Практическая работа по теме: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Практическая работа по теме: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Цель работы: освоить умение решать задачи на вычисление площади криволинейной плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

Оборудование:инструкционная карта, таблица интегралов, лекционный материал по теме: «Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла».

Методические указания:

1) Изучите материалы лекции: «Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла».

Краткие теоретические сведения

Определенный интеграл функции на отрезке - это предел, к

которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка.

, где

- нижний предел интегрирования, - верхний предел интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла служит формула Ньютона-

Лейбница:

Геометрический смысл определенного интеграла.Если интегрируемая на

отрезке функция неотрицательна, то численно равен площади криволинейной трапеции:

Криволинейная трапеция - фигура, ограниченная графиком функции

, осью абсцисс и прямыми , .

Возможны различные случаи расположения плоских фигур в координатной плоскости:

Если криволинейная трапеция с основанием ограничена снизу кривой ,то из соображений симметрии видно, что площадь фигуры равна или .

Если фигура ограничена кривой, которая принимает и положительные, и отрицательные значения. В этом случае, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на части, тогда

.

Если плоская фигура ограничена двумя кривыми и ,то ее площадь можно найти с помощью площадей двух криволинейных трапеций: и .В данном случае площадь искомой фигуры можно вычислить по формуле:

.

Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

; .

Решение.1) Построим параболу и прямую в координатной плоскости (рисунок к задаче).

2) Выделим (заштрихуем) фигуру, ограниченную данными линиями.

Рисунок к задаче

3) Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для этого решим

систему способом сравнения:

; .

Площадь фигуры найдем как разность площадей криволинейных трапеций,

ограниченных параболой и прямой.

₅₎ Ответ.

Алгоритм решения задачи на вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями:

Построить в одной координатной плоскости заданные линии.

Заштриховать фигуру, ограниченную данными линиями.

Определить пределы интегрирования (найти абсциссы точек пересечения кривых).

Вычислить площадь фигуры, выбрав необходимую формулу.

Записать ответ.

2) Выполните следующее задание по одному из вариантов:

Задание. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями (пользуйтесь алгоритмом решения задачи на вычисление площади фигуры):

Вариант 1.

1) , .

2) ,, , .

3), .

Вариант 2.

1) , , , .

2) , .

3), .

3) Ответьте устно на вопросы:

Какие случаи расположения плоских фигур рассмотрели в задании 2?

Как вычисляли площади фигуры в каждом случае?

Литература:

В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. Математика в задачах с решениями.

Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/160837-prakticheskaja-rabota-po-teme-vychislenie-plo