Моделирование в MS Excel. Нахождение числа π методом Монте-Карло

Конспект урока.

Урок 3. Класс:11

Тема «Моделирование в MSExcel. Нахождение числа π методом Монте-Карло»

Цели:

Дидактическая:Выяснить особенности Метода Монте-Карло, Вспомнить базовые формулы теоремы Пифагора, площади круга, изучить несколько новых функций Excel(СЛЧИС,ЕСЛИ).

Воспитательная: Убедить учащихся в познаваемости мира и объективности наших знаний о нем.

Развивающая: Объяснить учащимся каким образом пользоваться методом Монте-Карло, и каким образом переносить созданные на бумаге модели в Exce.

Тип урока: изложение нового материала.

Вид урока: беседа, решение задач.

Оборудование: ноутбуки у учеников и интерактивная доска у учителя.

ХОД УРОКА

Сегодня нашей задачей будет найти число π Методом Монте-Карло. Для начала зададим себе вопрос «как вообще можно найти число π ?». Одним из первых, что нам придёт нам в голову буде «Нужно воспользоваться формулой в которой есть число π и затем выразить его из этой формулы».Так мы и поступим .

Мы знаем, что число π в ходит в формулу площади круга, следует пояснить, что нам нужна не просто формула с числом π, а наиболее простая такая формула, таким образом цилиндры и сферы отпадают, так что воспользуемся площадью круга . Начертим этот круг , для удобства центр его поместим в начало координат, а радиус возьмём равный единице. Мы видим, что оси координат разбивают круг на 4 части, расположенные в разных четвертях. Площадь каждой такой части будете в 4 раза меньше чем площадь круга , так как круг состоит из 4 таких частей.

Возьмём одну из этих частей, удобнее будет взять ту, которая располагается в первой четверти так, как в значениях координат в ней не будет знаков «минус».

Для того, чтобы воспользоваться методом Монте-Карло необходимо взять ещё одну фигуру, площадь которой будет включать в себя площадь этой части круга, и площадь такой фигуры мы должны быть в состоянии легко найти. В нашём случае воспользуемся квадратом со стороной равной единице (или R), он имеет самую простую площадь и если расположить его левый нижний угол в начале координат он, как раз таки будет включать в себя площадь нашей части круга. Его площадь будет равной .

Очевидно, что соотношение этих площадей будет таковым .

Теперь непосредственно прибегнем к методу Монте-Карло. Суть его заключается в том, что мы будем брать случайные точки в нашем квадрате. Очевидно что часть из них будет так же попадать и в нашу часть круга, а часть нет. Обозначим через N количество точек попавших в квадрат, то есть это будет тоже самое что и количество всех точек, а через n количество точек попавших в круг.

Не трудно догадаться, что соотношение N/n будет таким же как и соотношение площадей квадрата и части круга. Отсюда мы имеем из этого следует .

По сути задача решена, но необходимо добавить условие по которому из математических соображений будет ясно что точка попала или нет в часть круга. В отличии от нас с вами никакая программа не сможет зрительно это понять.

Этим условием будет то, что расстояние от начала координат до точки будет меньше или равно радиусу. Расстояние до точки мы легко определим воспользовавшись теоремой Пифагора, катетами буду выступать значения координат по осямX и Y .Получаем

Работая в Excel мы в первую очередь выделим две колонки под значения координат X и Y .В строке формул после знака «равно» впишем функцию «СЛЧИС» эта функция как раз таки присваивает ячейкам случайные значения от 0 до 1 .перетягиваем эту функцию на все ячейки координат. Получаем случайные координаты. Создаём ячейкиN и n. В N просто по порядку располагаем числа от 1 до например 200(чем больше точек тем точнее найдём π,если точек будет слишком мало ,то есть шанс что они все попадут в часть круга или наоборот не попадут и тогда значение числа π станет мягко говоря не достоверным).То есть всего точек будет 200. В графе n в первую ячейку впишем формулу «ЕСЛИ( )» (сначала пишем условие ,затем после «;» если истина затем после «;» если ложь). Во второй ячейке пишем

ЕСЛИ( )

Перетаскиваем эту формулу на все последующие ячейки. Последняя из которых будет показывать сколько всего точек попало в круг. Теперь в любой ячейки просто делим число точек круга на 200, а затем умножаем на 4, получаем π.

Д.З. §37 стр.196

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/132696-modelirovanie-v-ms-excel-nahozhdenie-chisla-