: объём → концентрация → количество вещества.

10. Задачи на геометрию тоже могут быть текстовыми

Например: «Длина прямоугольника на 4 см больше ширины, а площадь равна 45 см²».

Обозначим ширину: x.Тогда длина: x + 4.Площадь: x(x + 4) = 45.

Получили квадратное уравнение. Здесь геометрическая задача фактически превратилась в алгебраическую.

11. Самый важный переход: текст → выражение

Вот несколько типичных формулировок.

«На 7 больше»→ x + 7
«На 7 меньше»→ x − 7
«В 3 раза больше»→ 3x
«В 3 раза меньше»→ x/3
«Увеличили на 20%»→ 1,2x
«Уменьшили на 20%»→ 0,8x
«Сумма двух величин равна 30»→ x + y = 30
«Разность двух величин равна 8»→ x − y = 8

Но эти записи нужно использовать только после того, как вы поняли, какая величина обозначена через x.

12. Не составляйте уравнение слишком рано

Это одна из важных рекомендаций.

Если начать писать уравнение сразу после первого прочтения, можно построить красивое, но неправильное решение.

Лучше сначала ответить на три вопроса:

1. Что неизвестно?

2. Что можно выразить через неизвестное?

3. Какая связь между величинами дана в условии?

Только после этого составляйте уравнение.

Как переводить длинное условие. Если условие большое, разбейте его на короткие утверждения.

Например:

Первый автомобиль проехал...
Второй автомобиль двигался...
Через некоторое время...
Расстояние между ними...

Не нужно держать весь текст в голове. Для каждого утверждения спрашивайте: «Что это означает математически?» Постепенно весь текст превращается в несколько простых записей.

13. Таблица величин может очень помочь

Хотя на экзамене не обязательно рисовать большую таблицу, в черновике удобно сделать три колонки: Величина → Что известно → Как выражается.

Например, для движения: скорость → известна / x; время → известно / x + …; расстояние → скорость × время.

Такой черновик помогает увидеть структуру задачи.

14. Проверяйте физический и жизненный смысл

Получили: x = −5. Если x обозначает количество товара или время, такой ответ невозможен.

Получили: x = 250 часов для короткой поездки — тоже повод проверить решение.

Не каждое отрицательное число автоматически является ошибкой. Например, координата может быть отрицательной.

Но если x обозначает количество, длину, время, стоимость, скорость — нужно проверить, допустимо ли полученное значение.

Посторонний корень — не всегда ошибка. При решении квадратного или другого уравнения могут появиться несколько корней. Но исходная задача может допускать только один.

Например: x = −3и x = 5.Если x — длина отрезка, −3 не подходит.

Поэтому после решения нужно вернуться к исходному смыслу переменной. Это называется проверкой полученных решений с учётом условия задачи.

15. Ответ должен отвечать на вопрос

Предположим, вы обозначили через x скорость первого автомобиля. Решили уравнение и получили: x = 60.

Но задача спрашивает: «Какова скорость второго автомобиля?»

Нельзя просто записать 60. Сначала нужно вернуться к условию и выразить вторую скорость через x.

Это кажется очевидным, но именно на этом этапе иногда теряются баллы.

16. Как действовать, если не получается составить уравнение

Не смотрите на всю задачу целиком. Используйте пять вопросов.

1. Что неизвестно? Назначьте x.

2. Что ещё неизвестно? Можно ли выразить это через x?

3. Какая формула связывает величины? Например, S = vt или C = ab.

4. Что говорит последнее важное условие? Именно оно часто превращается в уравнение.

5. Что спрашивается в конце? Проверьте, совпадает ли найденная величина с ответом.

Почему схемы часто лучше длинных записей. В задачах на движение помогает стрелка. В задачах на стоимость: цена → количество → стоимость. В задачах на работу: производительность → время → работа. В задачах на проценты: исходное значение → изменение → новое значение. В геометрии: стороны → площадь / периметр.

Такие схемы позволяют увидеть отношения между величинами ещё до составления формулы.

17. Пример текстовой задачи с полным решением

Задание. Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали два велосипедиста. Скорость первого на 5 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт Б на 1 час раньше. Найдите скорость второго велосипедиста.

Шаг 1. Читаем условие. Известно: расстояние — 60 км; скорость первого на 5 км/ч больше скорости второго; первый прибыл на 1 час раньше. Нужно найти скорость второго.

Шаг 2. Обозначаем неизвестное. Пусть x км/ч— скорость второго велосипедиста. Тогда скорость первого: x + 5 км/ч.

Шаг 3. Выражаем остальные величины. Время второго: 60/x часов. Время первого: 60/(x + 5) часов.

Шаг 4. Находим связь. Первый прибыл на 1 час раньше, значит, его время меньше. Получаем уравнение: 60/x − 60/(x + 5) = 1.

Шаг 5. Решаем. Приведём к общему знаменателю: 60(x + 5) − 60x = x(x + 5). Раскроем скобки: 60x + 300 − 60x = x² + 5x. Получаем: 300 = x² + 5x. Или: x² + 5x − 300 = 0.

Дискриминант: D = 25 + 1200 = 1225. Корень из D: 35. Корни: x = (−5 + 35)/2 = 15 и x = (−5 − 35)/2 = −20.

Шаг 6. Проверяем по смыслу. Скорость не может быть отрицательной, поэтому x = −20 не подходит. Остаётся x = 15.

Шаг 7. Отвечаем на вопрос. Задача спрашивает скорость второго велосипедиста. Мы обозначали её через x, значит, ответ: 15 км/ч.

Этот пример показывает, как работает алгоритм: условие → неизвестное → выражение → связь → уравнение → проверка → ответ.

18. Как тренировать текстовые задачи

Здесь особенно важно не просто решать варианты. Попробуйте отдельную тренировку.

Первый этап. Прочитать условие и не решать. Только определить неизвестное.

Второй этап. Выразить остальные величины через x.

Третий этап. Составить уравнение.

Четвёртый этап. Решить его.

Пятый этап. Проверить решение по условию.

Такая тренировка отдельно развивает самый сложный навык — математическое моделирование.

Полезное упражнение: составить несколько моделей. Возьмите одну задачу и попробуйте решить её двумя способами. Например, сначала обозначьте за x меньшую величину. Затем — большую. Сравните получившиеся уравнения.

Это помогает понять, что выбор переменной — не случайность. Постепенно вы начнёте автоматически выбирать наиболее удобный вариант.

19. Как разбирать ошибки

После каждой ошибки определите её причину.

Не понял условие. Тренируем чтение и выделение ключевой информации.

Неправильно выбрал x. Тренируем определение неизвестной величины.

Не смог выразить вторую величину. Тренируем перевод текста в математические выражения.

Составил неправильное уравнение. Тренируем поиск связи между величинами.

Решил уравнение неправильно. Повторяем алгебру.

Получил правильное x, но неправильный ответ. Тренируем возвращение к вопросу задачи.

Это гораздо полезнее, чем просто переписывать правильное решение.

20. Как понять, что текстовые задачи освоены

Ученик должен уметь:

• определить неизвестную величину;
• правильно обозначить её;
• выразить другие величины через x;
• определить математическую связь;
• составить уравнение или систему;
• решить полученную модель;
• проверить допустимость результата;
• вернуться к вопросу задачи;
• записать ответ с нужной единицей измерения.

Особенно важен последний пункт. Решение уравнения — это ещё не всегда решение текстовой задачи.

21. Главное правило текстовых задач ОГЭ

Не пытайтесь запомнить сотни сюжетов. Запоминайте математические связи.

Не «Если поезд движется навстречу, надо делать вот так», а «Расстояние связано со скоростью и временем формулой S = vt».

Не «Если один товар дороже другого...», а «Если одна величина на a больше другой, её можно записать как x + a».

Не «Если цена выросла на 20%...», а «После увеличения на 20% величина становится 1,2x».

Тогда новая формулировка не будет пугать.

Финальный алгоритм

Перед решением текстовой задачи пройдите семь шагов:

1. Прочитай условие до конца.
2. Определи неизвестное.
3. Обозначь его через x.
4. Вырази остальные величины через x.
5. Найди математическую связь.
6. Составь и реши уравнение.
7. Проверь результат и ответь именно на вопрос задачи.

Если на каком-то этапе возникло затруднение — не нужно сразу искать готовое решение. Вернитесь на один шаг назад. Чаще всего проблема находится именно там.

Итог

Текстовая задача ОГЭ — это фактически перевод с русского языка на язык математики.

Условие рассказывает историю. Ваша задача — увидеть за этой историей величины и связи между ними: что известно → что неизвестно → что через что выражается → какая формула работает → какое уравнение получается.

Когда этот навык сформирован, текстовые задачи перестают выглядеть как длинные запутанные истории. Они превращаются в последовательность понятных действий: понять → обозначить → выразить → составить → решить → проверить.

Именно этот навык особенно хорошо связывает между собой практические задачи, уравнения, функции и последующие более сложные задания ОГЭ.