Новый взгляд на решение квадратных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №140 Советского района Волгограда»

Методическая разработка «Новый взгляд на решение квадратных уравнений»

Учитель математики и информатики МОУ СШ №140

Брусенская Мария Сергеевна

Номинация «Методическая разработка» (обеспечение учащихся интеллектуальной деятельностью, используя присущую математике красоту и увлекательность).

Новый взгляд на решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач: начиная с заданий средней школы и до олимпиад самого высокого уровня. В школьном курсе математики подробно изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Специфика предлагаемого материала, состоит в рассмотрении более эффективных способов решения квадратных уравнений, кроме общепринятого. Данный материал может быть использован как учителями на уроках, элективных и факультативных курсах, так и учениками для расширения и углубления знаний по решению квадратных уравнений.

Вначале целесообразно вспомнить рациональный способ решения приведенных квадратных уравнений, а именно теорему, обратную теореме Виета.

Если m и n - числа такие что, то и m и n корни уравнения

Доказательство.

Рассмотрим уравнение , подставим вместо p и q их выражения через mи n: .

Пусть x=m,тогда верное равенство,

значит, m - корень уравнения .

Пусть x=n,тогда верное равенство,

значит, n - корень уравнения .

Теорема доказана.

Покажем на специальных примерах, насколько эффективнее применение теоремы, обратной теореме Виета для решения квадратных уравнений, по сравнению со стандартными способами.

Пример 1.

Решить уравнение.

- по теореме, обратной теореме Виета: , следовательно, .

- по формулам корней:

;

Ответ: .

Пример 2.

Решить уравнение.

- по теореме, обратной теореме Виета: , значит, ,.

- по формулам корней:

;

Ответ: ,.

Теорема, обратная теореме Виета применима только к приведенным квадратным уравнениям. Таковым можно сделать любое квадратное уравнение, но не всегда теорема, обратная теореме Виета, будет рациональным способом его решения, а именно: если коэффициенты приведенного квадратного уравнения окажутся дробными. Существует ряд теорем, основанных на доказанной теореме, с помощью которых можно решить любое квадратное уравнение. Рассмотрим эти теоремы.

Определение 1.

Уравнение вида будем называть обратным приведенному уравнению .

Теорема 1.

Корни уравнения, обратного приведенному, обратны корням приведенного уравнения.

Доказательство.

Пусть - корень уравнения , тогда по определению корня,

- верное числовое равенство, при этом , так как 0 не удовлетворяет решаемому уравнению.

Разделим данное уравнение на:

- верное числовое равенство, т.е.

верное числовое равенство. По определению корня, -

корень уравнения

Таким образом, получен алгоритм решения уравнения

Если а и b - числа такие что , то и корни уравнения

Определение 2.

Уравнения и обратные друг другу (a,b,c

Теорема 2. (обобщение предыдущей теоремы)

Корни уравнения обратного данному, обратны корням данного уравнения.

Доказательство.

Пусть - корень уравнения , тогда по определению корня - верное числовое равенство, при этом 0, так как 0 не удовлетворяет решаемому уравнению.

Разделим уравнение на , - верное числовое равенство, т.е. верное числовое равенство. Сравним его с уравнением . По определению корня, - корень этого уравнения.

Замечание 1.

Теорема имеет практическое значение, когда необходимо быстро придумать новое квадратное уравнение с известными корнями.

Определение 3.

Уравнение вида называются возвратными, они обратны себе.

Из теоремы 2 об обратных уравнениях, имеем:

Следствие 1:

Корни возвратного квадратного уравнения взаимнообратны.

Доказательство.

Рассмотрим уравнение, разделим на a (a0, так как уравнение полное): . Пусть и его корни, по теореме Виета, =1. Следовательно =

Два взаимнообратных рациональных числа имеют вид и ( ). Значит, рациональные корни возвратного уравнения можно записать следующим образом:, .

Теорема 4.

Если уравнение имеет корни и ( ) , то a=pq, -b = .

Доказательство.

Так как и - корни уравнения

(a 0, так как уравнение полное), то по теореме Виета , то есть , или (p, то есть a=, - b= .

Алгоритм решения уравнения

Если p и q - числа такие что , то и корни уравнения

Для уравнений общего вида также существует рациональный способ решения, основанный на теореме, обратной теореме Виета:

Теорема 5.

Корни уравнения равны , , где , - корни уравнения

Доказательство.

Умножим обе части уравнения на a (a, так как уравнение полное):

, .

Обозначим ax=y, тогда - приведенное квадратное уравнение.

Найдем его корни и по теореме, обратной теореме Виета, то есть такие, что = -b, =ac. Из замены следует: , .

Рассмотрим две теоремы с помощью которых можно решить уравнения, коэффициенты которых обладают некоторыми свойствами:

Теорема 6.

Если в квадратном уравнении , a+b+c = 0, то =1, .

Доказательство.

Рассмотрим уравнение , коэффициенты которого такие, что a+b+c = 0- верное равенство. Подставим x=1 в уравнение, получим

a+b+c = 0

Следовательно, по определению корня, =1 корень уравнения

. По теореме, обратной теореме Виета, .

Теорема 7.

Если в квадратном уравнении a-b+c =0, то =-1,.

Доказательство.

Рассмотрим уравнение , коэффициенты которого такие, что

a - b + c = 0 верное равенство. Подставим х=-1 в уравнение, получим:

a - b +c =0, следовательно, по определению корня, =-1 - корень уравнения

. По теореме, обратной теореме Виета, .

Из выше изложенного следует, что теорема, обратная теореме Виета может применяться не только как способ для быстрого нахождения корней приведенного квадратного уравнения, но и в качестве основного практического способа решения рассматриваемых заданий.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/208381-novyj-vzgljad-na-reshenie-kvadratnyh-uravneni