Конспект урока: Формулы сокращенного умножения

Методика обучения на уроке.

Содержание урока, его структура.

I.Организационный момент.

1.Проверка готовности учащихся к уроку.

2.Постановка цели урока, знакомство с его содержанием.

(Сегодня на уроке повторим и обобщим знания по теме «Формулы сокращенного умножения». На уроке напишем математический диктант, рассмотрим исторические аспекты развития формул сокращенного умножения, узнаем, что собой представляет треугольник Паскаля).

Фронтальная беседа с учащимися с требованиями полных обоснований.

№ 1031заготовлен на интерактивной доске.

Фронтальная проверка формулировок формул.

II.Проверка домашнего задания (проверяется выборочно).

№ 1047 (б, г)

б)y¹² – 16=(y⁶-4)(y⁶+4)= (y³-2)(y³+2)(y⁶+4);

г) 36 – b⁴y⁶=(6-b²y³)( 6+b²y³).

№ 1048 (в, д)

в) 25-(3-x)²=5²-(3-x)²=(5-3+x)(5+3+x)=(2+x)(8-x);

д) (5x-12)²-x²=(5x-12-x)(5x+12-x)=(4x-12)(6x+12)=4·6(x-3)(x+2)=24(x-3)(x+2).

№ 1051 (в)

d³+0,008c³=d³+(0,2c)³=(d+0,2c)(d²-0,2dc+0,04c²).

№ 1031

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac.

- Что называется тождеством?

(Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством).

- Что значит доказать тождество?

(Для доказательства тождества преобразуют его левую часть в правую или правую часть в левую или показывают, что левая и правая части исходного равенства равны одному и томуже выражению).

После проверки домашнего задания первый ряд отвечает правило (кубик).

Задание воспрозводится из файла аудиозаписи на персональном компьютере.

Фронтальная проверка формулировок формул.

Задания в слайде на интерактивной доске. Учащиеся выходят к доске и способом перетаскивания заготовленных объектов вставляют недостающее в формулы. /Для быстрой проверки на слайде шторкой закрыты ответы/.

III. Выполнение устных упражнений с целью совершенствования правильного применения формул сокращенного умножения, их словесной формулировки.

1.На интерактивной доске в слайде записаны формулы сокращенного умножения отдельно левые и правые части. Каждой записи соответствует определенная буква. После того, как будет прочитана какая-либо часть вы укажите её продолжение: подпишите соответствующую букву.

1).Квадрат разности двух выражений.(Г)

2).Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.(Е)

3).Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы.(К)

4).Произведение разности двух выражений и их суммы.(И)

5).Сумма кубов двух выражений.(Д)

Учащиеся первого ряда отвечают формулировки формул сокращенного умножения.

А. a³+b³;

Б.a²+2ab+b²;

В.a²-2ab+b²;

Г.(a-b)(a+b);

Д.(a+b)( a²-2ab+b²);

Е. (a+b)²;

Ж.(a-b)( a²+2ab+b²);

З.(a-b)²;

И.a²-b²;

К.a³-b³.

Второй ряд отвечает правило (кубик).

2.Смотри, не ошибись!!!

Прочитай, вставь недостающее

… ² – b²=(a - …)(a + …); a² – b²=(a - b)(a + b)

(a +…)²=…²+ 6…b + 9b²; (a +3b)²=a²+ 6ab + 9b²

(m -…)²=m²- 20m + …; (m -10)²=m²- 20m + 100

(5a +…)²=… + … + 81; (5a +9)²=25a² + 90a + 81

(47 - …)(47 + …)= … - 37²; (47 - 37)(47 + 37)= 47² - 37²

75²- …=(… - 25)(75 + …). 75²- 25²=(75 - 25)(75 + 25)

Третий ряд отвечает правило (кубик).

Фронтальная беседа с классом.

-Что называется уравнением?

-Что значит решить уравнение?

-Что называют корнем уравнения?

-Сколько корней может иметь уравнение?

IV. Тренировочные упражнения.

I ряд № 1030 (г)

II ряд №1084 (б)

III ряд №1081 (а)

Индивидуальные задания

№ 1037 (д), № 1046 (б), №1090 (а).

I ряд № 1030 (г)

Представьте в виде многочлена выражение:

.

II ряд № 1084 (б)

Разложите на множители:

b²-c²-10(b-c)²=( b²- c²)-10(b-c)²=(b-c)(b+c)-10(b-c)²=(b-c)(b+c-10b+10c)=(b-c)(11c-9b).

III ряд № 1081 (a)

Решите уравнение:

x² – 2x² – x +2=0,

x²(x-2)-(x-2)=0,

(x-2)(x²-1)=0,

(x-2)(x-1)(x+1)=0,

x-2=0 или x-1=0 или x+1=0

x=2 x=1 x=-1

Ответ: -1; 1; 2.

Решение упражнений с полным обоснованием у доски.

Индивидуальные задание, заданное заранее.

IV. Индивидуальные задания.

№ 1037 (д) Вычислите:

№ 1046 (б) Найдите значение дроби:

№ 1090 (а) Делится ли на 5 при любом целом n выражение:

(2n+3)(3n-7)-(n+1)(n-1)=6n²-14n+9n-21-n²+1=5n²-5n+20=
5(n²-n+4) делится на 5 при любом целом n.

№ 1064 (а)

(а+8)²-2(а+8)(а-2)+(а-2)²=(а+8-(а-2))²=(а+8-а+2)²=10²=100.

№ 1069

(a²+b²)(a⁴- a² b²+b⁴)-(a³-b³)( a³+b³)=a⁶+b⁶-( a⁶-b⁶)= a⁶+ b⁶-a⁶+ b⁶=2b⁶.

Беседа.

V. Историческая справка.

- Как вы думаете, давно ли известны людям формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения были известны еще вавилонянам около 4000 лет назад. Их не знали в символьном обозначении, но применяли при счете.
Так, древние греки могли выполнять в уме следующиев ычисления 41² – 31² ; 55² – 45² и.т.д.

Ученые древней Греции представляли величины не числами или буквами, а отрезками прямых, которые обозначали буквами или концы которых отмечали с помощью двух букв.

Вместо произведения «axb» говорили прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b.

Вместо «а²» - говорили квадратные отрезки.

В древней Греции алгебра оперировала не числами, а отрезками, площадями и объемами фигур и была названа геометрической алгеброй.

Лишь учеными 17 века, в первую очередь Ньютону удалось полностью отказаться от геометрической основы и перестроить алгебру на символы.
Исаак Ньютон (1643 – 1727 г.)

Треугольник Паскаля.

Блез Паскаль (19.06.1623 – 19.08.1662) французский философ, писатель, математик, физик.

Треугольник Паскаля арифметический треугольник – треугольная числовая таблица для составления биноминальных коэффициентов.

По боковым сторонам треугольника стоят единицы, внутри треугольника числа образуются сложением двух чисел, стоящих над данными.

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

………………

Треугольник показывает коэффициенты для разложения степени многочлена a+b.

Например: (a+b)²=a²+2ab+b²,

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.

VI.Математический диктант.

Проводится с целью проверки знаний формул сокращенного умножения, их восприятия на слух.

Учащиеся пишут диктант на бланке ответов, сдают их, проверка выполняется с помощью интерактивной доски.

1. Разложите на множители многочлен 4x²-9 [25a²-4].

2. Разложите на множители многочлен 1-81с² [19y⁴-1].

3. Найдите значение выражения 219²-119² [223²-123²].

4. Найдите значение выражения 201² [301²].

5. Представьте многочлен 9x²+30xy+25y²
[49x²-14xy+y²] в виде квадрата двучлена.

Диктант окончен.

После чего учащиеся сдают бланки ответов с математическим диктантом и проверяют ответы на интерактивной доске.

Вариант 1

4х² – 9 = (2х-3)(2х+3),

1-81с⁴ = (1-9с²)(1+9с²) = (1-3с)(1+3с)(1+9с²),

219²-119² = (219-119)(219+119) = 100·338 = 33800,

201² = (200+1)²= 40000+400+1 = 40401,

9х² + 30ху + 25у² = (3х + 5у)².

Вариант 2

25а⁴-4 = (5а-2)(5а+2),

16у⁴-1 = (4у²-1)(4у²+1) = (2у-1)(2у+1)(4у²+1),

223²-123² = (223-123)(223+123) = 100·346 = 34600,

301² = (300+1)² = 90000+600+1 = 90601,

49х²-14ху+у² = (7х-у)².

VII.Итог урока.

-Чем на уроке занимались?

Сегодня на уроке мы повторили и обобщили знания по теме «Формулы сокращенного умножения». Рассмотрели исторический материал совершенствования формул сокращенного умножения.

Написали математический диктант.

Задание на дом.

п. 36 -38.

№ 1059, №1060 (а), №1058 (в, г), №1090 (б).

Подготовиться к контрольной работе.

Оценки за урок.