Статья «Устный счёт на уроках математики в 5-6 классах»

Значение устного счёта

Целью преподавания математики в средней школе является сообщение учащимся фактических знаний в области математики и воспитание у них необходимых навыков и умений для применения полученных знаний в различных практических вопросах. Одновременно преподавание математики служит целям образовательным и воспитательным.

Для достижения этих целей учителя должны применять те методы и приёмы, которые углубляют знания, вырабатывают и закрепляют умения и навыки, содействуют выполнению задач коммунистического воспитания, активизируют работу и повышают её эффективность.

Устные упражнения на уроках математики способствуют более сознательному усвоению предмета, приучая учащихся отчётливее понимать сущность математических понятий, определений, теорем и преобразований. Устные упражнения развивают у учащихся внимательность, наблюдательность, сообразительность, инициативу, укрепляют волю, повышают дисциплину и возбуждают интерес к работе.

Отмечая большое значение устных вычислений, следует в то же время признать исключительно важным создание у учащихся правильных и устойчивых навыков письменных вычислений. Успешная выработка таких навыков возможна лишь на базе хороших навыков устных вычислений.

Таким образом, на уроке математики формирование устных вычислительных навыков занимает большое место. Одной из форм работы по формированию вычислительных навыков являются устные упражнения. Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение:

-образовательное значение: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий, а также лучше понять письменные приемы;

-воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, наблюдательности и сообразительности;

-практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным.

Приёмы упрощённых вычислений при сложении, вычитании, умножении, делении

1. Сложение.

а) Использование сочетательного закона. Слагаемые группируются так, чтобы в частичных суммах получались круглые или удобно складываемые
числа. Складывают сначала высшие разряды.

416 + 94 + 106 = 416 + (94 + 106) = 416 + 200 = 616.

б) Использование переместительного и сочетательного законов. Слагаемые переставляются и группируются.

209 + 117 + 91+313 = (209 +91) +(117 + 313) = 300 + 430 = 730.

в) Округление слагаемых.

489+ 312 = (489+11)+ 300+1 = 500 +300+1 = 801,

1086+598 = 1086+(600–2) = 1686–2 = 1684.

г) Когда слагаемые близки к одному и тому же числу, то сложение заменяется умножением.

402 + 409 + 406 + 407 + 411=407·5 + (–5 + 2– 1+4) = 2035.

_{2.Вычитание.}

^{а) Уменьшаемое} – ^{абсолютно круглое} число 100...0.

1000 – 724 = 276.

Цифра единиц разности есть дополнение цифры единиц вычитаемого до 10, остальные цифры разности – дополнения соответствующих цифр вычитаемого до 9: 6 = 10 – 4, 7 = 9 – 2, 2 = 9–7.

б) Округление уменьшаемого.

1013 —638 = (1000–638)+ 13 = 375,

1013 —638 = (1013 –13) – (638 – 13) =1000 – 625 = 375

в) Последовательное вычитание.

530 – 56 = 530 – 50 – 6 = 480 –6 = 474.

г) Вычитание суммы и разности.

523 – (123+ 50) = 523 – 123 – 50 =400 – 50 = 350

221 – (116 –79) = 221– 116 + 79=221 + 79 – 116=184.

^{д) Использование сочетательного закона}.

612 –208 –392 =612– (208 + 392) = 612–600= 12.

е) Уравнивание цифр единиц уменьшаемого и вычитаемого.

489–276= (486 –276)+3=210+3=213.

563 – 328 = (568 – 328) –5=240–5=235.

ж) Округление вычитаемого.

1850 – 997=1850–1000 + 3 = 853.

з) Округление уменьшаемого и вычитаемого.

879 – 628 = 880 – 630 – 1 + 2 = 251.

3.Умножение и деление.

Всё разнообразие способов и приёмов умножения основано на законах умножения. Особенно большое применение эти законы находят в многочисленных искусственных приёмах умножения, ускоряющих выполнение вычислений и позволяющих автоматически, без промежуточных выкладок, записывать готовый результат.

1. Переместительный (коммутативный) закон: а· в = в · а.

2. Сочетательный (ассоциативный) закон: (а· в) ·с = а ·( в · с) = а · в · с.

III. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения и вычитания: (а ± в) · с = а · в ± в · с.

а) Умножение на однозначное число

Чтобы устно умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки множимого затем единицы и оба результата складывают.
34· 7 = 30· 7+ 4· 7 = 210 + 28 = 238

Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители.
225· 6 = 225· 2 · 3 = 450· 3= 1350

б) Умножение на двузначное число

Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнений,приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. 41 · 16= 41· 10+ 41· 6 = 410+ 246 = 656

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тог множитель, в котором они выражены меньшими числами.

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные
числа (напр., 14 = 2· 7). то пользуются этим, чтобы уменьшить одни из множителей, увеличив другой во столько же раз. 45· 14 = 90· 7 = 630

в) Умножение на 4и на 8

Чтобы устно умножить число на 4его дважды удваивают.

112· 4 = 224· 2 = 448.

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают.

217 ·8 = 434 ·4 = 868 · 2 = 1736

г) Деление на 4 и на 8

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам.

76:4 = 38:2 = 19 ; 236:4=118:2 = 59

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам.

464:8 = 232:4 = 116:2= 58 ; 516:8 = 258: 4 = 129: 2 = 64,5.

д ) Умножение на 5 и на 25

Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 10, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. 243·5 = 2430 : 2 = 1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. 474 ·5 =237 · 10 = 2370

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100 и делят на 4 (или, если число кратно 4 — делят на 4 и к частному приписывают два ноля).
72·25 = 18· 100= 1800

е) Деление на 5 и на 25

Деление чисел на 5 сводится к делению его на 10 и умножению результата на 2 (или в обратном порядке). 775 : 5 = 775 · 2 : 10 = 1550 : 10 =155

Деление на 25 сводится к делению его на 100 и умножению результата на 4 (или в обратном порядке). 775 : 25 = 775 · 4 : 100 = 3100 : 10 = 31

ж) Умножение на 9 и на 11

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают
множимое. 62 · 9 = 620—62= 614

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. 87 · 11 = 870—87 = 957

Частные приёмы сокращённых вычислений

Важнейшие искусственные приёмы умножения.

1. Умножение на 11, 100..01, аа и а0…0а (а≠1)

а) Умножение на 11 основано на равенстве:А· 11 = А · 10 + А, согласно которому к множимому справа приписывают нуль и к полученному числу прибавляют множимое, напр., 17 ·11 = 170 + 17 = 187. Можно множимое подписывать под множимым, отступя на одно место вправо или влево.

Например, 124· 11 ( или 1396· 11 ) выполняется так:

124 1396

124 1396

1364 15356

б) Умножение на числа 10...01.

Пусть В = 10...01 = 10^к+ 1 (к> 2), А= а_nа_n-1… а₂а₁а₀

Тогда аналогично п. а) будем иметь: А ·В = А · 10^к+А == А0...0 + А.Получаются правила, аналогичные правилам п. а)

21 304 · 101=2 130 400 + 21 304=2151704.

21 304 ·101 =21304

21304__

2151704

Полезно запомнить, что если множимое Асостоит из кцифр, то:

А· ( 10^к +1) = АА,поэтому достаточно к множимому приписать множимое:
142 ·1001 = 142142; 8173 · 10001 = 81738173 и т. д.

Если же Асодержит меньше цифр, то к нему слева мысленно приписывается соответствующее число нулей и умножение сводится к предыдущему случаю:

24 ·1001 = 24024; 176 ·100001 = 00176 · 100001= 17600176 и т. д.

в) Умножение на числа аа (а≠1) производится последовательно:

145 · 44=(145 · 4) · 11 = 580 · 11 = 5800+580 = 6380.

г) Умножение на числа вида а0...0а (а≠1) можно производить последовательно: А· а0...0а = (А·а) ·10…01,

k k

875 · 8 008 = 875 · 8  · 1 001 = 7000 ·1 001 = 7007000.

213 ·16 016 = (213 · 4) · 4 ·1 001 = (852 · 4) · 1 001 = 3408 · 1 001 = 3 411 408

д) Умножение на любое двузначное число можно свести к умножению на 11:

А·аЬ = А · (11 · с ± к) = (А ·с)·11 ± А·k,гдес— частное от деления множителя на 11, k —остаток.

243 · 56 = 243 · 55+243 = 1215· 11+243= 13 365 + 243 = 13 608.

2. Умножение на 9, 99, 999 и т. д.

а) Умножение на 9.

Чтобы умножить некоторое число Ана 9, обычно поступают так: увеличивают данное число в десять раз и от полученного числа отнимают множимое. Это правило следует из равенства: А · 9 = АО— А.

127 · 9 = 1 270 - 127 = 1 143.

б) Умножение на 99, 999 и т. д.

На числа вида 99...9 можно умножать по правилам,
аналогичным правилам п. а).

1187 · 99=11870 - 1187 = 1175 13.

Система упражнений

Переходя к конкретному плану устных вычислений в средней школе, необходимо в первую очередь учесть, с каким багажом навыков в этом направлении явился учащийся в V класс средней школы. Надо знать и объем устных вычислительных операций, и приемы вычислений, и, наконец, формы устного счета. Этого требует задача создания органической преемственности в работе между начальной школой и средней школой.

а)Объём устных вычислительных операций в начальной школе:

1. Сложение и вычитание: а) любые два числа в пределе 200; б) два числа, содержащие вместе до 4 значащих цифр, в пределе 1000; в) двузначные числа круглых тысяч; г) круглые миллионы, десятки и сотни миллионов; д) присчитывание и отсчитывание одинаковых двузначных чисел до 200.

2. Умножение: а) умножение на однозначные числа, на 10, на круглые десятки в пределе 1000; б) умножение двузначного числа круглых тысяч и миллионов на однозначные; умножение двузначных чисел на двузначные.

3. Деление: а) деление трехзначных чисел на однозначные, на 10, на круглые десятки и на двузначные числа (нацело и с остатком); б) деление круглых тысяч и миллионов на однозначные числа в пределах предыдущего случая.

б) Приемы устных вычислений

1. Сложение: а) разложение второго слагаемого на разрядные числа 57 + 28 = =57+20+ 8; 408+230 = 408 + 200+30; б) дополнение первого слагаемого до крупных десятков или сотен 78 + 63 = 78 + 2+61; 5 85+348 = 585 + 15 + 333;

в) округление обоих слагаемых, если последние близки к круглым числам 87+69 = 90+70—3—1.

2. Вычитание: а) разложение вычитаемого на разрядные числа 72 – 27 = =72 – 20 –7; 636 – 348 = 636 –300 – 40 – 8;

б) округление вычитаемого 56 – 38 = 56 – 40 – 4 – 2; 627 – 495 = 627 – 500+5;

в) дополнение до уменьшаемого 75 – 29 = 1 + 45.

3. Умножение: а) разложение множимого и множителя на разрядные числа 67 · 6 = (60 + 7) · 6; 728 · 5 = (700 + 20+8) · 5; 64 · 12 = 64 · (10 + 2); б) округление множимого 97 · 8 = (100 –3) · 8; в) округление множителя 32 · 48 = 32 · (50 – 2); г) разложение множителя на ряд более простых множителей 64 · 12 = = 64 · 4 ·3; д) сокращенные приемы умножения на 5, 50, 9, 99, 11.

4. Деление: а) разложение делимого на два слагаемых, из которых каждое дает ту или иную разрядную цифру частного 87 : 3 = (60 + 27) : 3; б) разложение делителя на множители 162 : 18= 162 : 2 : 9; в) сокращенные приемы деления на 5,50.

ВV классе с начала учебного года учитель математики должен проверить знания учеников по устному счёту, уделив для этого по 5—10 мин. в начале первых уроков. Затем при прохождении законов действий особенно уместно применить их к устному счёту с целыми числами, позднее — с дробями. Нужно включить в устный счёт решение примеров вроде следующих (закон переместительный):

75+48+25 = 75+25+48= 148

8 · 17 · 125 = 8 · 125 · 17 = 17000

Ещё подробнее нужно остановиться на приёме округления и его обосновании: 229 + 69 = 229 + 70 — 1=298

356 + 79 = 355 + 80 = 435

152 — 88=152 — 90 + 2 = 64.

Обоснование:а + (Ь —с)=а+Ь—с ; а — (Ь — с) = а —Ь+с.

48 · 36 = 50 · 36 — 2 · 36 = 1800 — 72 = 1728

792:4 = 800:4 —8:4 = 200 — 2=198.

Обоснование — закон распределительный умножения:(а—Ь)•с = ас —Ьс.

Там же полезны примеры на умножение и деление на 25, 125, 75 и 11.

Обоснование приёмов умножения на эти числа видно из следующих примеров:

36 · 25 = 36 : 4 · 100= 9 · 100 = 900

48· 125 = 48 : 8 · 1000 = 6 · 1000= 6000
28 · 75 = 28 · 100 : 4 · 3= 2100

43· 11=430+43 = 473

Из последнего примера видно, что при умножении двузначного числа на
11 нужно в результате между цифрами множимого написать их сумму. Если эта сумма больше 10, то из 10 десятков получится лишняя сотня: 84 · 11 = 924.

Здесь 8+4 = 12, следовательно, сотен будет не 8, а 9.

Рассмотрим учебно-методический комплект по математике для 5 класса авторов И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича. Кроме устных упражнений, имеющихся в достаточном количестве в учебнику математики, УМК включает в себя рабочие тетради «Математика. 5 класс» (в 2-х частях).

Одна из основных дидактических целей обучения математике в 5—6-м
классах — формирование прочных вычислительных навыков. Это достигается многократным выполнением однотипных упражнений, что приводит к быстрому утомлению и потере интереса. Преодолеть эти негативные
последствия можно путем создания игровых ситуаций и изложения материала в занимательной форме. Настоящее пособие позволяет учителю в
значительной степени решить данную проблему.

Большая часть упражнений на вычисление в первой части пособия
направлена на формирование навыков устных вычислений, в том числе и
с использованием приемов быстрого счета, таких, как:

-умножение и деление на 5, 25, 50, 125 и т. п. (№ 2.7, 2.8, 3.4, 3.5);

-умножение и деление на 4, 8, 16 (№ 2.5, 2.6);

-применение законов арифметических действий (№ 5.3, 6.7 и т. п.);

-умножение двузначного числа на 11, 99, 101 и т. п. (№ 10.2).

Система упражнений, предлагаемая в пособии позволяет в интересной, игровой форме организовать работу по формированию навыков устных вычислений с применением различных приемов устного счета.

Геометрические задания на готовых чертежах дадут учителю значительную экономию времени на уроке.

Нестандартные вычислительные и геометрические задания направлены на развитие логического мышления.

Приведем фрагменты уроков с использованием различных видов устных упражнений.

Фрагмент урока в 5 классе

Тема: Числовые и буквенные выражения ( I урок)

Цели урока: показать правила составления числовых и буквенных выражений, развивать умение быстрого счёта, формировать умение находить значение числовых выражений, определять количество переменных в буквенных выражениях.

Ход урока:

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Изучение нового материала.

1)Учитель предлагает ученикам разделить на две группы данные на доске выражения, в один столбик записываются числовые выражения, а в другой – буквенные.

2) Учитель вводит понятие числовых и буквенных выражений.

3) Проверяются столбики, записанные на доске. Учащиеся для числовых выражений находят значения, а для буквенных – определяют количество переменных.

IV. Закрепление.

1. Разобрать задания учебника №32,33,34,37,38 (составление выражений, и нахождение значений для числовых выражений)

2. Устная разминка

№ 42, 44

1. 

   
   

   

   
   Составление по двум данным задачам числовых выражений и нахождение их значений.

1. Подведение итогов. Дом. Задание.

Фрагмент урока в 5 классе

Тема: Числовые и буквенные выражения ( II урок)

Цели урока: повторить понятия числовых и буквенных выражений, развивать умение находить значения числовых и буквенных выражений при заданных значениях переменных, формировать умение решать задачи на движение.

Ход урока:

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний. Устная работа.

1. Учитель показывает карточки с выражениями: 5 · 2 -7; (6+5) : 1; 2а + 3;

5а – 7; аb; 3а – с –b. Задание: определить является данное выражение буквенным или числовым, найти значения числовых и буквенных выражений при а=3, b=2, с=5.

1. №41

Вычислите и заполните таблицу:
Л. (600 : 100 + 18) : 8; Г. 124 : (340 : 17 + 11);

Р. 9 (106 - 206 : 2); Е. 8 + (58 - 18 • 2);

Б. 50 : ( 215 • 2 - 405); А. (5 + 28) : 3.

Слово, которое у вас получилось, — название раздела математики, в котором изучаются буквенные выражения.

1. Задания 2.5 , 2.7. в рабочей тетради.

III. Изучение нового материала.

1)Повторить единицы измерения величин: скорости, времени и расстояния, и их формулы.

2) Фронтальный опрос( простейшие задачи на применение формулы).

IV. Закрепление.

Решение задач учебника №39,40,49

V. Подведение итогов. Дом. Задание.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/134591-statja-ustnyj-schjot-na-urokah-matematiki-v-5