Ещё раз о задачах на проценты

Уляшева Раиса Александровна

учитель математики

МОУ Помоздинская СОШ им.В.Т.Чисталева

Республика Коми Усть-Куломский р-н

Еще раз о задачах «на проценты»

Знакомство школьников с процентами начинается в пятых-шестых классах: дается определение процента числа, решаются примеры по определению процентов числа, числа по его процентам, процентного отношения чисел; решаются текстовые задачи с применением процентов - так называемые «задачи на проценты». Задачи эти развивающего характера, более того, навыки, приобретенные при их решении, применяются в жизни (банковские проценты, всевозможные налоги и вычеты…), на уроках химии (концентрация…), на уроках физики (относительная влажность, КПД…). Дальнейший курс математики в школе построен так, что школьник с процентами на уроках практически не работает. Когда учитель химии или учитель физики использует проценты в своих задачах, то объясняет эти понятия с нуля (приходилось слышать жалобы от учителей).

Задачи «на проценты» помещены почти в каждом варианте ЕГЭ. Слабые умения выпускников школ решать этот тип задач - это результат большого временного перерыва в решении упомянутых задач, и того, что в школе разбираются, как правило, не самые лучшие и быстрые методы решения таких задач. Многие задачи на проценты решаются через пропорцию. Учащиеся зачастую путают части пропорции и находят величину, обратную нужной.

Один из способов ускорения работы с процентами – это ввод понятия «индекс», широко используемого экономистами. Тем самым задача нахождения значения некоторой величины после увеличения (уменьшения) на некоторое число процентов будет сведена к умножению на число.

Методика нахождения индекса. Если некоторая величина увеличена на 20%, то ее новое значение будет получено из старого умножением на индекс 1,2 (100%+20%=120%=1,2); если величину уменьшить на 20%, то ее новое значение можно получить умножением на 0,8 (100%-20%=120%=0,8). Увеличению на 40% соответствует индекс 1,4, а уменьшению на 40% - индекс 0,6 и т.д. Легко по индексу определить процент увеличения или уменьшения величины. Так индексу 2 соответствует увеличение на 100%, индексу 0,5 – уменьшение на 50%.

Пример из ЕГЭ 2012 г. По накопительному вкладубанк выплачивает 10% годовых. По истечении этого срока начисленная сумма присоединяется к вкладу. На этот вклад был открыт счет в 100000 рублей, который не пополнялся, и с которого не снимали деньги в течение трех лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение. Индекс в нашем случае равен 1,1. Т.к. вклад лежал в банке три года, то он индексировался три раза и возрос в 1,1³ раз, доход при этом составит разницу между новой суммой и первоначальной: 100000·1,1³ – 100000=33100 (руб).

Ответ: 3310.

Пример из демонстрационного варианта ЕГЭ. Цена на товар была понижена на 20%. На сколько процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену?

Решение. Возьмем первоначальную цену товара за 1, индекс при первом изменении цены равен 0,8, при втором примем за Х. Величину Х найдем из уравнения

1·0,8·Х=1.

Х=1,25.

Значение индекса 1,25 соответствует повышению цены на 25%.

Ответ: 25.

7) Задача. В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 50%, во второй раз — на 10 %. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 1200 рублей?[2]

Решение Определим индексы при первом и втором снижении цен.

100%-50%=50%=0,5; 100%-10%=90%=0,9.

Новая цена: 1200*0,5*0,9=540 руб.

Ответ: 540 руб.

8) Задача. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть, увеличивает сумму долга на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? [3]

Решение Определим индекс, соответствующий 10 банковским процентам: (100+10)%=1,1. Именно в это число раз будет ежегодно увеличиваться долг Сергея банку. Заменим для краткости первоначальную сумму в 9 930 000 рублей буквой а. Обозначим сумму ежегодного взноса Сергея в счет погашения долга буквойх. На эту сумму Сергей ежегодно будет уменьшать сумму долга после начисления банковских процентов. Решение разместим в таблице, построчно заполнив ее.

1,1³·a-(1,1²+1,1+1)·x=0;

x=1,1³·a/(1,1²+1,1+1)=1,331·a/3,31= 9930000·1,331/3,31=3993000(руб.).

Ответ: 3993000 руб.

Литература:

1. И.В. Ященко и др. Математика. Типовые тестовые задания. – М.: «Экзамен», 2012

2. И.В. Ященко и др. Математика. Основной государственный экзамен (ГИА-9). Типовые тестовые задания. – М.: «Экзамен», 2015.

3.http://reshuege.ru/ Вариант 5897567 Задача 18. С5 №506090.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/106494-eschjo-raz-o-zadachah-na-procenty