Методическая разработка. Многоугольники. Решение задач

Многоугольники.Решение задач.

Выпуклыймногоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

Объединение замкнутой ломаной и ее внутренней области называют многоугольником.

Саму ломаную называют границей многоугольника, а ее внутреннюю область - внутренней областью многоугольника.

Звенья границы многоугольника называютсясторонами многоугольника, а вершины - вершинами многоугольника.

Отрезок, соединяющий две не соседние вершины многоугольника, называют его диагональю.

Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Соотношения в многоугольниках:

все правильные многоугольники подобны друг другу;

сумма углов любого выпуклого многоугольника равна 180^(n-2);

сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360^.

периметры подобных многоугольников относятся, как их сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия;

площади подобных многоугольников относятся, как квадраты их сходственных сторон, и это отношение равно квадрату коэффициента подобия

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности.Описанным около кругамногоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.

Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.

Описанный многоугольник:

_Еслиp - полупериметр; r - радиус вписанной окружности, то

_{Если многоугольник правильный, то}

Правильный многоугольник

(a_n - сторона правильного n - угольника; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности, n – число сторон (углов) многоугольника):

Угол  А₁А₂А₃ правильного многоугольника равен

Сумма внутренних углов любого многоугольника равна 180⁰(n – 2).

Сумма внешних углов любого многоугольника равна 360⁰.

_{Число диагоналей выпуклого многоугольника}

Пример 1. Выберите верные утверждения:

Если у правильного многоугольника равны между собой внутренний, внешний и центральный углы, то этот многоугольник – квадрат.

Если у правильного многоугольника внутренний угол в 10 раз больше центрального, то это 22-угольник.

Если многоугольник правильный, то наибольший центральный угол у него может быть 120⁰.

1) верны все 2) только А 3) В, С 4) А, С

Решение. Рассмотрим каждое утверждение в отдельности.

Верно, так как у квадрата внутренний, внешний и центральный углы по 90⁰.

Верно. Докажем это. Пусть у нас х-угольник, тогда центральный его угол равен 360⁰/х, а внутренний угол равен 180⁰(х – 2)/х.

По условию 180⁰(х – 2)/х = 10·360⁰/х  х – 2 = 20  х = 22.

Верно. Минимальное число сторон – это n = 3, тогда центральный угол угла правильного многоугольника равен 360⁰: 3 = 120⁰. При увеличении n, величина центрального угла будет уменьшаться, поэтому 120⁰ – это наибольший.

Из представленных утверждений верны все, т.е. правильный ответ 1).

Ответ 1.

Пример 2. Вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Решение.

Пусть AOB = 2x, BOC = x,

тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, AOB = 60°, BOC = 30°

Ответ:.

Пример 3. В окружность вписаны правильный шестиугольник и квадрат. Сторона шестиугольника равна р. Найти периметр квадрата.

Решение.Радиус окружности, описанной около шестиугольника равен его стороне,

так как , тогда сторона квадрата: , а периметр квадрата 4р2.

Ответ 4р2.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/115833-metodicheskaja-razrabotkamnogougolnikiresheni