Система не линейных уравнений с двумя переменными.(Графический способ решения систем уравнений)

Уроки 12-13.

Система не линейных уравнений с двумя переменными.(Графический способ решения систем уравнений)

Цель: использовать графики для решения систем уравнений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение решения уравнения с двумя переменными.

2. Постройте график уравнения.

Вариант 2

1. Определение уравнения с двумя переменными.

2. Постройте график уравнения.

III. Изучение нового материала

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решением системы уравнений называют пару значений переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений означает, найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Одним из эффективных и наглядных способов решения и исследования уравнений и систем уравнений является графический способ.

Пример 1

Решим систему уравнений

Построим в одной системе координат графики первого х2 + у2 = 25 (окружность) и второго ху = 12 (гипербола) уравнений. Видно, что графики уравнений пересекаются в четырех точках A(3; 4), В(4; 3), С(-3; -4) и D(-4; 3), координаты которых являются решениями одной системы.

Так как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой. Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3; 4), (4; 3), (-3; -4), (-4; -3).

Пример 2

При всех значениях параметра а определим число решений системы уравнении

Построим график первого уравнения х2 + у2 = 22 (окружность) и второго уравнения у = |х| + а для различных значений параметра а. Этот график пересекает ось ординат в точке у = а. Из прямоугольного равнобедренного треугольника ОАВ найдем гипотенузу Тогда сразу получаем ответ задачи: при  система не имеет решений (графики а, е), при система имеет два решения (графики б, г), при a = -2 - три решения (график в) и при a = 2 - одно решение (график д).

Пример 3

При каких значениях параметра а система уравнений  имеет единственное решение?

Построим график первого уравнения  (верхняя полуокружность, т. к. у ≥ 0). Также в этой системе координат строим график второго уравнения у = а - х для различных значений параметра а (прямая). Эта прямая пересекает оси координат в точках х = а и у = а. Очевидно, что система уравнений имеет единственное решение, если прямая у = а - х находится между положениями а и b, а также в случае касания г. Для этого случая из прямоугольного равнобедренного треугольника ОАВ найдем гипотенузу (соответственно). Следовательно, при  система уравнений имеет единственное решение.

IV. Задание на уроке

№ 415 (б); 416; 419 (а); 420 (б); 421 (а, б); 422 (а); 424 (б); 426.

V. Задание на дом

№ 415 (б); 417; 418; 419 (б); 420 (а); 421 (б, г); 422 (б); 424 (а); 425; 427.

VI. Творческие задания

1. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет ровно два решения.

Ответы:

2. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений имеет ровно три решения.

Ответы:

3. Для каждого значения параметра а определите число решений системы уравнений.

Ответы: а) при  - нет решений,  - четыре решения, при  - восемь решений;

б) при  _ нет решений, при  - четыре решения, при  - восемь решений.

VII. Подведение итогов урока



Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/107214-sistema-ne-linejnyh-uravnenij-s-dvumja-pereme