Открытый урок на тему: «Решение тригонометрических уравнений»

Жумаханова Баян Нуркеновна

КГКП « Павлодарский колледж транспорта и коммуникаций»,

г.Павлодар, преподаватель математики

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Методическая цель: использование частично – поискового метода обучения на уроке математики.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, парная.

Метод обучения: частично – поисковый. Тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Цели обучения:

Образовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля (самоконтроля) усвоение знаний и умений, отработать навыки решения всех тригонометрических уравнений.

Развивающие: способствовать формированию умения принимать приёмы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие математического кругозора, мышления, внимания, памяти.

Воспитательная: содействовать воспитанию интереса к математике и её приложениям, активности, мобильности, умения обобщаться, общей культуры.

Материальное обеспечение урока: системно – обобщающая схема, динамические блоки тригонометрических уравнений; кубик – «экзаменатор»; шкала оценок; цветные мелки; указка. У учащихся на партах листы учёта знаний, системно – обобщающая схема, по четыре чистых подписанных листочка и копирка, таблицы по тригонометрии.

Ход урока.

Ориентировочно – мотивационный блок.

Объявление темы и цели рока.

Инструктаж урока.

Проверка домашнего задания.

Сообщения учащихся:

Цель:содействовать воспитания интереса к математике и её приложениям.

Доклад об истории развития тригонометрии.

Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений.

О прикладной направленности изучаемой темы.

Мотивация: развить интерес учащихся к урокам математики через исторические факты.

Для проведения урока создаётся специальная среда:

-выслушивание мнения учащихся и анализировать;

-давать возможность высказаться каждому;

-отмечать ценность мнения каждого учащегося и выбирать рациональный ответ;

Операционно-исполнительный блок:

Тест через копирку с самопроверкой;

Система теоретического материала:

Устные задания на определения вида простейших тригонометрических уравнений (работа с плакатами)

Цель: обобщение знаний по видам простейших тригонометрических уравнений.

Решение однородных уравнений.

Учебная серия «Классификация тригонометрических уравнений»

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

Динамические блоки уравнений на сравнение, обобщение и выделения главного, раскрытие идеи решения.

Тестовые задания на нахождение решения уравнений.

Цель: расширение математического кругозора.

Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (с самопроверкой)

Проверка самостоятельной работой.

8. Рефлексия (этап всесторонней проверки знаний).

Домашнее задание.

Подведение итога урока.

Содержание урока

Организационный момент

Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

Этап проверки домашнего задания

Задачи: установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся в области решения тригонометрических уравнений.

Проверка домашнего задания у доски. Письменно решить:

Решение:

1.

2.

3.

Сообщения

Цель: содействовать воспитанию интереса к математике и её приложениям.

Доклад об истории развития тригонометрии (выступает подготовленный учащийся).

Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений.

О прикладной направленности изучаемой темы расскажет учащийся, который

подготовил одну физическую задачу.

Тест через копирку (с самопроверкой)

Тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений».

Цель: контроль (самоконтроль) знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

Работа проводится в двух вариантах. Вопросы читаются в размеренном темпе, дважды, повторяя каждый вопрос, указывая на тот листок с номером, под которым находится правильный ответ.

Вариант 1

Каково будет решение уравненияcosx = a при |а| > 1?

При каком значении а уравнение cosx =a имеет решение?

Какой формулой выражается это решение?

На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cosx = a?

В каком промежутке находится arccosa?

В каком промежутке находится значениеа?

Каким будет решение уравнение уравнения cosx = 1?

Каким будет решение уравнения cosx = -1?

Каким будет решение уравнения cosx = 0?

Чему равняется arcos(-a)?

В каком промежутке находится arctga?

Какой формулой выражается решение уравненияtg x = a?

Чуме равняется arctg(-a)?

Вариант 2

Каково будет решение уравнения sinx = a при |а|>1 ?

При каком значении а уравнение sinx = a имеет решение ?

Какой формулой выражается это решение?

На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sinx = a?

В каком промежутке находится arcsina ?

В каком промежутке находится значениеа ?

Каким будет решение уравнение уравнения sinx = 1 ?

Каким будет решение уравнения sinx = -1 ?

Каким будет решение уравнения sinx = 0 ?

Чему равняется arcsin(-a) ?

В каком промежутке находится arcctga ?

Какой формулой выражается решение уравненияctg x = a?

Чуме равняется arcctg(-a) ?

Тест окончен (собираются листочки с работой и открываются правильные ответы). Учащиеся отмечают на оставшихся листах неправильные шаги и количество правильных шагов П, заносят в лист учёта знаний.

V. Систематизация теоретического материала

V.1 Устные задания на определение вида простейших тригонометрических уравнений.(работа с плакатами)

Плакаты 1,2

Цель: обобщение знаний по видам простейших тригонометрических уравнениям.

Ребята, здесь вы видите схемы решений тригонометрических уравнений. Как вы думаете, какая из схем этой группы является лишней? Что объединяет остальные схемы? (отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учёта знаний).

Плакат 1

1 y 2 y 3 y

0x0 x 0 x

4 y 5 y 6 y

0x 0 x 0 x

Плакат 2

1 y 2 y 3y

0 x 0 x 0 x

4 y 5 y 6 y

0 x 0 x0 x

Ответы:

Плакат 1. 3-я схема – лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения видаsinx=а; 1, 2, 4-6 – cosx=a

Плакат 2. 4-я схема – лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения видаctgx=a; 1-3,5,6 –tgx=a.

V.2.а Раздаточный материал (тесты)

V.2.б Решение однородных уравнений

Решаю уравнение 2Sinx - 3Cosx=0 на доске подробно объясняю ход действия.

Решение:

При делении уравнения asinx + bcosx = 0 где , на корни этого уравнения не теряются.

Записываю на доске следующие уравнения: 3sin²x-4sinxcosx+cos­²x=0и с помощью вопросов подключаю учащихся к активной работе.

Проверяем: каждый член уравнения имеет одну и ту же степень. Какой мы можем сделать вывод?

Какие мы решаем однородные уравнения?

Предлагаю учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение.

Решение:

Пусть tgx=y.

3у²-4у+1=0

следовательно,

V.3Учабная серия “Классификация тригонометрических уравнений”

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения данной серии и повешена системно-обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных шагов Р заносят в лист учёта знаний соседа.

Тригонометрические уравнения

Решения уравнений по известным алгоритмам

Решения уравнений путём разбиения на подзадачи

Одноимённые уравнения и сводящиеся к ним

Уравнения, решающиеся разложением на множители

№

№

Уравнения видаacos x + bsinx = c, где a,b, c 0,рещающиеся методом введения вспомогательного аргумента.

V.4 Динамичные блоки уравнений (на магнитной доске) на сравнение, обобщение и выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма решения тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным (отвечающие учащиеся правильные шаги Р вносят в лист знаний).

1. Вопрос. О чем идет речь?

Ответ:1,2,4 – простейшие тригонометрические уравнения, решаются по известным формулам; 3 – простейшее тригонометрическое уравнение с параметром. Решение имеет только приa=0.

Вопрос. О чем говорит этот блок уравнений?

Ответ:1,3,4 – одноименные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним решаются методом подстановки; 2 – уравнение однородное, но заменив 1 в правой частим на sin²x + cos²x и разделив обе части уравнения на cos²x (или sin²x), получим тригонометрическое уравнение.

Вопрос. Что бы это означало?

Ответ: 1 – однородное уравнение I степени решается методом деления наcos x (sinx); 2 – однородное уравнение второй степени решается методом деления на cos²x (sin²x или sin xcos x); 3 – нельзя делить на cos²x,это приведет к потере корней. Можно делитьsin²x или разложить на множители.

4.Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.

Ответ: 1,3 – уравнения, решающиеся методом разложения на множители. 2 – уравнение лишнее. Это уравнение содержит обратную тригонометрическую функцию. Так как и sin (arcsina) = a, получаем уравнение то есть

б)

Ответ:2,3 – уравнения, решающиеся методом введения вспомогательного аргумента. 1 – уравнение лишнее, не имеет решение.

5. Назовите главный ключевой блок уравнений.

Ответ: Блок простейших тригонометрических уравнений – главный так как решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших.

6. Снимаю блоки уравнений, решающиеся разложением на множители и методом введения вспомогательного угла, и прошу их назвать.

7. Снимая уравнение sin x+cosx, спрашиваю тип и метод решения.

8. Вопрос. Нельзя ли оставшиеся уравнения объединить в один блок?

Ответ .Можно, получается блок тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным.

Показывая уравнение2sin² 2x +5sin 2x – 3 = 0, спрашиваю алгоритм решения. Прошу выделить общий алгоритм решения для остальных уравнений.

Ответ.

1. Сведения к одноименному уравнению.

2. Замена переменной.

3. Решение квадратного уравнения.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений.

V.5 Тестовые задания на нахождение идей решения уравнений (работа с плакатом). (Отвечающие учащиеся правильные шаги Р вносят в лист учета знаний.)

Цель : расширение математического кругозора (последнее задание олимпиадное).

Плакат 3. При решение уравнений 1.1 -1.4 выберите из приемов 2.1 – 2.4 соответствующий и укажите нужную формулу или замену 3.1 – 3.4.

cos2x cos7x = cos5x cos4x.

tg x + ctg x + tg²x + ctg²x = 6.75.

sin²x +sin²2x + sin²3x + sin²4x = 2.

Sin7x + sin x = cos3x

.

2.1 Замена переменной.

2.2 Преобразование суммы в произведение.

2.3 Преобразование произведения в сумму.

2.4 Понижение степени.

3.1

3.2

3.3

3.4

Ответы:

Шкала оценок:”5” – правильных шагов Р >28; “4” – 27-25;“3” – 24; “2” – верных шагов Р<19.

VI.Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (с самопроверкой)

На доске записано на трех уровнях. Учащиеся работают на листочках через копирку; каждый выполняет задание того уровня, который он выбрал.

Группа А Группа Б

1. 1.

2. 2.

Группа В

1.

2.

Дополнительно:cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2.

Проверка самостоятельной работы

Учащиеся в лист учета знаний вкладывают обобщающую схему, а также один экземпляр самостоятельной работы и сдают на проверку.

Самопроверка – учащиеся сами проверяют свои работы по готовым решениям на доске.

Решения

Группа А. 1. 1)

2)sin x = t

3)

4)sinx = 2 не имеет решения, так как

2. 1)

2)

3)

ГруппаБ.1.

2.

ГруппаВ.1.

2. 1)

2)

Дополнительно.

Этап всесторонней проверки знаний

Предлагаю учащимся решить на доске уравнения:

а) б)

Затем предлагаю всем учащимся решить уравнение под буквой “а” и называю учащихся, которые решают уравнение под буквой “б”.

Первый учащийся решает уравнение “а”:

Второй учащийся решает уравнение “б”:

Этап информации учащихся о домашнем задании

№247 (2, 4) №259 (2,4). Подготовка к контрольной работе.

Итог урока

Вот уже несколько уроков мы решаем тригонометрические уравнения.

Вопросы:

- Что это за уравнения? (Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций).

- Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем?

Если останется время, то с помощью кубика-“экзаменатора” можно фронтально

проверить у учащихся знания решений особых случаев простейших тригонометрических уравнений.

Даётся оценка работы учащихся.

Разведка кубика-“экзаменатора”

sin x = 1

sin x = 0

cos x = 1

cos x = 0

sin x = -1

cos x = -1

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Алтынов П.И. Алгебра и начала анализа (тесты). М:Дрофа, 1998

Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М:Просвещение, 1989

Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Алгебра в таблицах. М:Дрофа, 2002

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа М:Просвещение, 2003

Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. М:Просвещение, 1999

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/239977-otkrytyj-urok-na-temureshenie-trigonometrich