Производная. Взаимосвязь свойств функций и графиков производных

Производная.

Взаимосвязь свойств функций и графиков производных.

Цель:

Образовательная – обобщение и систематизация знаний по теме «Производная», показать учащимся различные взаимосвязи между графиками функций и свойствами производных, графиками производных функций и свойствами функции; научить ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с этой взаимосвязью.

Развивающая – способствовать развитию познавательного интереса учащихся, умения выделять главное, сравнивать, анализировать.

Воспитательная– содействовать воспитанию чувства ответственности за результат и качество выполняемой работы, умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.

Оборудование и материалы для урока:

компьютер, экран (интерактивная доска), листы с заданиями для учащихся, оценочные листы.

Ход урока.

Организационный момент: - 1 мин

Мы изучали тему «Исследование функций с помощью производной»: находили критические точки, производную, определяли свойства и строили график функции. Сегодня мы с вами проведем обобщение темы «Производная», которая двумя заданиями В8 и В11 представлена в КИМах единого экзамена, вопросы представленные в этих задания очень разнообразны:

исследование функции с помощью производной как через график производной функции определить свойства самой функции.

Наша задача - научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

Повторение, актуализация знаний и устный счет. - 10 мин.

Откройте тетради. Запишите число и тему «Производная. Взаимосвязь свойств функций и графиков производных».

1.Вычислите производные данных функций:

у = х³- 27 х;

у = 2cosx + 4x + 4;

y =17x²-e^7х;

у = 7х³ - 51nх;

у = 2cosx - sin3x + 4,

y = 5tgx-4x + 9.

А теперь давайте рассмотрим график некоторой функции у = f(х), будем считать, что она определена на всей числовой прямой.

? Вспомним, какие свойства функции связаны с её производной?

(возрастание, убывание, экстремумы функции).

? Напомните мне необходимое условие существования точек экстремума

если точка х₀ является точкой экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

? А как мы определяем характер точек экстремума, точек максимума и минимума

если в точке х₀ функция непрерывна и при переходе через х₀ производная меняет знак с + на – (- на +), то х₀ – точка максимума(минимума) функции.

?А как через производную мы определяем, что функция

1.возрастает на промежутках;

если f ^‘(x)>0 в каждой точке интервала, то функция возрастает на этом интервале.

2.точки экстремума функции;

3.убывает на промежутках.

если f ^‘(x)<0 в каждой точке интервала, то функция убывает на этом интервале.

(Выводы записать в тетрадь

f ^‘(x)>0, то f(x)

если f ^‘(x)=0, то это точки экстремума

е сли f ^‘(x)<0 то f(x) )

Итак, давайте ещё раз кратко повторим эти свойства: Быстро и четко отвечаем на вопрос

--если производная больше0,то…..

функция возрастает

--если производная меньше 0,то…..

функция убывает

--если производная равна нулю или не существует в некоторых точках …

то в этих точках возможны точки экстремума

--если производная меняет знак при переходе через точку с + на -, то…

то это точка максимума

-- если производная меняет знак при переходе через точку с - на +, …

то это точка минимума.

Можно поставить и обратную связь. Закончите мою мысль:

--Если функция возрастает на промежутке, то производная…..

больше 0

--Если функция убывает на промежутке, то производная ……..

меньше 0

--Если функция имеет точку максимума , то ……

в этой точке производная равна нулю или не существует и производная меняет знак с + на -.

--Если функция имеет точку минимума, то.

в этой точке производная равна нулю или не существует и производная меняет знак с – на +.

--А если график функции имеет точку перегиба ,то

в этой точке производная равна нулю или не существует, но производная не поменяла свой знак.

Мы установили цепочку связей:

имея график функции мы можем определить свойства производной функции; имея график производной функции можем определить свойства самой функции.

Начертите схему зависимости функции и производной в тетрадь. (рядом с предыдущим выводом)

F^/(х) + перегиба + мах - мин +

F(х)

Математический диктант - 15 мин.

Возьмите оценочный лист. Отвечаем на вопросы. Без исправлений. Один вопрос - 1 мин.

Задания на интерактивной доске.

1.Функция задана графиком .Укажите область определения этой функции.

2.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции.

3.На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀.

Найдите значение производной в точке х₀.

4.На рисунке изображен график функции у =f(x).Укажите в какой точке значение производной отрицательно.

5.На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-5;5]. Укажите точку, в которой производная равна 0.

6.Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.

7.На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной в точке х₀.

8.Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция у =f(x) принимает наибольшее значение.

9.На рисунке изображен график производной функции у =f ^/(x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания.

10.На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-4;5]. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции.

Проверка - вернуться в начало диктанта и проверить ответами ученика который остался без пары.

А теперь поменяйтесь с соседом по парте листочками.

Дать критерии оценок.

1 задание -1 бал.

«5»-9-10б;

«4»-7-8б;

«3»-5-6б;

«2»-4б.

IV. Закрепление. - 17 мин.

Мы с вами еще раз повторили взаимосвязиf(x) f^/(x)

f^/(x) f(x)

График f(x) графикf^/(x)

А теперь подведем итог. Работа идет одновременно – весь класс выполняет работу с тестом, а сильный ребенок у доски строит график функции у = 2+5х³ – 3х⁵;

1.Тест - карточка ( разнообразные задания на все прототипы заданий базы данных). Приложение

2. Построение графика функции

1. у = 2+5х³ – 3х⁵;

2.На интерактивной доске с помощью программы «Графики» построить график функции и график производной.

3.Показать взаимосвязь графиков функций. Исследовать функции.

VI Итог урока - 1 мин.

Сегодня на уроке мы установили различные взаимосвязи и рассмотрели разнообразные задания, связанные с графиками функций и графиками производных и их свойствами. Эти задания хороши тем, что на их выполнение можно потратить очень мало времени, т.к. они не требуют решений и вычислений: посмотрел на график – оценил – записал ответ. А на Едином Государственном Экзамене это очень важно быстро и правильно отвечать на вопросы.

VI. Домашняя работа- 1 мин..

Дома проверьте, как вы разобрались в взаимосвязях графиков функций и производных. Вам необходимо построить графики производных по графикам функций (задания на карточках) и ответить на вопросы теста II варианта. Приложение.

Литература:

1.Колмогоров А.Н. учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» - М.: Просвещение, 2009.

2. .Мордкович А.Г.задачник «Алгебра и начала анализа 10 -11 класс » - М:Мнемозина,2009.

Самоанализ урока.

Урок является одним из уроков обобщения и систематизации знаний по теме«Производная. Взаимосвязь свойств функции и графиков производных».

Мною были поставлены цели:

показать учащимся различные взаимосвязи между графиками функций и свойствами производных, графиками производных функций и свойствами функции; научить ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с этой взаимосвязью;
способствовать развитию познавательного интереса учащихся, умения выделять главное, сравнивать, анализировать;
содействовать воспитанию чувства ответственности за результат и качество выполняемой работы, умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.

При планировании урока учитывала, что класс в целом имеет средние познавательные способности и что на ЕГЭ очень важно уметь быстро сосредоточиться, суметь выделить главное и быстро ориентироваться в разнообразии заданий, были выбраны задания посильные как для слабого ученика так и для хорошо успевающего.

Дифференцировался объем и содержание заданий и степень помощи, оказанной учителем.

Повторении свойств функций с использованием презентаций с элементами анимации, выделением различным цветом графиков функций даёт возможность очень наглядно показать учащимся сущность каждого свойства функции; яркое выделение объектов графиков даёт возможность более доступного перехода от свойств производной к свойствам функции, способствует большему объёму выполненных заданий, познавательной активности учащихся, делает предмет более доступным, поэтому дети не были перегружены.

Считаю, что удалось реализовать все цели урока

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/147110-proizvodnaja-vzaimosvjaz-svojstv-funkcij-i-gr