Учебный проект «Тайны золотой пропорции»

Методическая разработка

учебного проекта по математике

«Тайны золотой пропорции»

Автор разработки:

учитель математики МАОУ СШ №2

г. Бор Нижегородской области

Добролюбова Н.П.

2013 г.

Образованный человек в современном обществе должен быть не только вооружен знаниями, но и быть способным самостоятельно их добывать и совершенствовать. Чтобы развить у школьников навыки работы с информацией, научить их самостоятельно мыслить и работать в команде, можно использовать различные педагогические технологии, в том числе проектное обучение. Этот вид учебной деятельности позволяет развивать следующие умения:

Распознавать проблему и ставить цель

Выдвигать идею, формулировать гипотезу

Делать обоснованный выбор способа или метода деятельности

Планировать свою деятельность

Осуществлять поиск, структурирование, представление информации

Работать в сотрудничестве

Выполнять презентацию результатов деятельности

Анализировать результаты деятельности

Учебный проект «Тайны золотой пропорции» ориентирован на учащихся 6 классов. Для работы по учебнику «Математика» Виленкина Н.Я.основным нормативным документом является «Программа. Планирование учебного материала. Математика. 5-6 классы» - М.: Мнемозина, 2010. На изучение темы «Отношения и пропорции» отводится 18 уроков. Сведения о золотом сечении не являются обязательными для изучения, но для учеников, интересующихся математикой, материал данного проекта позволяет систематизировать знания учащихся, предоставляет широкие возможности использования межпредметных связей (геометрия, мировая художественная культура, биология, социология, информатика), показывает связь математики с окружающим миром посредством самоанализа результатов практической деятельности.

В процессе урока по теме «Пропорции» создается проблемная ситуация: может ли красота и гармония окружающей действительности подчиняться законам математики?

В ходе обсуждения проблемы определяетсяцель проекта: исследовать тайны золотой пропорции.

Для достижения поставленной цели выделяется ряд задач, которые необходимо решить:

выяснить, что такое «Золотая пропорция»

познакомиться с «золотыми» фигурами и способами их построения

рассмотреть, где в окружающем мире можно встретить «Золотое сечение»

провести исследование по поиску идеальных пропорций в окружающем мире

Данный проект по ведущей деятельности является информационно-исследовательским, так как, в первую очередь, направлен на сбор информации о новом понятии с последующим анализом, обобщением и представлением результатов. Кроме этого предполагаются элементы исследований в виде выдвижения гипотезы, определения способов решения проблемы, выполнении практических заданий, обработки социологических опросов. Деятельность учащихся организована в групповой форме, учитывая особенности младшего подросткового возраста, что способствует развитию коммуникативных навыков школьников. При этом возможна индивидуальная форма работы. Учитель выступает в роли координатора проекта, организует отдельные его этапы и направляет деятельность каждого участника.

Этапы разработки проекта и его проведения:

Подготовительный этап:

Выявление проблемы

Выдвижение и обсуждение гипотез

Постановка целей и задач проекта

Разбиение на группы по 3-5 человек

Этап планирования деятельности:

Обсуждение способов и методов достижения целей

Выбор оптимального способа деятельности

Обсуждение возможных источников информации

Обсуждение формы представления результатов деятельности

Исследование:

Сбор и систематизация информации

Выполнение исследовательских задач проекта

Оформление результатов исследования

Защита проекта:

Отчет о результатах исследований

Формулировка выводов

Оппонирование со стороны всех участников проекта

Анализ полученных результатов, выявление новых проблем

Результатом работы каждой группы является 1-2 слайда компьютерной презентации, из которых формируется итоговый проектный продукт. Работа учащихся оценивается по следующимкритериям:

Глубина и степень проработанности вопроса 0-5 баллов

Соответствие содержания поставленному вопросу 0-5 баллов

Четкость структурирования информации 0-5 баллов

Доказательность принимаемых решений, умение аргументировать свои заключения, умение делать выводы 0-5 баллов

Привлечение знаний из других областей 0-5 баллов

Убедительность и яркость представления проекта 0-5 баллов

Эстетика оформления результатов проведенного проекта 0-5 баллов

Максимальная оценка – 35 баллов

Дидактическое обеспечение проекта.

I. Подготовительный этап.

На изучение темы «Пропорции» по программе отводится 3 урока. В процессе закрепления изученного материала учащимся предлагается задание, приводящее к проблеме. Для представления задания можно использовать возможности интерактивной доски (Приложение 1). Каждому ученику предлагается карточка с ключом (Приложение 2).

- Сегодня на уроке мы с вами поговорим об одном удивительном открытии математики, которое часто встречается в окружающем мире. Название этого чуда математики зашифровано с помощью нескольких заданий, ответы на которые помогут вам в разгадке алфавитного шифра (Слайд 1).

II вариант

Расшифруй, пользуясь ключом.

После выполнения работы на доске появляются слова: «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ».

- Итак, чудо математики называется «золотое сечение». У этого термина существуют и другие названия: «золотая пропорция», «гармоническая пропорция».

- Какую ассоциацию вызывают у вас слова «золотое», «гармоническое»? (красивое, совершенное)

- Где в окружающем мире вы можете наблюдать красоту, гармонию, совершенство? (Слайд 2)

- С древних времен человек, подмечая совершенство в природе, использовал это в своих творениях (Слайд 3)

- Что такое отношение? Что такое пропорция? В чем заключается основное свойство пропорции?

Практическое задание по карточкам (Слайд 4).

Измерьте длины отрезков АВ = ________, ВС = _______ и АС = ________

Найдите отношения ________ и _________ (до сотых)

Сравните полученные результаты

Сделайте вывод

- Золотое сечение – это такое деление целого на две неравные части, при котором большая так относится к целому, как меньшая часть к большей. Отношение золотого сечения обозначают 0,618.

- Так неужели красота и гармония окружающей действительности может подчиняться законам математики?

- Попробуем представить себя в роли исследователей, чтобы разобраться в тайнах золотой пропорции. Как вы думаете, какие предметные области нам необходимо для этого затронуть? (история, математика, биология, архитектура, живопись).

Для работы над проектом класс разбивается на группы с учетом индивидуальных возможностей и пожеланий. Каждой группе предлагается карточка, направляющая исследовательскую деятельность. В качестве домашнего задания учащимся предлагается подобрать источники информации, подготовить план исследования, продумать форму представления результата работы.

1 группа «Историки» (3-4 человека)

Первые упоминания о золотом сечении

Золотое сечение в эпоху Возрождения

2 группа «Математики» (3-4 человека)

Числовое значение золотой пропорции

Ряд Фибоначчи

3 группа «Исследователи «золотых» фигур» (4-5 человек)

«Золотой прямоугольник»

«Золотой треугольник»

Пентаграмма

«Золотые» фигуры вокруг нас

4 группа «Искусствоведы» (4-5 человек)

Золотое сечение в архитектуре и искусстве

Золотое сечение в архитектуре родного города

5 группа «Биологи» (4-5 человек)

Золотое сечение в природе

Исследование пропорций человеческого тела

II. Этап планирования.

На следующем уроке учащимся дается время (15 минут) для обсуждений в группах плана действий. Учитель наблюдает за работой учеников, при необходимости направляет, подсказывает оптимальный путь исследования, помогает распределить роли между участниками проекта внутри групп.

Возможные рекомендации учителя (проектные задания):

1 группа

Пифагор ввел понятие в научный обиход

Евклид в «Началах» дал описание геометрического построения золотого деления

Разделить отрезок в золотом отношении. С помощью непосредственных измерений это сделать невозможно. Древнегреческие мастера использовали циркуль и линейку, причем были найдены различные способы построения. Один из них покажет древнегреческий мастер (ученик)

Эпоха Возрождения (Лука Пачоли, Леонардо да Винчи)

2 группа

Числовое значение золотой пропорции вычислить в 6 классе учащиеся ещё не могут, но готовы показать значение  с большим количеством знаков после запятой.

Ряд Фибоначчи

Придумать ряды чисел, в которых обнаруживается свойство золотой пропорции

3 группа

Золотой прямоугольник и его свойства, спираль Архимеда

Провести исследование, действительно ли форма золотого прямоугольника создает впечатление красоты и гармонии. Например, провести социологический опрос по выбору рамок для фотографий.

Золотой треугольник и пентаграмма

4 группа

Привести примеры золотого сечения в архитектуре и искусстве

Найти в городе архитектурное сооружение, для которого выполняется свойство золотой пропорции, и проверить по фотографии.

Учащимся художественной школы найти среди работ ту, в которой присутствует золотое сечение и проверить

5 группа

Привести примеры золотого сечения в природе

Провести исследование, действительно ли форма «золотой» фигуры создает впечатление красоты и гармонии. Например, провести социологический опрос по выбору самого красивого листа дерева

Провести исследование, действительно ли в пропорциях человеческого тела присутствует золотая пропорция на примере кисти руки

III. Этап исследований.

Изучение темы «Отношения и пропорции» по программе прерывается зимними каникулами, поэтому основная подготовка проекта выносится на внеурочную деятельность в виде консультаций по группам и работу дома. Во время консультаций учитель определяет уровень готовности каждой группы к защите своего промежуточного проектного продукта, помогает сделать выводы, оформить результаты исследований в виде 1-2 слайдов презентации. Для учащихся первой группы можно порекомендовать обыграть исторические сюжеты.

IV. Этап защиты проекта.

Для защиты проекта отводится 1-2 урока. Учащиеся рассаживаются по группам. На столах у каждой группы по 4 карточки для оценки выступлений. Для работы все ученики должны приготовить тетради, линейку, циркуль, калькулятор.

- Сегодня мы с вами собрались для того, чтобы поделиться друг с другом результатами наших исследований по вопросу: «Подчиняется ли законам математики красота и гармония окружающего мира?»

- Выслушаем мнение «историков» (учащиеся рассказывают об истории золотого сечения).

П ринято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Платон также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

Вдошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл, Папп и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появил ась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилой, величайшим математиком Италии. Его считают творцом начертательной геометрии. Пачоли назвал гармоническое отношение божественной пропорцией («Sectio Divina»). Термин золотое сечение («Sectio aurea») появился в Германии в первой половине XIX века. Он был введён немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.

Л еонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

После Иоганна Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл его снова. В своих «Эстетических исследованиях» он пишет: «Для того, чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым». Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого тела и животных, в некоторых эллинских храмах, в ботанике и музыке. В конце XIX – начале XX вв. появилось немало теорий о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры.

Накопленные знания об этом уникальном соотношении частей в целом по эстафете передаются от поколения к поколению, наполняясь новым содержанием, проявляются в самых разных областях науки, проникают в технику.

- Как разделить отрезок в золотом отношении? С помощью непосредственных измерений это сделать невозможно. Древнегреческие мастера использовали циркуль и линейку, причем были найдены различные способы построения. Один из них покажет древнегреческий мастер со своим помощником (один ученик объясняет процесс построения, другой выполняет это на доске, ученики строят в тетрадях).

Дан отрезок АВ.

Проведем отрезок ВD, перпендикулярный отрезку АВ, длина которого равна половине АВ.

Построим отрезок АD.

Проводим окружность с центром в точке D, радиусом DB.

О кружность пересекает АD в точке Е.

Построим окружность с центром в точке А, радиусом АЕ.

Последняя окружность пересекает отрезок АВ в точке С.

- Проверим, выполняется ли золотое отношение (учащиеся выполняют вычисления в тетрадях)

Найдите отношения ________ и _________ (до сотых)

- Теперь слово теоретикам (учащиеся рассказывают о числовом значении золотого сечения)

Это число принято обозначать j»0,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544…

Примечательно, что число, обратно для j получается прибавлением к нему единицы и показывает отношение большей части к меньшей.

F= =j +1» 1, 6180339887…

Обратим внимание на удивительные свойства золотой пропорции:

Такие значительные преобразования, как возведение в степень, не смогли уничтожить сущность этой уникальной пропорции, ее «душу». Следующие соотношения еще раз демонстрируют удивительные свойства золотой пропорции:

; ;; и т.д.

С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел стремится к золотой пропорции. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих.

Например, ряд: 5, 5, 10, 15,25, …, обнаруживается, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу j: чем дальше от начала ряда, тем лучше будет приближение.

- Придумайте свой ряд и проверьте этот факт с помощью калькулятора.

- Можно ли обнаружить золотое отношение среди геометрических фигур? На этот вопрос нам даст ответ следующая группа исследователей.

Сообщения учащихся о золотом прямоугольнике и спирали Архимеда. У ребят уже выполнено деление отрезка, с помощью которого они строят в тетрадях золотой прямоугольник, вписывают в него квадрат и замечают еще о дин золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Если в каждый из получённых квадратов вписать по четверти окружности, то получится весьма изящная кривая – спираль. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

Исследование «Выбор рамки для фотографий»

Цель исследования:выявить, действительно ли форма золотого прямоугольника создает впечатление красоты и гармонии.

Форма исследования: социологический опрос.

Вопрос: Какую из предложенных прямоугольных рамочек Вы выбрали бы для фотографии?

Вывод:

Висследовании принимали участие 98 человек. Большинство участников исследования выбрали рамку, имеющую форму золотого прямоугольника, значит, соотношение сторон золотого прямоугольника действительно создаёт впечатление красоты и гармонии.

- Какие ещё «золотые» фигуры отыскали наши исследователи? (учащиеся рассказывают о «золотых» треугольниках и пентаграмме)

Золотой треугольник

Золотой треугольник представляет собой равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется числу Фидия. Одним из его свойств является то что, длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания. Боковые стороны золотого треугольника образуют угол 36° или 108⁰ при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

 1,618004866180049 1,618100967826314

Пентаграмма

Золотое сечение позволяет построить правильный пятиугольник.

Алгоритм построения:

1. Построим окружность с центром в точке О и произвольного радиуса.

2 . Проведем диаметр АВ.

3. Из центра окружности восстановим перпендикуляр ОЕ, где Е – точка пересечения перпендикуляра и окружности.

4. Отметим точку D – середину отрезка ОВ.

5. На отрезке АО отметим точку С так, чтоED=CD. Для этого построим окружность с центром в точке D и радиусом , равным ED.

6 . Длина отрезка ЕС является длиной стороны правильного пятиугольника. С помощью окружностей определим вершины искомого пятиугольника и соединим их отрезками.

Если продлить стороны правильного пятиугольника до точек пересечения с продолжениями смежных сторон, получится красивая пятиконечная звезда. Это древний мистический символ, популярный, в частности, у пифагорейцев: он называется «пентаграмма» или «пентальфа», то есть, дословно, «пять букв» или «пять альф» – в нем усматривали соединение пяти букв «альфа» (А). Пентаграмма считалась символом здоровья – гармонии в человеке – и служила у пифагорейцев опознавательным знаком. (Например, когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не имел денег, чтобы заплатить человеку, ухаживавшему за ним до самой его кончины, то велел изобразить пентаграмму на двери своего жилища. Спустя несколько лет другой пифагореец увидел этот знак и хозяин получил щедрое вознаграждение).

О казывается, что в пентаграмме различные линии делят друг друга в отношении золотого сечения. AB : AC = AE : AD. Но AD = BC, а AE = AC, и поэтому AB : AC = AC : BC. Получается, что любой из 10 отрезков внешнего контура звезды относится в золотом сечении к любому из 5 отрезков, образующих маленький внутренний пятиугольник.

Л учи звезды и стороны внутреннего пятиугольника относятся в золотом сечении.

Диагональ правильного пятиугольника относится к его стороне тоже в золотом сечении. Все пять диагоналей правильного пятиугольника образуют еще одну пентаграмму, в которой снова повторяются все соотношения.

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

- Группа «искусствоведов» подготовила материал по поиску «золотых» пропорций в архитектуре и живописи (учащиеся представляют сообщение).

Золотое сечение в архитектуре и искусстве

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют своих работах пропорции золотого сечения, именно поэтому, глядя на эти произведения искусства, создается впечатление красоты и гармонии. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Причем не только вся статуя, но и отдельные её части делятся в золотом сечении.

Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие древней Греции. И среди первое место по праву принадлежит Парфенону. Храм Афины – Парфенон (V в. до н.э.) был построен в честь победы эллинов над персами. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.

Протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон у места расположения монументальных ворот при входе в город (пропилеи) отношения массива скалы у храма также соответствует золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искал и и находили в соотношениях ее частей золотое сечение. Если принять за единицу ширины торцовый фасад храма, то получим прогрессию, состоящую из восьми членов ряда: 1 : : ² : ³ : ⁴ : ⁵ : ⁶ : ⁷, где =1,618… На рисунке виден целый ряд закономерностей, связанных с коэффициентом золотого сечения.

Знаменитый русский архитектор М.Ф.Казаков широко использовал в своем творчестве золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он проявился в многочисленных проектах жилых домов и усадеб. Например, золотое сечение можно встретить в архитектуре здания бывшего сената в Кремле, Дворца в Петровском Алабине и Голицынской больницы в Москве, которая в настоящее время называется Первой Клинической больницей имени Н.И.Пирогова.

Е ще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова - является одним из наиболее совершенных произведений архитектора В.Баженова. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 году. Многие   высказывания зодчего заслуживают внимания. О своем любимом искусстве Баженов говорил: "Архитектура - главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойствие и прочность здания. К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы, механики или вообще физики, а всем им общим вождем является рассудок".

Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторонами 1:2.

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследуя его, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к коэффициенту золотого сечения. Выбирая размеры самой картины, старались, чтобы ее стороны находились в золотом отношении. Золотой прямоугольник использовался художниками для создания у зрителя ощущения уравновешенности, покоя, а золотая спираль применялась для выражения тревожных, бурно развивающихся событий. Эскиз гравюры "Избиение младенцев", выполненный Рафаэлем, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. На рисунке проведена золотая спираль, по которой располагаются основные фигуры экспозиции.

П ортрет Моны Лизы на картине Леонардо да Винчи «Джоконда» привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов.

Золотое сечение в архитектуре города Бор Нижегородской области

Цель исследования: изучая архитектуру родного края, найти здания, построенные с применением золотого сечения.

Здание ДК «Теплоход».

Высота фронтона крыши относится к высоте колонн так же как высота колонн к высоте всего здания. Расстояния между колоннами так же находятся в отношении золотой пропорции.

Храм Успения Божией Матери

Расстояния между средними и крайними колоннами находятся в отношении ².

Вывод: здания города Бор, которые являются для нас культурным наследием, построены с использованием золотого сечения.

- Человек, создавая свои творения, пользуется законами гармонии, которые он заимствует от природы. Группа «биологов» представляет результаты своих исследований.

Использование золотого сечения в природе

И зучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали, которая точно соответствуют "золотой пропорции"

Вящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Это цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции.

Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Б ивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

Спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.

Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра). Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

Очень совершенна форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. Многие насекомые (например, бабочки, стрекозы) в горизонтальном разрезе имеют простые асимметричные формы, основанные на золотом сечении. Паук плетет паутину спиралеобразно

З олотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

Выбор самого красивого листа

Ц ель исследования: выявить, действительно ли форма золотого пятиугольника создает впечатление красоты и гармонии.

Форма исследования: социологический опрос с использованием социальных сетей Интернет.

Вопрос: Какой лист Вам больше всего нравится?

В опросе участвовали 100 человек города Бор Нижегородской области.

В ывод:

Большинство участников исследования выбрали кленовый лист. Действительно, в строении кленового листа присутствуют пропорции золотого сечения, поэтому лист клена создает впечатление красоты и гармонии.

Пропорции человеческого тела

В1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Кости человека выдержаны в пропорции, близкой к золотому сечению. И чем ближе пропорции к формуле золотого сечения, тем более идеальным выглядит внешность человека. Точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора. Формула золотого сечения видна при взгляде на указательный палец. Каждый палец руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца = золотое сечение (за исключением большого пальца).

Пупок делит высоту человека в золотом отношении.

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.

У большинства людей, верхняя точка уха делит высоту головы вместе с шеей в золотом отношении. Разделив в отношении золотого сечения отрезок, заключенный между макушкой и адамовым яблоком, мы получим точку, лежащую на линии бровей.

Нижняя точка уха делит в золотом отношении расстояние от верхней части уха до основания шеи.

Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении.

Длина всех фаланг каждого пальца соотносятся друг к другу по правилу золотой пропорции

Соотношение высоты верхней и нижней губы будет 1,618:

Высота надгубной складки (расстояние между верхней губой и нижней границей носа) и высота губ будут составлять соотношение 62 : 38:

Ширина одной ноздри суммарно с шириной переносицы относится к ширине другой ноздри в пропорции "золотого сечения".

Ширина ротовой щели также относится к ширине между наружными краями глаз, а расстояние между наружными уголками глаз - к ширине лба на уровне линии бровей, как все пропорции "золотого сечения".

Расстояние между линии смыкания губ до крыльев носа относится к расстоянию от линии смыкания губ до нижней точки подбородка, как 38:62, и к расстоянию от крыльев носа до зрачка - как 38 : 62.

Расстояние между линией верхней части лба до линии зрачков и расстояние между линией зрачков и линией смыкания губ имеет пропорцию "золотого сечения"

Исследование пропорций человеческого тела

Цель исследования: выявить, действительно ли в пропорциях человеческого тела присутствует золотая пропорция.

Объект исследования: ученик

Вывод: исследования пропорций тела подростка показали, что они близки к золотому сечению

V. Этап анализа

- Наш урок подходит к концу. Сегодня мы познакомились с одним из чудес математики – Золотым сечением. Перед нами стоял вопрос: «Подчиняется ли красота и гармония законам математики?» К какому выводу вы пришли в процессе исследований? (высказываются представители каждой группы)

- Что вам особенно запомнилось из рассказов одноклассников? Возникали ли какие-нибудь проблемы в процессе исследования?

(невозможно вычислить точное значение , не все «золотые» фигуры смогли построить, не все отношения пропорций человека успели просчитать, есть в городе ещё здания и сооружения, в которых проявляется свойство золотой пропорции, …)

- Значит, нам было недостаточно времени и знаний для более обширного изучения этой проблемы.

Возможно, что краткосрочный проект может перерасти в долгосрочный. Исследования могут продолжиться в 7 классе, когда математический аппарат станет шире, можно подключить возможности информационных технологий для построения чертежей, для подбора значения . Результатом работы может являться выступление на научном обществе учащихся.

- А теперь дайте оценку работы каждой из групп, для этого заполните карточки на ваших столах.

Учащиеся могут высказать свои мнения относительно получившегося проекта, в том числе возможна и самооценка по группам.

Список использованной литературы:

Полат Е.С. Новые педагогические технологии /Пособие для учителей - М., 1997

Пахомова Н.Ю. Метод учебных проектов в образовательном учреждении/ Пособие для учителей и студентов педагогических вузов. – М.: АРКТИ, 2003

Давыдов М.А. Красота математики – Н. Новгород, 2007

Золотое сечение. Страницы Википедии.http://ru.wikipedia.org

Лаврус В. «Золотое сечение» http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/197480-uchebnyj-proekt-tajny-zolotoj-proporcii