Решение задач на концентрации

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 692

Калининскиго района г. Санкт-Петербурга

Решение задач на концентрации.

Учитель математики

Бефус Нина Васильевна

Санкт – Петербург

2015 год.

Решение задач на концентрации.

В школьном курсе математики мало внимания уделяется задачам на смеси, сплавы, концентрации растворов. Эти задачи включены в варианты ЕГЭ по предмету и вызывают большие затруднения у выпускников.

Одним из методов решения таких задач является старинный метод Магницкого Л.Ф, изложенный в его книге «Арифметика, сиречь наука числительная…», вышедшей в 1703 году.

Один из экземпляров «Арифметики» в 1725 году попал к юному М.В. Ломоносову, который хранил эту книгу до конца своих дней. Позже М.В. Ломоносов назвал «Арифметику» Магницкого «ВРАТАМИ УЧЕНОСТИ».

Приведем старинный способ решения задач на смешивание веществ из арифметики Магницкого.

Задача 1. Как смешать масла?

У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине – стоимость масла, которое должно получиться после смешивания. Соединив написанные чиста черточками получим такую картину:

6

7

10

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая картина:

63

7

10

Из нее делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого 3/4 ведра.

Предложенный способ позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий. В условиях, когда приходится решать много подобных задач (а купцы в старые времена часто занимались их решением), этот способ экономит время.

Вот одна из современных задач на смешивание.

Задача 2. Имеется два раствора 68% и 78% серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора серной кислоты, чтобы получить 100 граммов 70% раствора серной кислоты?

Решение. По изложенному выше способу имеем:

68 8

70

78

Таким образом, надо взять 80 граммов 68% и 20 граммов 78% растворов серной кислоты.

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ всегда позволяет получить правильный ответ.

В самом деле, предположим, что смешиваются два вещества – первое стоимостью aгривен за фунт и второе b гривен за фунт. Желательно же получить вещество стоимостью с гривен за фунт. Будем считать, что аменьшеb. Ясно, что если сбольшеb или сменьшеа, то задача не разрешима (смешивая дешевые вещества дорогое не получишь). Поэтому можно считать, что сбольшеa, но меньше b. Смешаем 1 фунт первого вещества и g фунтов второго. В результате получится1+g фунтов вещества стоимостью a+bgгривен. Один фунт смеси должен стоить с гривен. Значит, должно выполняться равенство a+bg=c(1+g). Отсюда находим g=(c-a):(b-c).

Вещества нужно мешать в отношении или (b-c):(c-a). Но именно это отношение и дает старинный способ:

ab-c

c

bc-a

Рассмотрим решение задач из сборника М.Л. Галицкого по алгебре для 8-9 классов с углубленным изучением математики.

Задача 3.(10.26) Смешали 10% и 25% растворы соли и получили 3 кг 20% раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Решение:

10% 5 частей

20% (3 кг)

25% частей

– 10%-ого раствора.

– 25%-ого раствора.

Ответ: 1 кг; 2 кг.

Задача 4. (10.27) Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Используем для решения этой задачи старинный метод из арифметики Магницкого.

В первом сплаве золота 2 части из 5-ти, = 0,4 = 40%.

Во втором сплаве золота 3 части из 10-ти, = 0,3 = 30%.

В третьем сплаве золота 5 частей из 16-ти, = 0,3125 = 31,25%.

30% 8,75 = 0,875

31,25%

40% = 0,125

8∙0,875 = 7кг – сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 3:7

8∙0,125 = 1кг – сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 2:3

Ответ: 1 кг; 7 кг.

Задача 5 (из текста ЕГЭ). Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Решение: (пресная вода)

0% 3,5 = 0,7

1,5%

5% (30кг) = 0,3

0,3 – 30 кг

0,7 – х кг

= 70 кг – пресной воды.

Ответ: 70 кг.

Изложенный в статье метод Магницкого позволяет сократить время для решения задач данного типа, решать трудные задачи всем учащимся, которые знают действие с обыкновенными дробями.

Задачи на концентрации из текстов ЕГЭ.

Имеется лом стали двух сортовс содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля 30%?

Сколько чистого спирта нужно добавить к 735г 16%-ого раствора йода в спирте, чтобы получился 10%-ный раствор?

Имеется два сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы после их сплавления вместе получилось 10кг нового сплава, содержащего 27% олова?

Имеется два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления получить сплав, содержащий 42% золота?

Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?

Кусок железа с медью массой 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 30% железа?

Имеется два сплава золото и серебро. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 1:2, в другом 2:3. Сколько граммов нужно взять каждого сплава, чтобы получить 19г сплава, в котором золото и серебро в отношении 7:12.

Некоторый сплав состоят из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

Сколько граммов нужно взять 20%-ого и 32,1%-ого растворов соляной кислоты, чтобы приготовить 242г 26,7%-ого раствора?

Ответы: 1. 40; 100.2. 411.3.3; 7.

4.15.5.50; 30.6.15.

7. 9; 10.8. .9.108г; 134г.

Список литературы.

С.Н. Олехнин, «Старинные занимательные задачи» г. Москва «НАУКА» (главная редакция физико-математической литературы) 1988 год.

М.Г. Галицкий, «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов» (для школ и классов с углубленный изучением математики) М. «Просвещение» 1992 год.

Я.Л. Гольдфарб, «Сборник задач и упражнений по химии».

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/157723-reshenie-zadach-na-koncentracii