Основы комбинаторики

Тема.

Основы комбинаторики.

Размещения, перестановки, сочетания.

Цели урока:

Образовательная: Познакомить с понятием «комбинаторика»; обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и сочетаний; сформировать умения решать комбинаторные задачи.

Воспитательная: Воспитание интереса к предмету, веры в свои силы, нравственных качеств.

Развивающая: Развитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности, математической речи, внимания.

Ход урока

Организационный момент

«Число, положение и комбинация -

три взаимно пересекающиеся,

но различные сферы мысли,

к которым можно отнести

все математические идеи.»

Английский математик

Джеймс Джозеф Сильвестр
(1814-1897)

Мотивация темы и цели урока

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Восприятие учебного материала.

Рассмотрим несколько типичных для комбинаторики задач.

Пример 1. В группе 20 учащихся. Сколькими способами могут быть выбраны староста и заместитель старосты?

Решение. Пусть сначала избирается староста. Поскольку каждый член группы может быть выбран старостой, то, очевидно, есть 20 способов его выбора. Тогда заместителем старосты может стать каждый из оставшихся 19 человек. Любой из 20 способов выбора старосты может осуществиться вместе с любыми из 19 способов выбора заместителя старосты. Поэтому всего существует 20 ∙ 19 = 380 способов выбора старосты и его заместителя.

Пример 2. На собрании пожелали выступить четыре человека. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов?

Р ешение.Первого оратора можно выделить четырьмя способами; второго, очевидно, тремя способами. На третье место будут претендовать только два человека, и, следовательно, есть два способа заполнить третье место. Для четвертого оратора места уже не остается, и он выступает последним. Составим схему:

Каждый способ выбора первого оратора может быть скомбинирован с шесть случаями выбора остальных, то число способов составляет

4 ∙ 6 = 24.

Пример 3. Группу учащихся техникума должна экзаменовать по математике комиссия из двух преподавателей. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в техникуме пять преподавателей.

Решение. Обозначим преподавателей буквами A,B, C, D,E, можно выписать все возможные экзаменационные комиссии, а именно: AB, AC,AD, AE, BC,BD, BE, CD,CE, DE. Мы видим, что их число равно десяти.

- Выявим сходства и различия между этими задачами:

1) Сходства. Во всех примерах речь идет о некотором конечном множестве элементов и о количестве его подмножеств, удовлетворяющих некоторым заданным требованиям.

2) Различия. В примерах 1, 3 различия состоят в порядке следования элементов подмножества. Если в примере 3 преподаватели Иванов и Петров это тоже самое, что Петров и Иванов, то в задаче 1 если Ваня – староста, а Коля – его заместитель, то наоборот это уже будут разные множества.

Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их следования.

(1)

В 1 задаче получим

Если условиться, что 0! = 1, то получим

Символ n! (читается: «эн факториал»). Используя знак факториала, можно, например, записать

Пример 4.Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно По формуле получаем

Определение 2. Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

В задаче 2 требовалось найти число всех перестановок ораторов. Это число оказалось равным 24, следовательно, P₄ = 24.

В общем случае число перестановок из n элементов и, следовательно, его можно найти по формуле (1): . Таким образом

(2)

Пример 5.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что все числа не повторяются.

Решение. Так как число кратно пяти, следовательно, цифра пять должна стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. .

Определение 3. Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. (Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.)

Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом и вычисляется по формуле:

(3)

Пример 6.Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно , т.е. всего будет сыграно 120 матчей.

Свойства сочетаний:

1)

2)

Обобщение

Решение задач: сборник задач Апанасов № 23, 25, 26, 27, 29 (стр 231) 33 – 35.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/119063-osnovy-kombinatoriki