Программа курса «Учимся решать комбинаторные задачи»

Программа курса «Учимся решать комбинаторные задачи»

(для 2-4 класса)

Садыкова Г.Ф., учитель начальных классов

Пояснительная записка

Вопрос включения комбинаторных, вероятностных и статистических задач в школьном курсе математики рассматривался неоднократно. И уже в новом проекте концепции образовательной области «Математика» Минобразования РФ (рук. раб. группы Г. Н. Яковлев) в разделе «Общая характеристика содержания математического образования» читаем: «Элементы статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. При изучении этого материала обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли стати­стики как источника социально значимой и научной информации, закладываются основы вероятностного мышления...». В учебном пособие Л. П. Стойловой «Математика» для студентов педагогических вузов и колледжей включен раздел «Комбинаторные задачи и их решение». Из всего этого видно, что потребность в умении решать комбинаторные и вероят­ностные задачи возрастает.

В учебник Г. В. Дорофеева «Математика 5» автор вклю­чил комбинаторные задачи. Но до сих пор нет целостной ли­нии в обучении школьников комбинаторному стилю рассуж­дений, так как незаслуженно забыта начальная школа.

Исследования в этой области, проводимые Е. Е. Белоку­ровой, убедительно доказывают возможность обучения младших школьников умению решать комбинаторные задачи. Но автор делает акцент на внеурочную работу с детьми. Не­которые исследователи (О. С. Медведева, В. Ф. Волгина, 3. П. Самигуллина, А. Я. Дограшвили и др.) в своих работах ори­ентировались на учеников средней школы, но почти во всех работах содержатся указания на необходимость решения комбинаторных задач в начальной школе непосредственнымперебором.

Исходя из этого, закономерным является тот факт, что авторы существующих на сегодняшний день программ по ма­тематике для начальной школы в той или иной степени вклю­чили в содержание учебников задания комбинаторного ха­рактера. Проанализировав учебники «Математика 1» для че­тырехлетней начальной школы с точки зрения включения в них комбинаторных заданий, мы пришли к выводу, что во всех учебниках присутствует задание комбинаторного харак­тера, но нет определенной системы в их расположении, т.е. присутствие таких заданий в учебниках хаотично (при анали­зе однотипные задачи рассматриваются как одно задание).

Анализ учебников математики для 2, 3, 4 классов пока­зал, что наличие заданий комбинаторного характера в них заметно снижается, что, на наш взгляд, понижает развиваю­щие функции учебников. Исключением является учебник Н. Б. Истоминой, где содержательный курс математики позволяет решать комбинаторные задачи, не нарушая его целостность и не перегружая учеников. Комбинаторные задачи несут в себеогромные развивающие возможности. Они являются естест­венной основой для совершенствования операций сравнения, наблюдения, анализа, синтеза, классификации, обобщения, развития абстрактно-логического во взаимосвязи с конкретно-образным мышления, развития вариативности и критичности мышления.

Для этого рассмотрим традиционную задачу комбинато­рики: «Сколько существуют различных способов перестанов­ки из трех элементов по три?». Эта задача посильна для уче­ника 1 класса, так как, решая ее, ребенок осуществляет раз»личные манипуляции с разнородными предметами: игрушке-ми, разноцветными кружками, игральными костями, моделя­ми геометрических фигур и т.д.

Рассмотрим действия ребенка при решении этой задачи. Возьмем три одинаковые фигурки разного цвета: красного, синего, зеленого. Вот какие всевозможные комбинации можно составить:

к,с,з; к, з, с; з, к, с; з, с, к; с, к, з; с, з, к.

Решение таких задач возможно уже на подготовительномэтапе в первом классе, когда дети знакомятся с признаками предметов. Выкладывая данные конфигурации, ребенок срав­нивает одну комбинацию с другой: нет ли повторов.

Сравнение непосредственно связано с наблюдением, ко­торое позволяет преднамеренно и целенаправленно воспри­нимать различные явления с целью изучения их специфиче­ских изменений в определенных условиях. Без такого предна­меренного восприятия каждой последовательности располо­жения предметов ребенок сможет выполнить одно из главных условий комбинаторных задач — указать все возможные ва­рианты комбинаций. В ходе анализа учащиеся изучают все части комбинаций, они перечисляют в определенной последо­вательности выделяемые части, затем производят системный анализ изучаемых конфигураций и располагают их в опреде­ленной системе, устанавливают взаимосвязи. Развитие анали­за протекает одновременно с развитием синтеза. Увидев опре­деленные закономерности для одной цепочки при анализе, дети, мысленно объединяют эти свойства в целое и устанавли­вают общую закономерность, что две цепочки начинаются с красных кружков, две — с синих, а две — с зеленых. В ходе выполнения всех этих операций под руководством учителя ребенок может увидеть закономерности в расположении предметов из 3-х элементов по 3, что затем быстрее поможет ему осуществлять все возможные комбинации, не пропуская ни одной.

Систематическое решение таких задач с различнымипредметами помогает первокласснику увидеть определенную закономерность и сделать обобщение. Теперь уже ребенок не наугад располагает предметы, а по определенному правилу, причем понимает, что его можно использовать независимо от формы, цвета или размера предмета. Таким образом, ученик от хаотичного перебора приходит к системному перебору.

Переделав множество различных манипуляций с предме­тами, подметив закономерности в их расположении, ребенок может абстрагироваться от конкретных предметов и заметить их другими знакомыми ему символами. При этом будет раз­вивать абстрактно-логическое мышление, которое отражает общую сущность предметов и выражается в словах и в других знаках. И хотя и абстрагируются от отдельных предметов,заменяя их символами, однако эти символы и знаки являются в свою очередь наглядностью для детей и помогают им в решении задач.

Таким образом, мышление абстрактно-логическое и наглядно-образное, тесно связаны. Они переходят друг в друга, Мысль обобщает образ, а образ обобщает мысль.

Комбинаторные задачи способствуют развитию вариа­тивности и критичности мышления.

Задачи такого плана предполагают несколько вариантов решения. Сама сущность комбинаторных задач — составле­ние всех возможных комбинаций; при этом ребенок ищет все возможные способы составления подмножеств и разбиения множеств. Ребенок выбирает то или иное решение, учитывая условия задачи, осуществляет тот или иной отбор. Объясняя, почему именно по этому пути он пошел, он учится не только обосновывать свой ответ, но и приучается искать наиболее полезные, рациональные пути решения. Здесь уже происходит не что иное, как развитие критичности мышления.

Все это показывает огромные развивающие возможности комбинаторных задач, поэтому включение их в содержательный курс математики только усилит его развивающие функ­ции.

Содержание курса

Тематическое строение развивающего курса математики создает условия для включения комбинаторных задач в процесс усвоения содержания основных вопросов программы. Тем самым обеспечивается вариативность учебных заданий, нацеленных на усвоение знаний, умений, навыков и на формирование приемов умственной деятельности.

При этом курс не перегружается информацией, так как для решения комбинаторных задач не требуется введение новых понятий и терминов.

Покажем возможность взаимосвязи комбинаторных задач с содержанием начального курса математики, выделив основные вопросы для каждого класса.

1 класс

Признаки предметов

Сложение. Состав числа.

Двухзначные числа.

2 класс

Понятие текстовой задачи. Структура задачи.

Умножение.

Трехзначные числа.

3 класс

Текстовые задачи на четыре арифметических действия.

Порядок выполнения действий.

Четырехзначные, пятизначные и шестизначные числа.

4 класс

Текстовые задачи.

Многозначные числа.

Данный курс начинается с уточнения представлений детей о

признаках (свойствах) предметов. Это позволяет использовать опыт младших школьников и имеющиеся у них математические представления для организации целенаправленного наблюдения, которое включает в себя такие мыслительные операции, как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.

При организации деятельности учащихся в соответствии с концепцией курса нельзя не учитывать, и жизненный опыт, и запас математических представлений, и развитие речи, и готовность к школе каждого ребенка различны. Но, несмотря на эти различия необходимо создать на уроке комфортные условия для активного включения в работу всех детей, помочь им адаптироваться к школьной обстановке, научиться общаться друг с другом и с учителем.

В результате изучения курса «Учимся решать комбинаторные задачи» ученик должен

знать/понимать:

- что такое комбинаторная задача и уметь вычленить её из множества текстовых (арифметических) задач;

- способы решения комбинаторных задач.

уметь:

-решать комбинаторные задачи различными способами (перебором, с помощью таблиц, дерева возможных вариантов, графов);

- использовать полученные знания при решении различных задач, если это возможно.

Тематический план

Учимся решать комбинаторные задачи

2 класс (1-4)

1 час в неделю (34 часа)

Тематический план

Учимся решать комбинаторные задачи

3 класс (1-4)

1 час в неделю (34 часа)

Тематический план

Учимся решать комбинаторные задачи

4 класс(1-4)

1 час в неделю (34 часа)

Программа самостоятельной работы учащихся

Самостоятельная творческая работа заключена в следующем:

- придумать комбинаторные задачи по определённому правилу (образцу учителя);

- каждая комбинаторная задача должна быть представлена условием и обязательным её решением.

Диагностические материалы итогового контроля качества усвоения

Рекомендуемая литература:

Основная:

1. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 1-2 классов четырёхлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация 21 век, 2007. – 48с.

2. Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 3 класса четырёхлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация 21 век, 2007. – 48с.

3.Истомина Н.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 4 класса четырёхлетней начальной школы. – Смоленск: Ассоциация 21 век, 2007. – 48с.

4. Истомина Н.Б., Редько З.Б. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 5 класса . Смоленск: Ассоциация 21 век, 2007. – 48с.

Дополнительная:

1. «О введении третьего дополнительного часа ФК в образовательные учреждения РФ». Письмо Минобразования РФ №13-51-99/14 от 12.08. 2002г.

2. Виноградова Е.П. Комбинаторные задачи и способы их решения. Оренбург, 2008 – 115с.

3. Виноградова Е.П. Математика. Орск - ОГТИ, 2005– 115с.

Приложение 1

Диагностические работы

Контрольная работа (2 класс)

Задание 1.

У Маши 5 цветных кубиков: красный, синий, зелёный, чёрный, жёлтый.

а) Раскрасьте эти кубики.

С колько вариантов выбора двух кубиков может быть у Маши?

б) Заполните таблицу и закрасьте жёлтым цветом клетки с возможными вариантами выбора.

Задание 2.

У Миши геометрические фигуры: 4 треугольника разного цвета и 3 круга разного размера.

а) Раскрасьте эти треугольники.

б )Обозначьте каждый круг любой цифрой.

в) Сколько различных наборов из треугольников и кругов сможет составить

М иша?

г) Проверьте свои ответы, составив таблицу.

Контрольная работа (3 класс)

Задание 1.

Прочитайте задачу.

В школьной олимпиаде по математике приняли участие Лариса (Л), Наталья (Н), Павел (П), Влад (В), Сергей (С) и Марина (М). Двое из ребят заняли первое место. Кто из детей мог занять первые места?

Запишите возможные варианты участников олимпиады, пользуясь способом перебора.

Сколько вариантов у вас получилось?

3.Заполните таблицу и закрасьте клетки, в которых записаны ответы на вопрос задачи.

С колько вариантов у тебя получилось?

Задание 2.

Прочитайте задачу.

Сколько различных трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 3, 8, 9, если цифры в этих числах могут повторяться?

Для ответа на вопрос задачи покажите на схеме возможные варианты записи трёхзначных чисел, если:

а ) в разряде сотен записана цифра 3

сотни

д есятки

единицы

б) в разряде сотен записана цифра 8

с отни

д есятки

единицы

в) в разряде сотен записана цифра 9

с отни

д есятки

единицы

Запиши ответ на вопрос задачи.____

Используя схемы, выпиши числа, в которых цифры 3,8,9 не повторяются.______________________________________________________________________________________________________________________________

Контрольная работа 4 класс

Задание 1.

Прочитайте задачу.

Пятеро подруг после каникул позвонили друг другу. Сколько всего звонков было сделано?

Закончи построение каждого графа так, чтобы он соответствовал данной задаче.

3. а) Используя полученные графы, заполните таблицу, в каждой клетке запиши количество звонков каждой подруги, которое показано на соответствующем графе.

б) Запишите, сколько звонков, сделанных подругами, показано на графе А____,

на графе Б____, на графе В____, на графе Г____.

3.Запишите ответ на вопрос задачи. Всего сделано____ звонков.

Задание 2.

Прочитайте условие задачи.

Надя (Н), Вера (В) и Рита (Р) отправили друг другу СМС.

А) Постройте различные графы, если каждая девочка отправила по1 СМС.

а) Н . .В б) Н . .В

.Р .Р

в) Н . .В г) Н . .В

.Р .Р

д) Н . .В е) Н . .В

.Р .Р

Сколько СМС у вас получилось?

Б) Постройте различные графы, если одна из девочек отправила 2 СМС, а остальные по 1СМС.

а) Н. .В б) Н. .В

.Р .Р

в) Н. .В г) Н . .В

.Р .Р

д) Н . .В е) Н . .В

.Р .Р

Сколько СМС у вас получилось?

В) Постройте различные графы, если каждая девочка отправила по 2 СМС.

а) Н . .В б) Н . .В

.Р .Р

в) Н . .В г) Н . .В

.Р .Р

д) Н . .В е) Н . .В

.Р .Р

Сколько СМС у вас получилось?

Приложение 2

Образцы задач для творческой самостоятельной работы.

2 класс

1 полугодие

Представьте, что у вас 3 разноцветные звёздочки.

а) Раскрасьте эти звёздочки.

б) Соедини эти звёздочки в одну гирлянду. Покажите на рисунке, сколько различных вариантов у вас может получиться?

2 полугодие

Представьте, что вам предложили выбрать из 4 цилиндров только два.

а) Какие это могли быть цилиндры?

б) Обозначьте каждый цилиндр цифрой и запишите возможные варианты.

Сколько вариантов у вас получилось?

3 класс

1 полугодие

Прочитайте задачу.

Для участие в конкурсе чтецов нужно 2 ученика (мальчик и девочка). На роль чтецов претендуют Миша (М), Коля (К), Серёжа (С), Надя (Н), Рита (Р), Лена (Л) и Вера (В). Какие варианты пар чтецов возможны?

Пользуясь условными обозначениями обозначениями, выпиши возможные варианты составления пар чтецов на конкурс.

Сколько вариантов у тебя получилось?

3. Заполни таблицу и закрась клетки, в которых записаны ответы на вопрос задачи.

Сколько вариантов у тебя получилось?

2 полугодие

1.Прочитайте задачу.

Сколько различных трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 4, 0, 2, 5, если цифры в этих числах могут повторяться?

2. Для ответа на вопрос задачи заполните часть схемы дерева возможных вариантов

сот.

дес.

ед.

Сколько чисел у вас получилось?

3. Догадайся, сколько можно записать трёхзначных чисел цифрами 4, 0, 2, 5, в которых:

а) 4 сотни,

б) 5 сотен, если эти цифры могут в числе повторяться?

4. Запиши ответ на вопрос задачи.

_______________________________________________________________

5. Запиши все трёхзначные числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 0.

4 класс

1 полугодие

1.Прочитай задачу.

Четыре девочки (1, 2, 3, 4) ведут переписку. Сколько писем напишут все девочки, если отправят друг другу по одному письму?

2. а) Отметь значком Vграф, соответствующий данной задаче.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/138338-programma-kursa-uchimsja-reshat-kombinatornye