Инварианты

Старцева Татьяна Александровна

муниципальное общеобразовательное учреждение средняя школа № 26

г. Волгограда, учитель математики и информатики.

Внеклассное занятие по теме: «Инварианты» для учащихся 6-7 классов.

I. Работа по теме занятия

Учитель вводит понятие инварианта: инвариантомнекоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании. В качестве инва­рианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность) и остаток от деления. Хотя встречаются и другие стандартныеинварианты: перестановки, раскраски и т. п. Причем применение четности — одна из наиболее часто встречающихся идей при решении олимпиадных задач.

Вспомнить определения четного и нечетного числа. Особое внимание надо уделить абстрактному понятию четности, объяснить, что означает термин «разная четность». Рассмотреть несколько простых примеров. Например, число х + 2 имеет ту же четность, что и число х(или оба четные, или оба нечетные), а при прибавлении единицы четность числа меняется. Далее можно сформулировать два важных общих утверждения, на которых основано применение идеи четности и нечетности:

1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Привести примеры:

1. Число 1 + 2 + ... + 10 — нечетное, так как в сумме 5 нечетных слагаемых.

2. Число 3 + 5 + 7 + 9+11 + 13 — число четное, так как в сумме 6 нечетных слагаемых.

2. Знак произведения нескольких (отличных от нуля) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Примеры:

Число (—1) • (—2) • (—3) • (—4) положительно, так как в произведении четное число отрицательных сомножителей.

Число (-1) • 2 • (—3) • 4 • (—5) отрицательно, так как в произведении нечетное число отрицательных сомножителей.

После этого учитель разбирает с учащимися подробно решение следующих задач.

1. Учитель написал на листке бумаги число 10. 15 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Прежде чем разобрать решение данной задачи, предложить учащимся выполнить данную операцию (при этом в зависимости от числа учащихся можно изменить числа 15 и 10). Заметить закономерность: после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится нечетным; после второго — четным; после третьего — нечетным. Тогда после пятнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.

2. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа, и если они одинаковые, то допишите к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?

Решение.Сумма 15 исходных чисел равна 7. А 7 — числонечетное. Рассмотрим, какая сумма чисел будет получаться после выполнения операции. Если вычеркнем 2 нуля, то после дописывания нуля на доске будет 7 нулей и 7 единиц. Сумма этих 14 чисел будет нечетная. Если вычеркнем 2 единицы, то на доске останется после дописывания нуля 9 нулей и 5 единиц. Сумма данных 14 чисел будет нечетной. Наконец, вычеркивая нуль и единицу и приписывая единицу, мы получим на доске 7 нулей и 7 единиц, сумма которых снова является нечетным числом. Таким образом, мы замечаем, что после выполнения данной операции на доске получается на I число меньше, причем сумма оставшихся чисел все время остается нечетной. Так как 1 — нечетное число, а 0 — четное, то на доске после выполнения 14 раз указанной операции получается нечетное число, т. е. 1.

Вывод.Инвариантом в задачах 1 и 2 являлась четность суммы чисел (она нечетная).

3.Все костяшки домино выложены в цепь. На одном конце цепи оказалось 3 очка. Сколько очков на другом конце?

Решение.Всего имеется семь костяшек с тройкой на конце: 0-3, 1-3, 2-3, 3-3, 4-3, 5-3, 6-3. Костяшка 3-3 имеет«тройку» на обоих концах. Всего получается восемь «троек». Так как при игре в домино в цепи они должны располагаться парами, то на другом конце цепи будет 3 очка.

Вывод.При решении аналогичных задач полезно иногда объекты разбивать на пары. Инвариантом здесь является четность количества троек на всех костяшках.

4.Квадрат5x5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.

Решение.Найдем произведение всех чисел в квадрате. Таккак произведение чисел в каждой строке отрицательно, то и произведение всех чисел будет отрицательно. Но с другой стороны, произведение всех чисел равно и произведению чисел в столбцах. А так как произведение всех чисел отрицательно, то найдется столбец, в котором произведение чисел являетсяотрицательным.

Вывод.Инвариант — знак произведения чисел (он отрицательный).

II. Устные упражнения

Какие часы чаще показывают точное время: те, которые отстают на 1 минуту, или те, которые стоят?

На дереве сидело 20 ворон. Охотник выстрелил и убил 2 ворон. Сколько ворон осталось на дереве?

Математик, оказавшись в небольшом городке, решил подстричься. В городке было лишь две парикмахерских. Заглянув к одному мастеру, он увидел, что в салоне грязно, сам мастер одет неряшливо, плохо выбрит и небрежно подстрижен. В салоне второго мастера все было чисто, а сам владелец был безукоризненно одет, чисто выбрит и аккуратно подстрижен. Тем не менее, математик отправился стричься к первому парикмахеру. Почему?

III.Самостоятельная работа учащихся

Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет достоинством 1 и 5 рублей?

Конь вышел с поля а1шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.

2007 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли можно их расставить по росту, если за один ход разрешается перестав­лять только 2 людей, стоящих через одного?

16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

IV.Домашнее задание

На столе стоят 6 стаканов. Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?

Мише учитель математики поставил в дневник отметку «2». Миша, желая скрыть от мамы данный факт, порвал свой дневник на 4 части. Этого ему показалось мало, поэтому некоторые из этих частей (может быть, и не все) он порвал на 4 части и так далее. Мама нашла 20 «кусочков» дневника. Все ли куски нашла мама?

Разрежьте квадрат на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихованному квадрату

(рис. 1).

В зависимости от класса и уровня обучаемости учащихся всего для самостоятельной работы учащимся можно предложить от 3 до 5 задач. При таком подходе каждый ученик имеет возможность проявить свою инициативу, самостоятельность, способность к творчеству.

По ходу занятия учитель может делать обобщения, формулировать выводы.

В качестве домашнего задания (как показывает опыт, лучше давать 3 задачи: одну очень легкую на рассмотренный материал, вторую — посложнее, но тоже на рассматриваемый материал, а третью — на тему следующего занятия или наповторение).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/239671-invarianty