Уравнения. Способы их решения

Уравнения. Способы их решения.

Квадратное уравнение – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратное уравнение находит широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение . Разложим левую часть на множители:

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в ноль при , а также при . Это означает, что число 2 и 12 являются корнями уравнения .

СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение . Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение в следующем виде:

.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа , а второе – удвоенное произведение на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить , так как

.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

,

Прибавляя к ней и вычитая . Имеем:

.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

,.

Следовательно,, , или, .

СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

,

на и последовательно имеем:

,

,

,

,

,

Примеры.

а) Решим уравнение:

два разных корня:

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при , уравнение имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: ,

,

, один корень.

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. то уравнение имеет единственный корень,

в) Решим уравнение:

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. , уравнение не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4 СПОСОБ: решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

.(1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента р. Если , то оба корня отрицательны, если , то оба корня положительны.

Например,

и , так как и ;

и , так как и .

б) если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен, то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если , или отрицателен, если .

Например

и , так как и ;

и , так как и .

5 СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

, где .

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

.

Пусть , откуда ; тогда приходим к уравнению

,

равносильно данному. Его корни и найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем и . При этом способе коэффициент умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример 1.

Решим уравнение .

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

.

Согласно теореме Виета

Ответ: 2,5; 3.

Пример 2.Пример 3.

делим на 2делим на 6

Ответ:Ответ: 1,5; -1/3

6 СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

а) Пусть дано квадратное уравнение , гд е.

1) Если (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то .

Доказательство.

Разделим обе части уравнения на , получим приведенное квадратное уравнение

.

Согласно теореме Виета

По условию , откуда. Таким образом

Т.е. и , что и требовалось доказать.

Примеры

Решим уравнениеРешить уравнение

Решение: так какРешение: так как

, то , то

Ответ: 1; Ответ: 1;

б) Если второй коэффициент – четное число, то формулу корней

можно записать в виде

Пример

Решим уравнение .

Решение. Имеем: ;

, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

в) Приведенное уравнение

совпадает с уравнение общего вида, в котором и . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид

, или (3)

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда – четное число.

Пример. Решим уравнение .

Решение. Имеем:

Ответ: .

7 СПОСОБ: Приёмы устного решения квадратного уравнения.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов , то;

Пример:

Так как 5 – 8 + 3 = 0, то

Если в квадратном уравнении выполняется равенство , то;

Пример:

Так как 5 + 3 = 8, то

Пример. Решить уравнения с большими коэффициентами:

,

,

,

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/112294-uravnenija-sposoby-ih-reshenija