План урока Вписанные и описанные в окружность четырехугольники

Геометрия-9

Тема: ( 1 ) Вписанные в окружность и описанные около окружности

четырехугольники.

Цель: Определить понятие вписанного и описанного окружностей. Дать свойства вписанных и описанных четырехугольников и сформировать навыки применения этих свойств в решении задач.

Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

III. Актуализация опорных знаний.

Что такое многоугольник?

Какие из многоугольников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми? Обозначьте вершины одного из выпуклых многоугольников буквами и назовите его углы.

Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?

Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

Чему равна сумма углов многоугольника?

Назовите выпуклый четырехугольник, у которого все внешние углы прямые.

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна сумме внешних?

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если его внешние углы тупые?

IV. Новая тема:

Тео­ре­ма

Если около про­из­воль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, то ее центр будет рас­по­ло­жен на пе­ре­се­че­нии всех се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров ко всем сто­ро­нам мно­го­уголь­ни­ка.

Чтобы опре­де­лить для тре­уголь­ни­ка ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, можно вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой:

Или след­стви­ем из тео­ре­мы си­ну­сов:

Свойства биссектрисы, вписанная окружность и треугольник

В любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность.

Вся тео­рия впи­сан­ных окруж­но­стей ба­зи­ру­ет­ся на свой­стве бис­сек­три­сы угла. Точки, при­над­ле­жа­щие бис­сек­три­се угла, об­ла­да­ют сле­ду­ю­щим свой­ством: любая точка бис­сек­три­сы и толь­ко точка бис­сек­три­сы рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла.

Для нас важен тот факт, что в один угол можно впи­сать окруж­ность, таких окруж­но­стей бес­чис­лен­ное мно­же­ство, и их цен­тры на­хо­дят­ся на бис­сек­три­се угла (см. Рис. 3).

Рис. 3 Рис. 4

Для тре­уголь­ни­ка мы до­ка­зы­ва­ли тео­ре­му о пе­ре­се­че­нии бис­сек­трис, в ко­то­рой го­во­рит­ся, что все три бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, такая точка един­ствен­ная, и она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти (см. Рис. 4).

Тео­ре­ма: Если в мно­го­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, то ее центр на­хо­дит­ся в точке пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис всех углов мно­го­уголь­ни­ка.

Для вы­чис­ле­ния ра­ди­у­са впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти можно вы­ра­зить его из фор­му­лы:

, где S – пло­щадь тре­уголь­ни­ка, р – его по­лу­пе­ри­метр.

Рас­смот­рим со­от­но­ше­ния окруж­но­стей и че­ты­рех­уголь­ни­ков.

Рас­смот­рим окруж­ность, опи­сан­ную около че­ты­рех­уголь­ни­ка.

За­да­на окруж­ность с цен­тром О и про­из­воль­ный че­ты­рех­уголь­ник ABCD (см. Рис. 5). Рас­смот­рим свой­ства этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Все че­ты­ре се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке: эта точка – центр опи­сан­ной окруж­но­сти.

До­ка­зать, что все че­ты­ре се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, было бы уто­ми­тель­но. Есть дру­гой при­знак. Рас­смот­рим угол ےА, это впи­сан­ный угол окруж­но­сти, он опи­ра­ет­ся на дугу  и из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дан­ной дуги. Обо­зна­чим угол ےА за , тогда дуга . Ана­ло­гич­но обо­зна­чим про­ти­во­по­лож­ный угол ےС за , он впи­сан в окруж­ность и опи­ра­ет­ся на дугу . От­сю­да дуга .

Рис. 5

Дуги  и  со­став­ля­ют пол­ную окруж­ность. От­сю­да:

, .

По­де­лим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние на два, по­лу­ча­ем:

.

Итак, мы до­ка­за­ли пря­мую тео­ре­му.

Тео­ре­ма: Если около че­ты­рех­уголь­ни­ка опи­са­на окруж­ность, сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов со­став­ля­ет 180⁰. (Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма.)

 Описанный четырехугольник

Тео­ре­ма: Если сумма про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка со­став­ля­ет  180⁰ , около этого че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

Пе­рей­дем к впи­сан­ной в че­ты­рех­уголь­ник окруж­но­сти (см. Рис. 6).

Рас­смот­рим окруж­ность, впи­сан­ную в некий че­ты­рех­уголь­ник, и свой­ства этого че­ты­рех­уголь­ни­ка.

На­пом­ним, что от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, равны.

Про­ве­дем бис­сек­три­сы углов за­дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка. Все они пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке – точке О, цен­тре впи­сан­ной окруж­но­сти.

Из точки О опус­ка­ем пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам че­ты­рех­уголь­ни­ка в точки K, L, M, N и опре­де­ля­ем точки ка­са­ния.

Из каж­дой вер­ши­ны вы­хо­дит пара рав­ных ка­са­тель­ных:

Рис. 6

,  ,  ,  .

Если в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, то суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Это легко до­ка­зать:

;  ;  ;  ;

;

Рас­кро­ем скоб­ки:

;

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли про­стую, но важ­ную тео­ре­му.

 Правильный n-угольник и окружность

Тео­ре­ма: Если в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, то суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. (Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма).

Тео­ре­ма: Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны, то в него можно впи­сать окруж­ность.

На ос­но­ва­нии при­ве­ден­ных тео­рем можно сде­лать сле­ду­ю­щие вы­во­ды:

- в про­из­воль­ный па­рал­ле­ло­грамм нель­зя ни впи­сать окруж­ность, ни опи­сать ее во­круг него;

- в че­ты­рех­уголь­ни­ки, яв­ля­ю­щи­е­ся част­ным слу­ча­ем па­рал­ле­ло­грам­ма, можно впи­сать или опи­сать окруж­ность. На­при­мер, около пря­мо­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, так как сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов со­став­ля­ет 180⁰ . В ромб можно впи­сать окруж­ность, так как суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны;

- ино­гда в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, а около рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции – опи­сать окруж­ность.

Рас­смот­рим пра­виль­ный n-уголь­ник, за­дан­ный дли­ной сто­ро­ны  а _п . Цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей в нем сов­па­да­ют, и по­лу­чен­ная точка на­зы­ва­ет­ся цен­тром n-уголь­ни­ка (см. Рис. 7).

За­да­ны длина сто­ро­ны n-уголь­ни­ка и ко­ли­че­ство сто­рон.

Найти ра­ди­у­сы впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей.

Рис. 7

Ра­ди­у­сом опи­сан­ной окруж­но­сти будет 

Ра­ди­у­сом впи­сан­ной окруж­но­сти будет рас­сто­я­ние 

Най­дем угол  : 

Угол   со­став­ля­ет по­ло­ви­ну угла  , т.к. тре­уголь­ник   рав­но­бед­рен­ный ( ), а ОК – его вы­со­та, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, а зна­чит, бис­сек­три­са и ме­ди­а­на:  .

Далее все сво­дит­ся к ре­ше­нию од­но­го из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, на­при­мер, тре­уголь­ни­ка  , в ко­то­ром нам из­вест­ны угол   и катет  .

По­лу­ча­ем:

Итак, мы рас­смот­ре­ли со­от­но­ше­ние окруж­но­стей и мно­го­уголь­ни­ков. Мы вспом­ни­ли, что тео­рия опи­сан­ной окруж­но­сти ба­зи­ру­ет­ся на свой­стве се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, тогда как тео­рия впи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­на на свой­стве бис­сек­три­сы. Кроме того, мы вспом­ни­ли при­зна­ки, по ко­то­рым можно су­дить, можно ли около че­ты­рех­уголь­ни­ка опи­сать окруж­ность или впи­сать ее. На­ко­нец, мы вы­ве­ли длину ра­ди­у­сов впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей для пра­виль­ных n-уголь­ни­ков в общем слу­чае.

V. Закрепление: №№ 410, 414

VI. Домашнее задание: №№ 411, 413

Геометрия-9

Тема: ( 2 ) Вписанные в окружность и описанные около окружности

четырехугольники.

Цель: Определить понятие вписанного и описанного окружностей. Дать свойства вписанных и описанных четырехугольников и сформировать навыки применения этих свойств в решении задач.

Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

III. Актуализация опорных знаний.

IV. Решение примеров: ТЗ -8 стр 65 ( дидакт мат)

V. Домашнее задание: №№ 419,421

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/180261-plan-uroka-vpisannye-i-opisannye-v-okruzhnost