Разработка урока геометрии по теме «Объём шара»

ОБЪЁМ ШАРА

Некрасова Н.А., ГБОУ РХ НПО «ПУ-15» с. Бея

Цель:

вывести формулу объёма шара, проверить степень усвоения основного теоретического материала, умение применять формулы при решении задач; способствовать развитию представления о телах вращения и их применении в окружающем мире, установлению связи между теорией и практикой, закреплению навыков решения задач по теме; развивать умение применять полученные знания при решении нестандартных задач;

способствовать развитию творческого мышления, пространственного мышления при решении задач;

воспитывать ответственность, коммуникабельные качества, объективность в самооценке результатов работы.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, модели шаров.

Эпиграф: Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто (М. Лауэ)

Ход урока

Организационный момент (приветствие, определение отсутствующих, организация внимания)

- Сегодня у нас на урок решения задач творческого и практического содержания по теме «Объём шара». Сформулируйте каждый для себя цель урока.

Предполагаемые ответы:

- Вывести формулу объёма шара. Применение этой формулы при решении задач.

- Применение формулы объёма шара при решении не сложных задач.

- Применение формулы объёма шара при решении более сложных задач и задач практического содержания.

- Итак, цель сегодняшнего урока - вывести формулу объёма шара и её применение в окружающем мире. Девизом урока будут слова французского инженера-физика М. Лауэ «Образование есть то, что остаётся, когда всё выученное уже забыто».

2. Актуализация полученных знаний

Теоретический опрос (фронтальная работа)

Вспомните, определение шара и его элементов.

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называетсядиаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

3.Изучение новой темы

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.

Теорема: Объем шара равен

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять  объёмы  тел с помощью интегральной формулы

V=

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы  объема   шара.

(Учитель объясняет вывод формулы  объёма   шара  с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях).

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис192).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим   . Тогда , где

Так как  , то заменяя r через выражение      получим    

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

Теорема доказана.

 В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно знать формулу , где D – диаметр шара

4.Формирование умений и навыков учащихся.

 ПРОБЛЕМНАЯ ЗАДАЧА: При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трём арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы 

Решение:

 Необходимо найти объемы данных арбузов.

и таких арбузов три, значит их общий объем равен

   Задача (Архимеда): На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр в …раз меньше объема цилиндра и что также относятся площади поверхностей этих тел». Найдите отношение объема цилиндра к объему шара и отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

 Дано: в цилиндр вписан шар

Найти: отношение объёмов цилиндра и шара, отношение площадей поверхностей

 РЕШЕНИЕ:

                                                                                                                               Ответ:1,5

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объём шара в полтора раза меньше объёма описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах.

Задача.Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Решение:       

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара  S₁ = 4пR²,    стала  S₂ = 4пR²/9 = 4п (R/3)² = 4пr²  

Видим, что r = , т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V₁= 4/3 ПR³,   а объем V₂= 4/3 пr³ = 4/3 п(R/3)³ =4/3 пR³ /27  =  V₁ / 27.

Ответ:27

5.ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление объёма полушария»

Учащиеся получают модель полушария.

Задание: Выполнить необходимые измерения и вычислить объём полушария.

Измерения и вычисления проверяются сразу на уроке, используя формулы в данной программ.

6.Математический диктант

1. Вычислите объем шара, если его радиусR = 6 см. [R = 5 см].

2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. [V= 32π/3].

3. Объем шара равен 256π/3 см3.  [288π см3]. Найдите площадь большего круга [длину окружности большего круга].

4. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1 [R = 2]. Найдите отношение Vцил. : Vшара [Vшара : Vцил.].

Ответы к математическому диктанту:

ВариантI 1. 228π;           2. 3;     3. 16π;      4.

ВариантII 1. 500π/3;       2. 2;     3. 12π;      4.

7.Итог урока

 Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.

 Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу  объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

 Домашнее задание.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/122943-razrabotka-uroka-geometrii-po-teme-objom-shar