Урок по проблемно-исследовательской технологии по теме «Вывод формулы корней квадратного уравнения»

комментарии

Ход урока

Целевые установки, выявление проблем, связанных с предложенной темой.

Работа в парах. Среди сформулированных проблем могут быть и такие, которые ребята уже могут разрешить.

После того, как написана на доске тема, можно попросить пары сформулировать и записать в тетрадях все проблемы, которые возникают у них по этой теме.

Например:

- сколько корней имеет уравнение ах²=0 и чему они равны?

-как решить уравнение вида

ах²+вх=0?

-всегда ли имеет решение уравнение ах²+с=0?

-существует ли формула, по которой можно найти корни уравнения ах²+вх+с=0?

-всегда ли квадратное уравнение имеет корни?

-каково наибольшее число корней квадратного уравнения?

-при каких условиях квадратное уравнение имеет единственный корень?

Слушаем четвёрки. На некоторые вопросы учащиеся могут дать обоснованный ответ, пользуясь уже имеющимися знаниями.

Затем пары могут обсудить, сопоставить то, что они зафиксировали в тетрадях, с рассуждениями другой пары. Представитель четвёрки сообщает классу проблемы, которые надо решить при изучении этой темы.

Учитель может всё, что говорят ребята, кратко записывать на доске. Проблемы располагаются в удобном для изучения порядке , и начинается поиск их решения.

Каждой четвёрке даётся право высказаться по тем проблемам, решение которых она нашла.

Поиск решения

Учащиеся предлагают решение уравнения ах²=0, х²=0, х=0 и приводят примеры для различных а.

Решение (выводы учащихся).

Для решения уравнения ах²+вх=0 предлагают разложить левую часть на множители:x(ax+b)=0 и каждый множитель приравнять нулю. Делают вывод, что данное уравнение всегда имеет два корня:x=0 и x=-b/a. Далее приводят примеры решения таких уравнение при различных a и b.

Для решения уравнений ax²+c=0 в некоторых группах ребята могут прийти к выводу, что если левую часть уравнения можно разложить на множители, т.е. если ax²+c представляет собой разность квадратов, то получается два корня. Например, уравнения

9x²-25=0,x²-0,49=0 имеют по два корня.

В других четверках ребята замечают, что если с перенести в правую часть уравнения и все разделить на а, то получится уравнение: x²=-c/a . Дальнейшее решение зависит от знака правой части. Если –с/а>0, то можно получить два корня. Например, уравнениеx²=36 имеет два корня,а уравнение x²=-1 не имеет действительных корней.

Учитель формулирует определение нового понятия.

Далее учитель дает определение неполных квадратных уравнений и все записывают их решение в общем виде. Примеры уравнений и их решения учащихся могут привести самостоятельно. Особое внимание уделяется решению полных квадратных уравнений.

Актуализация знаний и опыта.

Сначала можно с ребятами вспомнить решение частных случаев квадратных уравнений методов разложения на множители, графически и методом выделения полного квадрата. Например:

x²-8x+15=0

x²-3x-5x=0

x(x-3)-5(x-3)=0

(x-3)(x-5)=0

x=3 илиx=5

x²-8x+15=0

x²-2*4x+16-1=0

(x-4)²=1

x-4=1или x-4=-1

x=3или x=5

Проблемная ситуация.

Разумно поставить вопрос: можно ли этими способами решить любое квадратное уравнение? Для ответа на этот вопрос надо выявить недостатки указанных методов.

Столкновение учащихся с затруднением.

Метод разложения на множители применим не всегда (например уравнение x²+x-3=0 методом разложения на множители не решить), а графический метод в большинстве случаев может дать представление лишь о приближенных значениях корней (для того же уравнения x²+x-3=0). Таким образом, учащиеся стоят перед необходимостью найти алгоритм решения квадратных уравнений, не зависящий от эвристик метода разложения на множители и от ненадежности, приблизительности графического метода.

Выдвижение гипотезы.

С другой стороны, все понимают, что выделить полный квадрат можно в любом трехчлене, хотя зачастую это сделать нелегко.

Учитель помогает реализовать выдвинутое предложение.

Поскольку вывод формулы корней достаточно сложный для самих ребят, то на помощь приходит учитель и записывает этот вывод на доске, вводит понятие дискриминанта, обсуждает в диалоге с классом зависимость количества корней от знака дискриминанта. После того, как формулы корней выделены, рассматривается их применение в решении различных квадратных уравнений. Например: 2x²+3x+1=0, 25x²-10+1=0,

x²-2x+5=0

Применение выводов на практике. Учитель может проверить усвоение новых формул каждым учеником.

В конце урока учащимся предлагается выполнить работу на закрепление полученных формул.

Вариант 1. Вариант 2

Дано уравнение

2x²-9x+10=0; 5х²-8х+3=0.

1.Укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член уравнения.

2. Определите количество корней уравнения.

3. Найдите корни.

Учитель подводит итог урока.

Итог урока. Формула, которую мы вывели на этом уроке, не случайно воспринята вами «как подарок судьбы». С помощью нее можно решить любое квадратное уравнение, о значимости которых вы сможете убедиться в дальнейшем курсе алгебры.

Учащиеся записывают домашнее задание.