Старый алгоритм

Различные способы извлечения квадратных корней «вручную» существуют с давних времён. Я расскажу об одном таком способе, который был создан ещё в Х V веке и на протяжении долгих лет честно служил и школьникам и учителям.

Конечно в наше время, когда почти каждый первоклассник носит в портфеле микрокалькулятор, нелегко удивить школьника ручным способом извлечения квадратного корня. Но всё же. Известный американский математик академик Грехем вспоминал, что сильный интерес к математике он почувствовал впервые в начальной школе, увидев тот самый алгоритм по извлечению квадратных корней, о котором я сейчас расскажу. Его заинтересовало, возможно ли сделать что – нибудь похожее для кубических корней и корней более высоких степеней. Он нашёл аналогичный способ решения, и с тех пор математика навсегда вошла в его жизнь.

Чтобы освоить этот способ, достаточно разобрать несколько примеров. Сначала рассмотрим случай, когда корень извлекается нацело, т.е.

когда число является полным квадратом. Найдём, например, корень из числа 294849.

Разобьём цифры, входящие в это число, справа налево на группы по две цифры √ 29 48 49 . Самую левую группу назовём первой, следующую – второй и т.д. Общее число образовавшихся групп определяет число цифр искомого корня. Первая цифра находится как целочисленное значение корня из первой группы с недостатком. В нашем случае – это цифра 5. Записываем её в ответ, затем возводим в квадрат, вычитаем из первой группы и сносим к результату вычитания следующую группу. (Если результат вычитания нуль, то просто сносим следующую группу.) В рассматриваемом примере получится число 448.

√ 29 48 49 = 5

25___

4 48

Переходим к определению второй цифры. Для этого слева от полученного числа 448 проводим вертикальную прямую и записываем за ней на место десятков удвоенную первую цифру: 2 ∙ 5 = 10.

√ 29 48 49 = 5

25____

10 448

На место единиц ставим самую большую цифру а , для которой разность 448 – 10а∙ а неотрицательна, т.е. положительна или равна нулю. Ясно, что в нашем случае это цифра 4. Заносим эту цифру в ответ.

√ 29 48 49 = 54

25____

448

Умножаем 104 на 4 и записываем результат справа от вертикальной черты. Вычисляем разность 448 – 416 =32 и сносим к ней следующую группу. В результате получаем число 3249.

√ 29 48 49 = 64

25_____

4 48

__4____4 16__

32 49

Третья цифра находится так же, как и вторая: умножаем 54 на 2 и полученный результат – число 108 – записываем слева от вертикальной черты на место десятков. На место единиц ставим самую большую цифру b , для которой разность 3149 – 108b ∙ b неотрицательна. Подбором убеждаемся, что для b =3 эта разность равна нулю. Заносим число 3 в ответ.

√ 29 48 49 = 543

25_____

448

__4____416___

108 32 49

Умножаем 1083 на 3, записываем результат справа от вертикальной черты и вычитаем его из 3249. Так как разность равна нулю. Процесс вычисления корня закончен.

√ 29 48 49 = 543

25_____

4 48

__4____4 16__

3249

___3______3249

0

Ну а что же делать, если число не является полным квадратом ? Алгоритм в этом случае не меняется, нужно лишь правильно подготовить число. Итак, пусть N - некоторое число (не обязательное целое), представленное десятичной дробью, и мы хотим вычислить корень из него с точностью до _1_

10^m

т.е. хотим найти цифры в десятичном представлении искомого корня до m – го

знака после запятой включительно. Тогда поступим следующим образом. Цифры, входящие в целую часть числа N , разбиваем на группы по две цифры в каждой справа налево, а цифры, образующие дробную часть, разбиваем на такие же группы, но уже слева направо. Если общее число цифр в целой части нечётно, то первая группа слева будет состоять из одной цифры, если же нечётно число цифр в дробной части, то к последней цифре справа приписываем нуль. Когда число групп в дробной части больше m, мы отбрасываем лишние группы справа, когда оно меньше m, составляем недостающие группы из нулей. Теперь всё готово, чтобы использовать наш алгоритм.

√2 = √2, 00 00 00 = 1,414

_1_______

1 00

_4_____96_____

4 00

__1______2 81__

1 19 00

___4_______1 12 96

6 04

√12,5 = √ 12, 50 00 00 = 3,535

__9________

3 50

_5_____3_25______

25 00

__3_______21 09___

3 91 00

___5________3 53 25

37 75

Заметим, что получение каждой новой цифры связано с возрастающим объёмом вычислений, поэтому алгоритм разумно применять тогда, когда требуемая точность не превышает трёх-четырёх значащих цифр (чего, как правило, достаточно для практических расчётов)

Точность вычислений с использованием указанного алгоритма можно повысить, если воспользоваться следующим утверждением:

Если после вычисления n значащих цифр корня остаток от извлечения разделить на удвоенное найденное значение корня, то частное даёт n –1 следующих цифр корня.

Докажем это утверждение. Предположим вначале, что число а, из которого извлекается корень имеет целую часть из n групп. Пусть найдено n первых цифр корня, образующих число с. Тогда √а = с + х, где х – дробная часть корня, которую нужно найти. Следовательно,

а = с² + 2сх +х²,

а – с²_ = х + х²

2с 2с

Разность а – с² – это и есть остаток, который получается после нахождения n цифр корня. Дробь а – с² представляет собой то самое частное, о котором

2с говорится в утверждении. Поэтому х = а – с² - х²

2с 2с

Считая х ≈ а –с²

2с, допускаем погрешность, равную х²/ 2с. Так как х < 1,

a >10^n-1 , имеем х²/ 2с < 1 / 2 ∙ 10 ^n-1 , что и требовалось доказать.

Если запятая, отделяющая целую и дробную части в числе а стоит не там , где предполагали, то её всегда можно перенести на надлежащее место, произведя умножение или деление числа а на некоторую степень числа 10 с четным показателем, а потом разделив или умножив найденный корень на степень 10 с показателем, вдвое меньше.

Рассмотрим пример. Вычислим √2 с семью значащими цифрами, т.е. с шестью цифрами после запятой.

√2 = √2, 00 00 00 = 1,41 42 13

_1_________

100

_4____96______

4 00

__1 _____2 81____

1 19 00

_ __4 _____1 12 96_

6 04 2828

0,213

5656

3840

2828

10120

8484

1636

Общероссийский конкурс «Лучшая авторская публикация»

Жилина Галина Ильинична, учитель математики МБОУ СОШ №9, город Бугульма, Республика Татарстан

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/126079-staryj-algoritm