Теоретические основы математического развития дошкольников посредством палочек Кюизенера

Введение

Современная эпоха характеризуется высоким научно-техническим прогрессом, стремительным развитием науки и техники. Для того, чтобы современный человек был высококвалифицированным специалистом в этих областях, необходимо начинать математическое развитие как можно раньше, уже в дошкольном возрасте. Математические представления являются одними из самых сложных знаний, умений и навыков, включенных в содержание общественного опыта, которым овладевают подрастающее поколение. В математику ребенок входит уже с самого раннего детства. Источником элементарных математических представлений для ребенка является окружающая реальная действительность, которую он познает в процессе разнообразной деятельности.

Особое место в формировании элементарных математических представлений детей дошкольного возраста занимает обучение количественным представлениям. Актуальность проблемы формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста обусловлена целым рядом причин: началом школьного обучения с шести с половиной лет, обилием информации, получаемой ребенком, постоянным повышением требований современной школы к интеллектуальному развитию детей, всеобщей компьютеризацией. По мнению американских психологов Р. Грин и В. Лаксон, от сформированности количественных представлений зависит счастье ребенка и его общественное здоровье. В силу своей значимости и актуальности данная проблема на протяжении длительного времени находится в центре внимания исследователей. Были раскрыты закономерности развития количественных представлений у дошкольников в условиях целенаправленного обучения (А.М. Леушина); основы для формирования понятия числа (П.Я.Гальперин, А.М. Леушина, В.В. Данилова, Ж.Пиаже, Д.Д.Галанин, Л.С.Георгиев, В.В. Давыдов, Г.А. Корнеева и др.). Анализ научных исследований убеждает нас в том, что недостаточно сформированные количественные представления не позволят в полной мере обеспечить развитие мыслительных и речевых способностей, а значит, как следствие, дошкольник не будет готов к обучению в школе.

 Существуют разнообразные средства формирования количественных представлений, но палочки Кюизенера, на наш взгляд, являются одним из наиболее эффективных средств. Это дидактический материал, разработанный бельгийским математиком Х. Кюизенером. Основные особенности этого дидактического материала, как подчеркивает Р.А. Непомнящая   – абстрактность, универсальность, высокая эффективность. Значимость этого дидактического средства в реализации принципа наглядности, представлении сложных абстрактных математических понятий в доступной детям форме, в овладении способами действий, необходимых для возникновения у детей элементарных математических представлений. Р.А. Непомнящая  отмечает, что палочки Х. Кюизенера как дидактическое средство в полной мере соответствуют специфике и особенностям элементарных математических представлений, формируемых у дошкольников, а также их возрастным возможностям, уровню развития детского мышления, в основном наглядно-действенного и наглядно-образного. В мышлении ребенка отражается прежде всего то, что в начале совершается в практических действиях с конкретными предметами. Работа с палочками позволяет перевести практические, внешние действия во внутренний план, создать полное, отчетливое и в то же время достаточно обобщенное представление о понятии [16].

Целью работы является теоретическое изучение проблемы формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста посредством палочек Кюизенера.

Задачи:

1. Изучить психолого-педагогические основы проблемы формирования количественных представлений у дошкольников;
2. Проанализировать вариативные программы по формированию количественных представлений детей дошкольного возраста; 
3. изучить методику формирования количественных представлений в разных дошкольных группах.

4.Познакомиться с палочками Кюизенера как средством формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста.

Объект: процесс формирования количественных представлений в дошкольных группах детского сада.
Предмет: Палочки Кюизенера как средство формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста.

1.Психолого – педагогические основы проблемы формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста

В рамках изучения данного вопроса мы рассмотрели следующие понятия:«представление», «количество», «счёт» в разных источниках. Понятие « Представление» в словаре Ефремовой раскрывается следующим образом:1.Процесс действия по знач.глаг.: представлять, представить, представляться (1), представиться. 2. Чувственно-наглядный образ явлений внешнего мира, являющийся результатом обобщения отдельных восприятий (в психологии). Конкретный образ предмета или явления, который в данный момент непосредственно не воспринимается, а лишь воспроизводится в сознании. 5. Понимание чего-л., знание о чем-л., основанное на опыте

[6, с.452]. Энциклопедический словарь трактует понятие «Представление»как образ ранее воспринятого предмета или явления (представление памяти, воспоминание), а также образ, созданный продуктивным воображением [25]. В Психологическом словаре понятие «Представление» - наглядный образ предмета, воспроизведенный по памяти в воображении. Образы представлений, как правило, менее ярки и менее детальны, чем образы восприятия, но в них находит отражение самое характерное для данного предмета.При этом, степень обобщенности того или иного представления может быть различной, в связи с чем различают единичные и общие представления. Посредством языка, привносящего в представление общественно выработанные способы логического оперирования понятиями, происходит перевод представления в абстрактное понятие [25].
Словарь синонимов трактует понятие «Представление» – понятие, зрелище [26].

Таким образом, представление – образ раннее воспринятого предмета или явлений.

Так, словарь Ефремовой раскрывает понятие «Количество», следующим образом: 1.«Количество» - одна из основных логических категорий, характеризующая ту сторону действительности, которая определяет предмет со стороны их измеримости(в философии). 2.«Количество» - то в предметах и явлениях, что подлежит измерению и счету; 3.«Количество» - Число, величина, объем, масса [6, с.379]. Энциклопедический словарь трактует это понятие так: «Количество» - философская категория, выражающая внешнюю определенность объекта: его величину, число, объем, степень развития свойств и так далее [25]. В словаре синонимов «Количество» – число, численность [25].

Таким образом, количество - степень выраженности измеряемых свойств предметов, явлений, их мерные характеристики.

Понятие«Счёт»в словаре Ефремовой -1. Действие по знач. глаг.: считать (1*1-4). 2. Соотношение очков в итоге спортивной игры. В словаре Ожегова понятие «Счёт» трактуется следующим образом: Счет см.считать.1.Называть числа в последовательном порядке.2.Определять точное количество кого, чего-нибудь [6, с.738].

Таким образом, счет- называние чисел в последовательном порядке, определение точного количества чего-нибудь. Одна из проблем при формировании количественных представлений у детей дошкольного возраста – это развитие понятие числа. Число - показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не являет­ся постоянной характеристикой, оно относительно к той еди­нице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами - результат будет разный).

Многие педагоги советского времени считали, что целенаправленно обучать детей счету не надо, в числе этих педагогов Л. К. Шлегер и Е. И. Тихеева.

Развитие числовых представлений, по мнению Л. К. Шлегер, должно совершаться в процессе лишь повседневной жизни и игр детей. Л.К. Шлегер считала, что счет следует соединять с различ­ными видами деятельности ребенка, а воспитатель должен использовать различные моменты из жизни детей для уп­ражнений их в счете. Она отрицала необходимость программы и специально-организованного обучения.

А Е.И.Тихеевачетко представляла себе содержание озна­комления детей дошкольного возраста с числом и со счетом и неоднократно подчеркивала, что современная методика стремится к тому, чтобы подвести детей к усвоению знаний самостоятельно, создавая для ребенка условия, обеспечива­ющие ему самостоятельный поиск познавательного материа­ла и использование его. Она писала, что учить детей вычис­лениям не следует, однако ребенок должен усвоить первый десяток, конечно, до школы. Все числовые представления, доступные детям этого возраста, они должны брать из жиз­ни, в которой принимают деятельное участие. А участие ре­бенка в жизни при нормальных условиях должно выражать­ся лишь в одном - работе, игре, играя, трудясь, живя, ребенок обязательно сам научится считать, если взрослые будут при этом для него незаметными помощниками и ру­ководителями [5, с.185].

Большая роль в развитии методики сообщения математических знаний детям в детском саду принадлежит Ф. Н. Блехер. Ее книга «Математика в детском саду и нулевой группе» (1934 г.) была первым учебным пособием и программой по счету для советского детского сада. В ней были определены знания, которые должны приобрести дети в процессе обучения (использовала данные зарубежных психологов). Так у детей 3 - 4 лет, указывала она, должно сформироваться четкое представление о количестве в пределах четырех и умение называть эти группы словом-числительным (узнавание и называние числа). А дети 5 - 6 лет должны определять количество в пределах десяти, усвоить понятие пара (пара перчаток, пара галош), а так же определять порядковое место в ряду. В обиход средней группы она предлагала вводить и цифры от 1 до 5. В старшей группе (6 - 7 лет) дети должны уже твердо усвоить первый десяток, цифры до 10, научиться производить действия сложения и вычитания, перейти ко второму десятку, усвоению понятия нулевого количества и решению арифметических задач в одно действие [2].

Л.В.Глаголева – в основе ее методики лежал монографический метод. До 40-х годов детей обучали счёту по методике Глаголевой. В её пособиях раскрыты содержание, методы и приёмы формирования у детей первоначальных представлений о числах, величинах и их измерении, делении целого на равные части.

Так же следует обратить внимание на исследования знаменитого психолога Ж. Пиаже. «Это большая ошибка думать, что ребёнок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно, независимо и спонтанно. Когда взрослые пытаются навязать ребёнку математические понятия преждевременно, он выучивает их только словесно; настоящие могут поставить себя на место своего слушателя. Они исходят из своих собственных позиций и непосредственно из того момента, в который происходят описываемые события. Ребёнок ещё не различает, что можно считать само собой разумеющимся, а что нет». Его исследования (впоследствии эти исследования назвали "признаком Пиаже") показали, маленькие дети не понимают, что количество воды будет одним и тем же и в узком стакане, где уровень воды поднимается высоко, и в широком, где уровень воды низок. Они не понимают этого даже тогда, когда воду переливают в их присутствии, и они видят, что ее количество не уменьшилось и не увеличилось. Если малышу предложить сравнить несколько крупных предметов с аналогичными маленькими предметами, и спросить каких по количеству предметов больше, он будет показывать на большие предметы, даже, если их количество явно меньше. Так же, если перед ним разложить несколько предметов одинаковой формы, а затем раздвинуть эти предметы так, чтобы они занимали большую площадь, при этом, задав вопрос, предметов стало больше, меньше или осталось столько же, он будет утверждать, что количество их увеличилось. Некоторые дети, заучив порядковый счёт, не умеют правильно пересчитывать, то есть каждому номеру ставить в соответствие последовательно один предмет [27].

Л. М. Леушина была основоположником методики по формированию количественных представлений у детей дошкольного возраста. Она считала, что счет — это деятельность с присущими всякой дея­тельности признаками: наличием цели, средства — операция сосчитывания и результата — в виде итогового числа как показа­теля определенного класса множеств.Сущность деятельности счета состоит в том, что между
элементами конкретной совокупности и членами натурального
ряда чисел как стандартного множества чисел (каждое из кото­рых является показателем определенного класса множеств)
устанавливается взаимно-однозначное соответствие.Специфика деятельности счета заключается в том, что опе­рации совершаются с конкретными совокупностями, т. е. с конеч­ными множествами, воспринимаемыми различными анализато­рами (зрительным, слуховым, осязательным и другие.) Тем самым
устное называние слов-числительных по порядку отнюдь не яв­ляется деятельностью счета, поскольку отсутствует цель — пред­мет счета (конкретные множества) и нет результата [10, с.56].

Таким образом, можно сделать вывод: исследования педагогов выявили, что особенности обучения детей счету связаны с их возрастными особенностями.

2. Сравнительный анализ вариативных программ по формированию количественных представлений у детей дошкольного возраста.

Мы рассмотрели три образовательные программы «От рождения до школы», «Детство», «Радуга» по вопросам формирования количественных представлений у дошкольников.

В программе «От рождения до школы» и в программе «Детство» раздел по формированию количественных представлений представлен в образовательной области «Познавательное развитие», в программе «Радуга» - в образовательной области «Познание»

Рассмотрев задачи по формированию количественных представлений у детей дошкольного возраста в разных группах и сравнив их в образовательных программах, можно выделить следующее: по всем программам работа по формированию количественных представлений начинается с формирования у детей умений различать понятия «один», «много», «мало» уже с первой младшей группы. В программе «От рождения до школы» и «Детство» во второй младшей группе дети учатся считать до 5. По программе «От рождения до школы» и по программе «Детство» дети этой группы также учатся сравнивать равные и неравные множества, а по программе « Детство» у детей дополнительно формируют представления о независимости количества от формы расположения предметов, различий в их величине и качественных признаков. В программе «От рождения до школы» понятие о независимости числа от качественных и пространственных признаков предложено давать со средней группы. По программе «Радуга» эта работа проводится с детьми старшей группы. По программе «От рождения до школы» в средней группе дети учат «количественному и порядковому счёту в пределах 5, тогда как по программе «Детство» и «Радуга» детей в средней группе учат считать до 10, различать цифры и обозначать ими количество. По программе «От рождения до школы», «Детство» детей учат считать до 10. По «Радуге» - в пределах 20. В каждую из проанализированных нами программ включены задачи по установлению отношений между числами (в программе «От рождения до школы» больше (меньше) на 1, в «Детстве» - на 1 и 2), знакомство детей с составом числа из единиц.По программе «Детство» и «От рождения до школы» эта задача решается в старшей группе, по «Радуге» - в подготовительной. В каждой из трёх программ присутствует задача по ознакомлению детей с составом числа из 2-х меньших. Эта задача решается в подготовительной группе.В программе «От рождения до школы» в подготовительной к школе группе стоит задача: учить на наглядной основе составлять и решать простые арифметические задачи на сложение (к большему прибавляется меньшее) и на вычитание (вычитаемое меньше остатка); при решении задач пользоваться знаками действий: плюс (+), минус (–) и знаком отношения равно (=). В программе «Детство» тоже есть такая задача. А вот программе «Радуга» такой задачи нет.

По программе «Радуга» изучаются представления о действиях сложения и вычитания уже в старшей группе. А по программе «От рождения до школы» и «Детство» эта работа проводится только в подготовительной группе. Отличием программы «Детство» и «Радуга» от программы «От рождения до школы» является ещё и то, что детей знакомят с делением чисел (по программе «Детство» - в подготовительной группе, по программе «Радуга» - в старшей группе). Программа «Радуга» предусматривает знакомство детей и с действием умножения, знакомство с числовой прямой.

Рассмотрев три образовательные программы можно сказать – в каждой из этих программ есть похожие задачи, но содержание имеет свои особенности.

3. Методика формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста

Методика формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста предполагает использование разных методов и приёмов в зависимости от возраста детей и поставленных задач и имеет свои особенности.Так, во второй младшей группе (3-4 года)у детей формируются разнообразные практические действия с совокупностями однородных и разнородных предметов. Они направлены на усвоение детьми отношений «равенство» и «неравенство». Обучение в этот период характеризуется формированием количественных представлений, отражаемых в устной речи, так называемый дочисловой период [13, с.52].

У детей 3 лет формируются представления о единичности и множественности объектов и предметов. В процессе упражнений, объединяя предметы в совокупности и дробя целое на отдельные части, дети овладевают умением воспринимать в единстве каждый отдельный предмет и группу в целом. В дальнейшем при знакомстве с числами и их свойствами это помогает им освоить количественный состав чисел [21, с.152]. Дети учатся образовывать группы предметов по одному, а затем и по двум-трем признакам - цвет, форма, размер, назначение, подбирать пары предметов. При этом образованное определенным образом множество предметов дети воспринимают сак единое целое, представленное наглядно и состоящее из единичных предметов. Они убеждаются в том, что каждый из предметовобладает общими качественными признаками(цвет и форма, размер и цвет). Группировка предметов по признакам вырабатывает у детей умение сравнивать, осуществлять логические операции классификации. От понимания выделенных признаков как свойств предметов старшем дошкольном возрасте, дети переходят к освоению общности по количеству. У них формируется более полное представление о числах.
В процессе обучения у детей 3 лет далее формируется представление о предметных разночисленных совокупностях: один, много, «мало (в значении несколько). Они постепенно овладевают умением различать их, сравнивать, самостоятельно выделять в окружающей обстановке. Детей следует приучать объяснять способ выполнения действия, например: «Возьму еще один и положу...», «Стало...», «Становится меньше...», «Каждому зайцу дали по морковке...», «Всех кукол угостили конфетами...», «Этот кружок лишний, он мне не нужен...», «Квадратов не хватило, значит, их меньше...», «Постучал столько же раз...» [22].

Итак, в младшем дошкольном возрасте, в дочисловой период  обучения дети овладевают практическими приемами сравнения (наложение, приложение, составление пар), в результате которых осмысливаются математические отношения: «больше», «меньше», «поровну». На этой основе формируется умение выделять количественные признаки множеств предметов, видеть общность и  различия в предметах по выделенным признакам. 

Сформированное в младшем дошкольном возрасте (2 - 4 года)  умение анализировать множества предметов с точки зрения их численности, видеть последовательность и различия по качественным  и количественным признакам, представление о равенстве и неравенстве предметных групп, умение должным образом отвечать  на вопрос «сколько?» (столько же, здесь больше, чем там) является основой овладения счетом.

В среднем дошкольном возрасте (4-5 лет) в период дочислового обучения формируется чувственная основа дальнейшего овладения счетом: расчленённое восприятие совокупности, практическое установление поэлементного соответствия, общая количественная оценка, что стимулирует потребность в определении некоторого количества предметов конкретным числом.

Одна из основных задач обучения детей пятого года жизни состоит в формировании у них умения считать, выработке соответствующих навыков и на этой основе развитии представления о числе.

Счет как деятельность с конечными множествами включает следующие структурные компоненты: цель (выразить количество предметов числом), средства достижения (процесс счета, состоящий из ряда действий, отражающих степень освоения деятельности), результат (итоговое число).

Наибольшую сложность для детей представляет достижение результата счета, то есть итог, обобщение. Выработка умения отвечать на вопрос «сколько?» словами много, мало, один, два, столько же, поровну, чем…ускоряет процесс осмысления детьми значения итогового числа при счете.

В ходе упражнений по обучению счету необходимо сформировать у детей умение соотносить называемое по порядку число с одним из предметов, не пропускать предметы, числа и не называть их повторно. Дошкольники должны усвоить, что последнее из названных при счете чисел дает ответ на вопрос о количестве предметов в пересчитываемой группе.

Обучение счету путем поэлементного сопоставления двух предметных множеств помогает подготовить детей к познанию отношений между числами.

С целью предупреждения ошибок у детейдовольно длительный период обучения счету делят на два этапа.

Цель первого этапа состоит в ознакомлении детей с назначением счета, обучении умению отвечать на вопрос «сколько?», называя при этом последнее при счете число. Счет предметов, предварительное сравнение их осуществляет педагог, а дети, наблюдая процесс счета, отвечают на вопросы: «сколько всего кукол? По сколько всего мишек и кукол? Чего больше (меньше)?».

В ходе таких упражнений педагог переводит детей от дочислового сравнения к сравнению с помощью чисел: «Кукол две, а мишек три. Кукол меньше, чем мишек. Число два меньше числа три». Для закрепления материала достаточно провести четыре-пять таких упражнений на двух-трех занятиях.

Цель второго этапа обучения состоит в формировании у детей счетных умений, знакомстве с образованием каждого следующего числа на основе добавления предмета к одному из сравниваемых множеств. При ознакомлении со счетом для каждого нового числа показывается способ его получения. В ходе объяснения в сочетании с показом воспитатель знакомит детей с правилами счета: показывая рукой предметы, начиная от первого, то есть расположенного слева, одновременно следует называть последовательно числа. После называния числа, соответствующего последнему в ряду предмету, важно акцентировать внимание детей с помощью кругового движения рукой и ответить на вопрос «сколько?». Числа называются четко, строго в порядке следования, а сами пересчитываемые предметы не называются. Называть предметы следует лишь при подведении итога счета («всего пять квадратов»).

Обучение счету сопровождается беседами с детьми о назначении, применении счета в разных видах деятельности. Постепенно дошкольники переходят к пересчитыванию предметов быта, игрушек. Воспитатель должен стремиться к тому, чтобы счет использовался детьми повсеместно и число наряду с количественными и пространственными признаками предметов помогало бы детям лучше ориентироваться в окружающей действительности.

В средней группе дети овладевают порядковым счетом, то есть умением определять место какого-либо предмета среди других при условии расположения их в ряд. Для этого необходимо научиться различать вопросы «сколько?», «который?», «какой по порядку?».

Пониманию и осмыслению детьми порядкового числа способствует расположение предметов в строго определенном порядке. Это может быть набор матрешек разных размеров, лесенка, составленная из кубиков, пластилин и другие. Начальные упражнения по обучению детей порядковому счету следует проводить на наглядном материале, представляющем собой упорядоченный ряд. Для обучения создается определенная ситуация: матрешки идут на прогулку, дети пошли в лес и так далее [20, с.164].

Наиболее сложным для детей средней группы является счет по осязанию, а в дальнейшем и отсчет мелких предметов, не зафиксированных на плоскости. В процессе занятия счет с включением в деятельности различных анализаторов сочетается с отсчетом, воспроизведением различных совокупностей по образцу и заданному числу.

Отсчитывание определенной части множества осуществляется по тем же правилам, что и счет. По предложенному образцу отсчитывается такое же количество предметов на основе зрительного восприятия или по осязанию. Уточняется смысл слов сосчитал или отсчитал.

При сосчитывании определяется число элементов в множестве, а при отсчитывании из большего числа элементов берется определенная часть, тождественная образцу или названному числу [20, с.168].

Дифференциация действий сосчитывания и отсчитывания ведется по вопросам : «Что вы сделали: сосчитали или отсчитали? Как узнали сколько предметов надо было отсчитать? Сколько предметов отсчитали?».

Множества предметов располагают в пространстве в зависимости от поставленной цели таким образом, чтобы была необходимость соотносить их, перекладывать, накладывать один на другой для доказательства равночисленности, а в дальнейшем – неравночисленности.

Воспитанники средней группы в начале обобщают два множества по числу, а затеи три и четыре множества.

Итак, в средней группе под влиянием обучения формируется счетная деятельность, умение считать различные совокупности предметов в разных условиях и взаимосвязях. У детей вырабатывается понимание числа как количественной характеристики совокупности, умение выделять число как общий признак свойственный нескольким множествам. Дети постепенно овладевают умением сравнивать множества по количеству образующих их элементов путем соотнесения их один к одному и по числу.

В старшей группе работа направлена на развитие количественных представлений с учетом знаний детей, усвоенных в средней группе. Продолжается работа по формированию представлений о численности (количественная характеристика) множеств о способах образования числа, количественной оценке величины путем изменения, дети осваивают приемы счета предметов, звуков, движений по осязанию в пределах 10, определяют количества условных мерок при измерении объектов, объемов жидкостей, масс сыпучих веществ.

Дети учатся правильно строить и использовать в речи простые и сложные предложения, краткие и точные выражения, объяснять полученный результат, отвечая на вопросы: «Что ты сделал? Что узнал? Как ты выполнил задание? Как ты будешь выполнять задание?» Усиливается внимание к осмыслению вопросов со словами «сколько?», «который?», адресованных сверстникам, воспитателю.

В старшей группе (5-6 лет) дети уже могут делить целое (предмет, геометрическую фигуру) на 2 и 4 равные части, устанавливать зависимость между частью и целым, частями целого; овладевают умением пользоваться в речи понятиями (словами), отражающими количественные отношения: поровну, столько же, одинаково по количеству, такое же число, не поровну, число, цифра, наложение, приложение, составление пар, часть, целое, половина, четверть.В ходе обучения воспитатель в своей речи использует слова и выражения, смысл которых понятен детям: количество, сравни по количеству, отсчитай, поскольку, признак поровну, столько, цифра, наложение.

В процессе применения педагогом разнообразных способов сравнения предметных множеств дети учатся образовывать числа путем увеличения или уменьшения данного числа на единицу, уравнивать множества по числу предметов при условии количественных различий между ними в 1, 2 и 3 элемента. В средней группе, дети отсчитывают количество предметов по названному числу или образцу (числовая фигура, карточка) или больше (меньше) на единицу, упражняются в обобщении по числу предметов ряда конкретных множеств, отличающихся пространственно-качественными признаками (форма, расположение, направление счета) на основе восприятия различными анализаторами. С целью подготовки детей к счету групп их обучают умению разбивать совокупности в 4, 6, 8, 9,  10 предметов на группы  по 2, 3, 4, 5 предметов, определять количество групп и число (цвет и форма, размер и цвет).

Дети знакомятся с количественным составом чисел из единиц в пределах 5 на конкретных предметах и в процессе измерения, что уточняет и конкретизирует представление о числе, единице, месте числа в натуральном ряду чисел. В старшем дошкольном возрасте продолжается обучение детей различать количественное и порядковое значение числа, вырабатываются умения применять количественный и порядковый счет в практической деятельности. В ходе сравнения множеств и чисел дети знакомятся с цифрами от 0 до 9. Учатся относить их к числам, различать, использовать в играх.

В старшей группе дети упражняются в счете множеств, воспринимаемых различными анализаторами: предметов, звуков, движений. В сравнении со средней группой усложняется характер пересчитываемых звуков, движений, материал для счета на ощупь, возрастает самостоятельность детей. Дети считают количество громких и тихих звуков с разными интервалами, разнообразные движения, предметы, нанизанные на проволоку, зашитые в мешочек, нашитые на карточку (считают, спрятав их за спину) и т. д. Дети считают звуки (когда источник звука отделен ширмой), предметы по осязанию с открытыми глазами и закрытыми глазами, сравнивают полученные числа, отсчитывают предметы по заданному числу и образцу, запоминают числа и качественные признаки предметов (отсчитать 3 красных и 8 зеленых карандашей, сосчитать, сколько окон в комнате и сколько дверей).

В дальнейшем педагог упражняет детей в делении путем складывания с разрезанием и последующим склеиванием частей для воссоздания целого. С целью уточнения зависимостей целого и частей используется прием деления на равные и неравные части и воссоздания целого из них. Педагог, указывая на часть, спрашивает детей, можно ли ее назвать частью целого: половиной, одной четвертой частью, предлагает использовать практические приемы для убеждения в этом: наложение частей, воссоздание целого.
Дети, обучаясь делению предметов (яблока, пряника) в бытовых для них ситуациях на равные и неравные части путем разрезания, уточняют, что только при делении на равные части каждую из них можно назвать долей. В игровой ситуации при соблюдении требований к делению каждый из участников получает предназначенную ему долю целого предмета.
Итак, количественные представления у детей 5 - 6 лет, сформированные под влиянием обучения, носят более обобщенный характер, чем в средней группе. Дошкольники пересчитывают предметы независимо от их внешних признаков, обобщают по числу. У них накапливается опыт счета отдельных предметов, групп, использования условных мерок.Усвоенные детьми умения сравнивать числа на наглядной основе, уравнивать группы предметов по числу свидетельствуют о сформированности у них представлений об отношениях между числами натурального ряда.
Счет, сравнение, измерение, элементарные действия над числами (уменьшение, увеличение на единицу) становятся доступными детям в разных видах их учебной и самостоятельной деятельности [20, с.179].

В содержании работы по формированию количественных представлений в подготовительной к школе группе (6-7 лет) можно выделить следующие направления.

Развитие счетной , измерительной деятельности: точности и быстроты счета вы пределах 20, воспроизведения количества предметов в большем и меньшем на один от заданного числа; подготовка к усвоению чисел на базе измерения, использование цифр в разных видах игровой и бытовой деятельности.

Совершенствование умение сравнивать числа, понимание относительности числа: при сравнении чисел 4 и 5 получается, что 5 больше, чем 4, а при сравнении чисел 5 и 6 – 5 меньше 6. Уточнение представлений о закономерностях образования чисел натурального ряда, количественном составе из единиц, составление чисел до 5 из двух меньших.

Формирование представлений об отношениях «целое-часть» на совокупностях, состоящих из отдельных предметов, при делении предметов на равные части, в ходе измерения условной меркой.

Увеличение и уменьшение чисел в пределах 20 на единицу, подготовка к усвоению арифметических действий сложения и вычитания. Решение простых арифметических задач, используя при этом вычислительные приемы увеличения и уменьшения на единицу.

В подготовительной к школе группе совершенствуются умения, сформированные в процессе обучения детей в старшей группе. Дошкольники выполняют различные практические действия, сравнивают группы предметов, числа на наглядной основе и устно определяют равенство нескольких групп по числу (столько же, такое же число), делают вывод о неравенстве (если одних предметов больше, то других меньше) и так далее. Они упражняются в кратком выражении мыслей, развернутом пояснении способов действий, обосновании полученного результата.

Для уточнения знаний о разностных отношениях между смежными числами проводятся упражнения на последовательное увеличение или уменьшение чисел на единицу, составление «числовой лесенки».

Воспитатель, начиная с одного предмета, последовательно добавляет к нему еще по одному, каждый раз спрашивая детей о количестве, сколько надо добавить, чтобы предметов стало 5, получить следующее число, число больше на единицу числа 6 и так далее [20, с.181].

Особое значение имеют аналогичные упражнения на последовательное уменьшение чисел.

После уточнения общего количества убирается один предмет и задается вопрос: «Сколько осталось?» Вопросы варьируются: «Сейчас восемь предметов. Сколько надо убрать, чтобы их осталось семь? Сколько предметов останется, если уберем еще один?»

Такие упражнения способствуют осмыслению детьми отношений между числами в обратном порядке, переходу к устному произнесению чисел, «обратному счету».

«Числовая лесенка» как модель натурального ряда используется для закрепления последовательности, способа образования чисел, отношений между числами. Дети начинают определять место меньшего из двух сравниваемых чисел словом «до», большего - «после».

В подготовительной к школе группе изучается количественный состав чисел из единиц в пределах 20 и состав чисел до 10 из двух меньших, что является непосредственной подготовкой к усвоению арифметических действий и приемов вычислений.

Состав чисел из единиц закрепляется на разнородных предметах. Детям предлагается взять определенное количество разных предметов и сообщить, из скольких единиц состоит это число. В ходе сравнения двух чисел подчеркивается состав чисел, чем и объясняется различие между ними, устно называется количество единиц в каждом числе.

Усложнением является ознакомление детей с составом чисел до 10 из двух, меньших данного числа. Дети, используя наглядный материал, учатся раскладывать группы в 3,4,5 предметов на две меньшие и , наоборот, из двух меньших групп предметов получать большую. От практических действий переходят к рассмотрению состава числа.

Воспитатель предлагает ребенку взять три квадрата двух цветов. Он спрашивает : «Сколько красных и синих квадратов ты взял?(Два красных и один синий) Сколько синих и красных квадратов ты возьмешь, чтобы их было три? (Один синий и два красных.) Сколько всего квадратов?». Делается вывод, что число 3 можно составить так: 2 и 1, 1 и 2.

Формирование у детей в подготовительной группе представления об общих зависимостях между целым и частью на разном содержании (на совокупностях предметов, делении предметов на равные части, измерении) способствует совершенствованию количественных представлений, готовит к усвоению соответствующих понятий к школе.

Обучение детей счету групп предметов сопровождается делением совокупности на группы, выделением отношений «целое-часть», зависимости: чем больше по количеству целое (совокупность), тем больше предметов в группе (части). Выделяется и более сложная зависимость между количеством групп , на которое делится целое, и количеством предметов в группе.

Дети делят совокупность из шести предметов на две группы , например раскладываются шарики в две коробочки. Затем другую совокупность раскладывают тоже в две коробочки. Выясняют, что количество предметов в группе зависит от их общего количества.

В другой раз берутся две равные совокупности: шесть синих и шесть красных шариков. Синие шары раскладываются в две коробки, а красные- в три коробки. Выясняется количество полученных групп в первом и во втором случае, предметов в группе, выявляется зависимость количества предметов в группе от количества этих групп.

Такие же зависимости дети выделяют и при делении разных предметов, геометрических фигур на 2, 4, 8, равных частей путем складывания их с последующим разрезанием [20, с.182].

В подготовительной к школе группе возможно и целесообразно введение символики для обозначения отношений «больше», «меньше», «равно».

Освоение детьми элементов символики способствует осмыслению ими количественных отношений в натуральном ряду чисел.

Дети обозначают знаками отношения между двумя числами (1<2,2>1), затем несколькими (5<6<7,7>6>5),всеми числами ряда в пределах 10. В дальнейшем читают готовую запись, иллюстрируют предметную ситуацию; сравнивают с помощью знаков числа с различием в 2, 4 и больше единиц (5<10, 9>4).

Дети подготовительной группы осознают отношения между числами натурального ряда, о чем свидетельствует называние ими большего или меньшего на единицу числа, нахождение пропущенного, «соседнего» числа.

Действия сложения и вычитания вводятся по аналогии с увеличением или уменьшением числа на 1. Воспитатель предлагает увеличить число 2 на единицу. Выясняется, что для этого надо назвать число, которое больше данного на один, т.е. следующее число. Показывается запись такого увеличения с помощью знаков. Аналогично рассматривается уменьшение числа на единицу.

Знаковая модель арифметического действия помогает детям осмыслить его сущность.

Итак, в подготовительной к школе группе дети усваивают закономерности образования чисел натурального ряда, могут практически, а иногда и логически установить равенство и неравенство чисел, обосновать последовательность построения чисел; эти умения и навыки обеспечивают преемственную связь в подготовке детей к усвоению школьной математики [20, с.183].

В процессе математического и общего умственного развития детей подготовительной группы существенное место занимает обучение их решению и составлению простых арифметических задач. Обучение дошкольников решению задач проходит через ряд взаимосвязанных между собой этапов.

Первый этап – подготовительный. Основная цель этого этапа – организовать систему упражнений по выполнению операций над множествами. С помощью операций над множествами раскрывается отношение «часть-целое», доводится до понимания смысл выражений «больше на…», «меньше на…» [20, с.188].

На втором этапе нужно учить детей составлять задачи и подводить к усвоению их структуры. Детей учат устанавливать связи между данными и искомыми и на этой основе выбирать для решения необходимое арифметическое действие. Воспитатель знакомит детей со словом «задача» и при разборе составленной задачи подчеркивает необходимость числовых данных и вопросов «Что известно?», «Что нужно узнать?».

На этом этапе обучения составляются такие задачи, в которых вторым слагаемым или вычитаемым является число 1. Это важно учитывать, чтобы не затруднять детей поиском способов решения задачи.Прибавить или вычесть число 1 они могут на основе имеющихся у них знаний об образовании последующего и предыдущего числа. Например, воспитатель просит ребенка принести и поставить в стакан семь флажков, а в другой – один флажок. Эти действия и будут содержанием задачи, которую составляет воспитатель. Текст задачи произносится так, чтобы было четко отделено условие, вопрос и числовые данные. Составленную задачу повторяют двое-трое детей. Воспитатель при этом должен следить, чтобы дети не забывали числовые данные, правильно формулировали вопрос.

При обучении дошкольников составлению задач важно показать, чем отличается задача от рассказа, загадки, подчеркнуть значение и характер вопроса.

Для усвоения значения и характера вопроса в задаче можно применить такой прием: к условию задачи, составленной детьми («С одной стороны стола поставили двух девочек, а с другой стороны одного мальчика»), ставится вопрос не арифметического характера («Как зовут этих детей?»). Дети замечают, что задача не получилась. Далее можно предложить им самим поставить такой вопрос, чтобы было понятно, что это задача. Следует выслушать разные варианты вопросов и отметить, что все начинаются со слова «сколько».

Основными элементами задачи являются условие и вопрос. Детям надо объяснить, что решать задачу – это значит понять и рассказать, какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы получить ответ. Таким образом, структура задачи включает четыре компонента: условие, вопрос, решение, ответ. Выяснив структуру задачи, дети легко переходят к выделению в ней отдельных частей [20, с.190].

Так же нужно научить детей анализировать задачи, устанавливать отношения между данными и искомым. На этой основе можно уже научиться формулировать и записывать арифметическое действие, пользуясь цифрами и знаками +, -, =.

Поскольку задача представляет собой единство целого и части, с этой позиции и следует подводить детей к ее анализу.

Итак, на втором этапе работы над задачами дети должны: а) научиться составлять задачи; б) понимать их отличие от рассказа и загадки; в) понимать структуру задачи; г) уметь анализировать задачи, устанавливая отношения между данными и искомым.

Учить детей формулировать арифметические действия сложения и вычитания – задача третьего этапа.

Подводя итог можно сказать следующее - дети должны уметь составлять задачи , различать в них условия и вопрос, выделять числовые данные, устанавливать количественные отношения между ними, правильно выбирать и формулировать арифметическое действие, пользуясь приемами вычисления, находить результат действия и давать полный ответ на вопрос задачи.

Таким образом, использование разных методов и приемов зависит от возраста воспитанников и задач, которые решаются в процессе обучения.

4. Палочки Кюизенера как средство формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста

На сегодняшний день существует разнообразный занимательный математический материал, целью которого является разностороннее математическое развитие ребенка. Особая роль при этом отводится нестандартным дидактическим средствам, к которым относится широко известный во всем мире дидактический материал, разработанный бельгийским математиком Х. Кюизенером. Основные особенности этого дидактического материала, как подчеркивает Р.А. Непомнящая - абстрактность, универсальность, высокая эффективность [16, с.52].

Велика их роль в реализации принципа наглядности, представлении сложных абстрактных математических понятий в доступной детям форме, в овладении способами действий, необходимых для возникновения у детей элементарных математических представлений. Важны они для накопления чувственного опыта, постепенного перехода от материального к материализованному, от конкретного к абстрактному, для развития желания овладеть числом, счетом, измерением, простейшими вычислениями, решения образовательных, воспитательных, развивающих задач.

Р.А. Непомнящая, отмечает, что палочки Х. Кюизенера как дидактическое средство в полной мере соответствуют специфике и особенностям элементарных математических представлений, формируемых у дошкольников, а также их возрастным возможностям, уровню развития детского мышления, в основном наглядно-действенного и наглядно-образного. В мышлении ребенка отражается, прежде всего, то, что вначале совершается в практических действиях с конкретными предметами. Работа с палочками позволяет перевести практические, внешние действия во внутренний план, создать полное, отчетливое и в то же время достаточно обобщенное представление о понятии.

Е.А. Носова в методическом пособии «Логика и математика для дошкольников» отмечает, что с математической точки зрения, палочки - это множество, на котором легко обнаруживаются отношения эквивалентности и порядка. В этом множестве скрыты многочисленные математические ситуации. Цвет и величина, моделируя число, подводят детей к пониманию различных абстрактных понятий, возникающих в мышлении ребенка как результат его самостоятельной практической деятельности [16, с.35].

С помощью цветных палочек детей также легко подвести к осознанию соотношений «больше - меньше», «больше - меньше на...», познакомить с транзитивностью как свойством отношений, научить делить целое на части и измерять объекты, поупражнять их в запоминании числа из единиц и двух меньших чисел, помочь овладеть арифметическими действиями сложения, вычитания, умножения и деления.

Палочки Х. Кюизенера – это набор из цветных палочек сечением 1см и длиной 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 см. Эти палочки представляют собой следующие классы чисел: класс белых чисел образует число один. Он представлен белыми кубиками. Класс красных чисел – числа, кратные двум (2,4,8), это палочки розового (2), красного (4), вишневого (8) цветов. Класс синих чисел – числа, кратные трем (3,6,9), это палочки голубого (3), фиолетового (6), синего (9) цветов. Класс желтых чисел – числа, кратные пяти (5,10), он представлен палочками желтого (5) и оранжевого (10) цвета. Класс черных чисел образует число семь, это палочки черного цвета. Палочки одинаковой длины окрашены в один и тот же цвет.

Существует и плоский вариант палочек, состоящий из полосок 2x2 см, 2x4 см, 2x6 см, 2x8 см, 2x10 см, 2x12 см, 2x14 см, 2x16 см, 2x18 см, 2x20 см. Изготавливаются полоски из плотного цветного картона или пластика. Окрашиваются они так же, как и палочки. Цветные полоски просты и удобны в работе. В отличие от палочек, они крупнее, более устойчивы, изготовление их не требует особых затрат, а обучающие возможности и эффективность ничуть не меньше, чем у палочек. Их целесообразно предлагать в начале работы и младшим детям [23].

Е.А. Носова предлагает следующие задания на развитие количественных представлений. В игре «Пассажиры и поезд» педагог предлагает детям построить небольшой поезд из цветных палочек. Например, из розовой, голубой, красной и желтой. Прежде чем посадить в вагоны пассажиров, детям предлагают узнать, сколько мест в каждом вагончике. Дети находят ответ практическим путем: берут белые палочки и накладывают их на вагончики каждого цвета. Белая палочка - это одно место. В ходе беседы детей подводят к пониманию того, что у каждой палочки есть свое число. Данное задание подводит детей к пониманию состава чисел из единиц. Далее можно разнообразить это задание: посадить в каждый вагончик столько пассажиров, какое число обозначает данная палочка, расставить вагоны по порядку, пронумеровать их.

В игровом задании «Как говорят числа» педагог предлагает определить, какая палочка показывает большее, а какая меньшее число? При этом дети запоминают числовое значение цветных палочек. Проверить свое предположение дети могут, наложив на цветные палочки белые кубики, которые обозначают число один. Кроме этого, полезно упражнение «Назови число, найди палочку». Ведущий называет число, а игроки находят соответствующую палочку. Сначала числа называют по порядку, а затем вразбивку. Предлагают детям к цветному числу подобрать цифру, затем – соответствующее количество предметов [24].

Полезны для детей игры и упражнения на составление чисел из двух меньших. В игре «Построим домик» дети подбирают кирпичики нужного размера. На палочку определенной длины надо положить две меньшие палочки так, чтобы они совпали по длине. При этом педагог уточняет, из каких двух палочек состоит, например, число шесть. Как еще можно составить это число? В данной игре дети представляют разные варианты состава числа из двух меньших. Аналогичное задание предлагается детям в игре «Коврик». Можно варьировать данное задание, предложив детям выложить коврик из палочек одного класса, назвать, какие они обозначают числа. Затем дети выкладывают бахрому из белых палочек [2, с.28].

В игре «Узнай номера домиков» дети обозначают номера домиков по длине дорожек (палочек). При этом рекомендуется использовать прием взаимопроверки. Игра «Найди пропущенную ступеньку» способствует усвоению знаний о величинах и запоминанию числового значения палочек разного цвета.

Задания на понимание детьми сущности арифметических действий тесно связаны с упражнениями и играми на составление чисел из двух меньших. Освоив состав чисел из двух меньших, дети легко переходят к решению арифметических задач. Детям предлагают составить между собой две палочки. Для этого надо положить их рядом. Затем надо найти палочку, равную сумме двух палочек.

Итак, цветные палочки предоставляют замечательную возможность конструировать модель изучаемого математического понятия и решать следующие задачи: они знакомят детей с последовательностью чисел натурального ряда, с чётными, нечётными числами, помогают при построении горизонтальной, вертикальной и симметричной цветных лесенок. При помощи палочек Кюизенера дети легче осваивают прямой и обратный счет, знакомятся с составом числа (из единиц и двух меньших чисел). Так же они помогают овладеть арифметическими действиями сложения, вычитания, умножения и деления, освоение понятия итогового числа. Палочки развивают творческие способности, воображение, фантазию, способности к моделированию и конструированию, умению создавать различные конфигурации, воссоздавать модели по образцу.

Заключение

Рассмотрев теоретические основы проблемы формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста, мы изучили психолого-педагогические основы формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста, в частности, познакомились с ключевыми понятиями данного направления, такими, как «представления», «количество» и счет. Формирование у детей дошкольного возраста количественных представлений в дошкольной педагогике рассматривается как составная часть математического, и, прежде всего, интеллектуального развития ребенка. Доказательством этому служат исследования следующих отечественных и зарубежных педагогов и психологов: Л. К. Шлегер, Е. И. Тихеевой, Ф.Н.Блехер, Ж.Пиаже, Л.М. Леушиной. В частности, Л. М. Леушина была основоположником методики по формированию количественных представлений у детей дошкольного возраста. Она разработала систему обучения счету в детском саду. Принципы и методы, созданные Л.М.Леушиной, и в настоящее время служат основой при формировании количественного счета у детей дошкольного возраста. Концепция математического развития дошкольников, созданная Леушиной, служит источником для многих современных исследований.

Содержание и задачи математического развития дошкольников заложены в образовательных программах, созданных для обучения и воспитания детей дошкольного возраста.

Мы проанализировали и сравнили разделы математического развития и программные задачи по формированию представлений о количестве и счете в вариативных образовательных программах дошкольного образования, таких, как: « От рождения до школы » под редакцией Н.Е. Вераксы, Т.С. Комаровой, М.А. Васильевой, «Детство» под редакцией Т. И. Бабаевой, А. Г. Гогоберидзе, 3. А. Михайловой, «Радуга» под редакцией Т. А. Дороновой. Можно отметить, что в программе «От рождения до школы» и «Детство» область, в которую включено обучение детей математике, названо одинаково «Познавательное развитие». Задачи по каждой возрастной группе в этих программах схожи, последовательны и систематичны. В программе «Радуга» область по математическому развитию называется «Познание», задачи более сложные для каждого возраста, чем в двух вышеперечисленных программах.

Рассматривая и изучая методику формирования количественных представлений у детей дошкольного возраста, мы познакомились с методами и приемами, используемыми воспитателем для формирования количественных представлений. Методы и приемы различаются в разных возрастных группах. Так, если с малышами педагог использует больше наглядных и практических методов (объяснение, вопросы к детям, показ, упражнения), учитывая психолого-педагогические особенности развития младших дошкольников, то у старших дошкольников воспитатель использует в основном, словесные и практические методы, такие, как объяснение, инструкция, дидактические игры.

На сегодняшний день существует разнообразный занимательный математический материал, целью которого является разностороннее математическое развитие ребенка. Особая роль при этом отводится нестандартным дидактическим средствам. В нашей работе мы изучили такой дидактический материал, как цветные палочки, разработанные бельгийским математиком Х. Кюизенером. Палочки Кюизенера решают следующие задачи: они знакомят детей с последовательностью чисел натурального ряда, с чётными, нечётными числами, помогают при построении горизонтальной, вертикальной и симметричной цветных лесенок. При помощи палочек Кюизенера дети легче осваивают прямой и обратный счет, знакомятся с составом числа (из единиц и двух меньших чисел). Так же они помогают овладеть арифметическими действиями сложения, вычитания, умножения и деления, освоение понятия итогового числа.

Таким образом, изучив теоретические основы формирования количественных представлений, мы пришли к выводу, что недостаточно сформированные количественные представления не позволят в полной мере обеспечить развитие мыслительных и речевых способностей, а значит, как следствие, дошкольник не будет готов к обучению в школе.

Список используемой литературы

1.Белошистая, А.В. Формирование и развитие математических способностей дошкольников [Текст]/ А.В. Белошистая. – М.: Владос, 2004.

2.Блехер, Ф.Н. Счет и число в детском саду [Текст]: методическое письмо / Ф.Н. Блехер. - М.: 1945. - С.8.

3.Вахильчук, О.В. Использование палочек Кюизенера в предматематической подготовке дошкольников [Текст] / О.В. Вахильчук // IV республиканская научно-практическая Интернет-конференция студентов, учащихся, молодых исследователей «Альтернант – 2014» в ГрГУ имени Янки Купалы. – Гродно, 2014.

4.Веракса Н.Е. От рождения до школы [Текст]: основная образовательная программа дошкольного образования / Н.Е. Веракса [и др.]. - М.: Мозаика – Синтез, 2010.

5.Детство [Текст]: примерная образовательная программа дошкольного образования / Т.П. Бабаева, А. Г. Гогоберидзе, О.В. Солнцева [и др.]. - СПб.: Детство – пресс, Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2014. – 321 с.

6.Ефремова, Т.Ф. Новый толковый словарь [Текст] / Т.Ф. Ефремова. - М.: Дрофа: Русский язык, 2000.

7.Калиниченко, А.В. Обучение математике детей дошкольного возраста [Текст] /А. В. Калиниченко.- М.: Айрис – пресс, 2005.- 224с.

8.Козлова, С.А. Дошкольная педагогика [Текст] / С.А. Козлова, Т.А. Куликова. – М.: Академия, 2000.-385с.

9.Колесникова, Е.В. Я начинаю считать [Текст]: рабочая тетрадь для детей 3 – 4 лет / Е.В. Колесникова.- М.: Сфера,2010.- 16с.

10.Леушина, А. М. Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста [Текст] / А.М. Леушина. - М., 1994.

11.Математика от 3 до 6 [Текст] / сост. З.В. Михайлова, Э.Н. Иоффе.- СПб., 2004.

12.Математическая подготовка детей в дошкольных учреждениях [Текст] /сост. Данилова В.В.-М.:Сфера,2000.-86с.

13.Метлина, Л.С. Занятия по математике в детском саду [Текст]/ Л.С. Метлина.- М.: Детство- Пресс,2004.- 284с.

14.Михайлова, 3. А. Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста [Текст] / З.А. Михайлова, Е.Д. Носова, А.А. Столяр [и др.]. – М., СПб: Детство-пресс, 2008. - 392 с.

15.Морозова, М. Счёт в жизни маленьких детей [Текст] / М. Морозова, Е. Тихеева. - М., 2002.

16. Носова, Е.А. Логика и математика для дошкольников [Текст]: методическое пособие / Е.А. Носова, Р.Л. Непомнящая. - СПб.: Акцидент, 1996. - 79 с.: ил. - (Библиотека программы «Детство»).

17.Ожегов, С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка [Текст] / С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. - М.: ИТИ Технологии, 2003.

18.Радуга [Текст]: программа воспитания, образования и развития детей от 2 до 7 лет в условиях детского сада / Т. И. Гризик, Т. Н. Доронова, Е. В. Соловьёва, С. Г. Якобсон; науч. рук. Е. В. Соловьёва. — М.: Просвещение, 2010. — 111 с.

19.Столяр, А.А. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников [Текст]/ А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1998.- 280с.

20.Столяр, А.А. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников [Текст] / А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1988.

21.Тарунтаева, Т.В. Развитие количественных математических представлений у дошкольников [Текст] / Т.В. Тарунтаева. - М., 2000.

22.Щербакова, Е.И. Методика обучения математике в детском саду [Текст]: учеб.пособие / Е.И. Щербакова. – М.: Издательский центр “Академия”, 2004.

Интернет-ресурсы

23.http://nsportal.ru/detskiy-sad/raznoe/2012/11/09/ispolzovanie-palochek-kh-kyuizenera-v-obrazovatelnom-protsesse-dou-kakх / использование палочек Кюизенера в образовательном процессе

24.http://www.maam.ru/detskijsad/ispolzovanie-palochek-h-kyuizenera-v-obrazovatelnom-procese-dou-kak-sredstva-razvitija-kolichestvenyh-predstavlenii.html / использование палочек Кюизенера в ДОУ как средства развития количественных представлений

25.http://www.vedu.ru/bigencdic/ Энциклопедический словарь

26.http://словарь-синонимов.рф /Словарь синонимов

27.http://www.informika.ru исследования Ж.Пиаже.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/233631-teoreticheskie-osnovy-matematicheskogo-razvit