Решение треугольника

Тема: «Теорема косинусов»

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цель:

сформулировать теорему косинусов через решение задач,

показать различное использование теоремы: нахождение косинусов углов по трем данным сторонам, определение видов треугольников по значению косинусов углов, нахождение третьей стороны треугольника по данным двум сторонам и углу между ними.

научить использовать ее при решении задач, в том числе практического характера.

Задачи урока:

Образовательные

учащиеся должны знать формулировку теоремы косинусов, этапы доказательства теоремы, что можно найти, используя теорему косинусов, уметь записывать теорему в виде равенства.

развивать умение выделять существенные признаки, применять знания на практике, конспектировать, воспитывать положительное отношения к знаниям, дисциплинированность

Развивающие

повышать интерес учащихся к изучению геометрии;

активизировать познавательную деятельность учащихся; обрабатывать навыки устной речи

формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

Воспитательные

мотивировать интерес учащихся к предмету посредством включения их в решение практических задач, воспитать самостоятельность;

Методы, приемы работы: работа с классом, самостоятельная работа учащихся

Используемые ТСО: проектор, компьютер, интерактивная доска,

Используемый материал: раздаточный материал, учебник

Ход урока

I.Организационный момент.

Приветствие. Отметить отсутствующих.

II.Проверка домашнего задания.

Вызвать к доске двух учеников для выполнения домашнего задания.

№401 (Шыныбеков)

Через середины смежных сторон квадрата, вписанного в окружность радиусом R, проведена хорда. Найдите длину этой хорды, если:

1)R=2см; 2) R=3см.

№419(Шыныбеков)

В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в , а радиус окружности, описанной около него, равен R. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Одновременно ведется опрос учащихся для подготовки к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

(Фронтальная работа с классом)

Что называется треугольником? Назовите его элементы?

Что значит решить треугольник?

Что называется вектором?

Сформулируйте правило сложения векторов?

Как определяется разность векторов?

Что называется скалярным произведением векторов?

Дайте определение синуса, косинуса острого углов прямоугольного треугольника.

Сформулируйте теорему Пифагора.

Когда косинуса угла принимает положительные значения ?

Отрицательные значения?

Задача1 (слайд3).

Дан треугольник АВС. Найдите:

а) сумму векторов и

б) разность векторов и

Ответ:

а)+=;

б)–=.

Задача 2(слайд4)

В том же треугольнике выразите сторону ВС через векторы

а)и;

б)и.

Ответ:

а)=+;

б)=–.

(рисунки дом.заданий на слайде 5). К доске вызывается ученик для проверки выполненного решения домашнего задания . У кого нет записать в тетради.

Проверка знаний учащихся по таблице значений косинуса и синуса некоторых углов (слайд 6)

На листочках проводится срез знаний учащихся по основным табличным значениям синуса и косинуса некоторых углов (слайд). Обмениваются работами c соседом по парте, проверяют их и выставляют оценки.

Запишите значения синуса и косинуса следующих углов(слайд):

(слайд 7) Правильные ответы

I11. Ознакомление с новым материалом.

Историческая справка: Впервые теорема косинусов была доказана учёным – математиком Аль-Бируни (973-1048 г.г.). С помощью данной теоремы и теоремы синусов, которая будет доказана на последующих уроках, можно будет полностью решить поставленную в теме “Решение треугольников” задачу, т.е. вопрос о том, как зная одни из основных элементов треугольника (их 6: 3 угла и 3 стороны), найти другие.

Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: Треугольник АВС: АВ=с, АС=в, ВС=а (слайд 8)

Доказать:

1.;

2.;

3..

Доказательство: (слайд 9)

Рассмотрим треугольник ABC. Так как =- , то имеем :

= = ( =+ - 2· ·= + -2·| |·| |·cosA=

=+ -2·b·c·cosA. ч.т.д.

Запишем теорему косинусов в общем виде:

;

;

.

По теореме косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.

Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Почему? Объясните.

Если  С = 90°, то cosC = 0 и 2abcosC = 0, тогда c² = a² + b², то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

А теперь выразим косинус угла из теоремы косинусов (слайд 10)

= + -2·АС·ВС·cosC

2·АС·ВС·cosC=+ -

cosC =

ІV. Первичное осмысление и применение изученного материала.

Задачи по готовым чертежам. Чертежи проектируются при помощи компьютера. При решении задач учащиеся каждый раз проговаривают формулировку теоремы.

Задача 1 (слайд11)

Ответ: 4.

Задача 2 (слайд12)

Ответ: 60°.

Задача 3 (слайд13)

Используя данные, указанные на рисунке, найдите расстояние между населенными пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера.

Работа с учебником (слайд14)

№471(Шыныбеков)

Две стороны треугольника равны 5см и 7см, а угол, противолежащий третьей стороне, равен . Найдите третью сторону треугольника.

(Слайд 15) задача

Запишем теорему косинусов для треугольниковMNP,POH,

V. Домашнее задание №468, 470(слайд16)

VІ. Итоги урока. Выставление оценок.

VІІ. Рефлексия (слайд 18). На доске прикрепить смайлики? Каждый ученик по одной штуке(желтого, красного, зеленого цвета).

Задача на логику (слайд 18)

Наблюдатель (это ты) находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить.

Вершину башни он видит под углом  45° к горизонту. Какова высота башни?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/104176-reshenie-treugolnika