Формулы сокращенного умножения: ключ к упрощению сложных алгебраических выражений

Тема урока. Применение формул сокращенного умножения.

Цель:

1. Образовательная: закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения, сформировать умения применения формул при решении задач.

2. Развивающая: развить познавательный интерес к математике, логическое мышление, математическую речь, наблюдательность, умение систематизировать и применять полученные знания.

3. Воспитательная: воспитать ответственное, творческое отношение у учебному труду.

Тип урока: Урок обобщения и систематизация знаний.

ХОД УРОК

Организационный момент, постановка цели урока.

Здравствуйте, ребята! Тема нашего урока “Формулы сокращенного умножения». Сегодня урок закрепления и формирования навыков применения формул сокращенного умножения. Перед нами задача - закрепить изученный материал. Разобраться в непонятных ранее моментах, проконтролировать и оценить свои знания.

учащиеся делятся на две группы (1 и 2 вариант) для выполнения первого задания – необходимо записать формулы сокращенного умножения, для первой группы формулы квадрата, а для второй формулы куба. А затем выйдя к доске прочитать.

Актуализация знаний.

Формулой называется символьная запись, содержащая некоторое утверждение.

а) При записи формул были допущены ошибки . Найдите и исправьте их.

1) (а+в)²=а²+ав+в²

Ответ : (а+в)²=а²+2ав+в²

2) (а-с)²=а²-2ав+в²

Ответ : (а-в)²=а²-2ав+в²

3) (а+в)³=а³+а²в+ав²-в³

Ответ : (а-в)³=а³-3а²в+3ав²-в³

4) (а-в)³=а³-3ав+3ав-в³

Ответ : (а-в)³=а³-3а²в+3ав²-в³

5) а²-в²=(а-в)(а-в)

Ответ : а²-в²=(а-в)(а+в)

б) В таблицах представлены выражения. Выберите правильный ответ.

Ответы:

Проверка домашнего задания. «Математическое домино»

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тысяч лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Но в то время они формулировались словесно или геометрически.

Ни у древних Египтян, ни у древних вавилонян в алгебре не было букв. Буквами для обозначения чисел не пользовались и греческие учёные.

«Старт»

Вопрос: Что называют многочленом?

Ответ: Сумму одночленов.

Вопрос: Что называют одночленом?

ответ: Произведение чисел, переменных и их степеней.

Вопрос: Какие слагаемые называются подобными?

Ответ: Слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Вопрос: Как привести подобные слагаемые?

5. Ответ: сложить их числовые коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть.

Ответ: Найти сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

Вопрос: как умножить одночлен на многочлен?

Ответ: Одночлен умножить на каждый член многочлена, а результат сложить.

Вопрос: Как перемножить одночлены?

Ответ: Перемножить числовые коэффициенты, затем перемножить степени с одинаковыми основаниями и результаты перемножить.

Вопрос: Как умножить степени с одинаковыми основаниями?

Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Вопрос: Как определить степень многочлена?

Ответ: Надо определить наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Вопрос: как умножить многочлен на многочлен?

«Финиш»

Ответ: Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и результаты сложить.

Практическое применение формул.Быстрый счёт

Задание. С помощью формул разложения разности квадратов на множители, найдите значение выражения.

(10+1) ² = 121

41²-31²⁼ 720

24²-23²= 47

73²-63² = 1360

99²= 9801

68 = 1

18²-16²

51²= 2601

Из истории математики. А сейчас я вам предлагаю познакомиться с задачей Пифагора.

Задача Пифагора: Всякое нечётное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.

1 способ. (n+1)² - n²=(n+1-n)(n+1+n)=2n+1 - нечётное число

2 способ. (n+1)² - n² = n²+2n+1-n²=2n+1 - нечётное число

В школе Пифагора эта задача решалась геометрически. Действительно, если к квадрату со стороной n прибавить гномон, представляющий нечётное число 2n+1 (на рис. выделено цветом), то получится квадрат со стороной n+1,

т.е. n2 +(2n+1)=(n+1)2 или (n+1)2 – n2=2n+1

Занимательные задачи

Задумайте число (до 10);

Умножьте его на себя;

Прибавьте к результату задуманное число;

К полученной сумме прибавьте 1;

К полученному числу прибавьте задуманное число.

Скажите мне число, которое у вас получилось и я отгадаю, какое число вы задумали.

Решение: x² + x + 1 + x = x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Например, 5·5 + 5 + 1 + 5 = 36,

x = √36 – 1 = 6 – 1 = 5.

«Установить соответствие и назвать математика»

Каждый ученик получает карточку, выполняет задание, получает соответствия:
1→5(Д), 2→3(И), 3→1(О), 4→6(Ф), 5→2(А), 6→7(Н), 7→4(Т).

Молодцы ребята, вы получили имя великого математика.  Историческая справка: Очень давно, в Древней Греции жили и работали замечательные ученые-математики, которые всю свою жизнь отдали служению науке. В то время все алгебраические утверждения выражали в геометрической форме, вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, а произведение двух чисел сравнивали с площадью, трех чисел-с объемом и т.д. первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям был древнегреческий ученый-математик, живший в 3 веке до нашей эры Диофант. Появились формулы, которые стали называться формулами сокращенного умножения.

Найди ошибку.

Ученику нужно найти ошибку в каждой формуле и исправить ее на своих листах.

1.(4у-3х)(4у+3х)=8у²-9у²   (вместо 8у² должно быть16у²)
2.100х²-4у²=(50х-2у)(50х+2у)  (вместо50х должно быть10х)
3.(3х+у)²=9х²-6ху+у²           (вместо-6ху должно быть+6ху)
4.(6a-9c)²=36a²-54ac+81c²    (вместо-54ac должно быть-108ac)
5.х³+8=(х+2)(х²-4х+4)        (вместо-4х должно быть-2х)

Затем вызываю учеников к доске исправить ошибки в примерах, они еще раз проговаривают формулы и правила.

9.Математическая эстафета

I группа                                                II группа

1.Преобразуйте в многочлен:

а) (у-4)² а) (3а+4)²

б) (7х+а)² б) (2х-в)²

в) (5с-1)(5с+1) в) (с+3)(с-3)

г) (3а+2в)(3а-2в) г) (5у-2х)(5у+2х)

2. Упростите выражение.

(а-9)²- (81+2а) (с+в)(с-в) - (5с²-в²)

3. Разложите на множители.

а) х²-49 а) 25у²-а²

б) с²+4ас+а² б)25х²-10ху+у²

10.Итоги урока.

Домашнее задание.

Оценки за урок.

Самооценивание учащихся.

Рефлексия урока: Учитель предлагает ребятам на стикерах нарисовать смайлик красного, желтого или зеленого цвета для оценивания своей включенности в урок.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/246107-primenenie-formul-sokraschennogo-umnozhenija