Урок математики «Решение логарифмических уравнений» , 11 класс

Урок по теме: «Решение логарифмических уравнений»

Цель урока: формировать умения решать логарифмические уравнения различных типов.

Задачи урока:

Образовательные − провести классификацию логарифмических уравнений; рассмотреть решение логарифмических уравнений по определению логарифма, сводящихся к квадратному уравнению; познакомить обучающихся с графическим решением логарифмических уравнений; с уравнениями, которые решаются с помощью потенцирования обеих частей уравнения.

Развивающие−создать условия для самореализации возможностей обучающихся по формированию умений и навыков решения уравнений; способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные −формировать у обучающихся познавательные, информационные, коммуникативные компетенции, навыки самооценки; содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, тесты.

Тип урока: урок изучения нового материала с решением поставленной проблемы.

План урока

Организационный момент.

Актуализация знаний:

фронтальная беседа «Закончи предложение»;

установить соответствие;

самостоятельная работа «Проверь себя»;

работа в парах.

Историческая справка.

Изучение нового материала с решением поставленной проблемы.

Закрепление материала.

Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Домашняя работа.

Ход урока

Организационный момент

Когда-то великий ученый Альберт Эйнштейн, сказал: “Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”. Вот и мы сегодня для себя и определяем особую важность нашего урока, так как будем заниматься изучением методов решения логарифмических уравнений. (Обучающимся сообщается тема, цели, структура урока; обучающиеся готовят тетради к работе)

А девизом урока будут слова “Чем больше я знаю, тем больше я умею”. (Вывешивается на доске). Будем внимательны и активны.

А поможет нам в решении уравнений ранее изученный материал. Какую тему мы с вами изучили? (Логарифмы и их свойства, логарифмическая функция).

Давайте выясним, что мы уже знаем и умеем? (Знаем определение логарифма, его свойства, графики логарифмической функции; умеем находить значения логарифма; умеем строить логарифмическую функцию и перечислять её свойства).

Сегодня на уроке мы объединим все знания и научимся решать логарифмические уравнения. Тема урока: «Решение логарифмических уравнений».

Актуализация знаний

1) Фронтальная беседа «Закончи предложение»: слайд 3

Теоретический опрос: "Закончи предложение"

Логарифмом числа b по основанию a называется ... (показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получилось число в).

Основное логарифмическое тождество имеет вид.. ( = b, где b>0, а>0 и а

Логарифм числа 1 равен... ( =0).

Логарифм самого числа равен... ( =1).

Логарифм произведения равен... ( ).

Логарифм частного равен... ( ).

Логарифм степени равен... ( ).

Основанием десятичного логарифма является число... (10).

Формула логарифмического перехода от одного основания к другому

Логарифмическая функция - это функция, заданная формулой... ( , при ).

2)Установите соответствие: слайд 4

3)  Самостоятельная работа «Проверь себя» ( работа с калькой)

Зачитываются утверждение, если оно верно,  вы ставите знак «+», не верно – «–».

1. Логарифмическая функция у = log_ax определена при любом х
2. Функция у = log_ax  определена при а > 0, а   1, х > 0.
3. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел.
4. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.
5. Логарифмическая функция – четная.
6. Логарифмическая функция – нечетная.
7. Функция у = log_ax – возрастающая при а >1.
8. Функция у = log_ax – убывающая, при 0<а<1.
9. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).
10. График функции у = log_ax пересекается с осью ОХ.
11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.
12. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.
13. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).
14. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.
15. Существует логарифм отрицательного числа.
16. Существует логарифм дробного положительного числа.
17. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).

Оценки:

0 – 7 баллов – оценка «2»

8 – 13 баллов – оценка «3»

14 – 15 баллов – оценка «4»

16 баллов – оценка «5»

4)Работа в парах

1. lg 1000000

2. 2^log₂⁵

3. lg8+lg125

4. lg13-lg130

5.

6.

7.

8. 50

9.

Таблица ответов

В результате этой работы обучающиеся оценивают себя, так как, если они решили правильно, то получилось имя и фамилия математика- Джон Непер.

Историческая справка (сообщение ученика).

Немного об изобретателе логарифмов и создателе логарифмических таблиц.

Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

1614 год - Джон Непер  изобрел логарифм.

1624 год – Йост Бюрги создал таблицу  логарифмов.

1623 год – Эдмунд Гантер изобрел логарифмическую линейку.

1703 год – таблица была переведена на русский язык

- Л. Магницкий  издал  семизначные логарифмические таблицы.

Изучение нового материала с решением поставленной проблемы

1) Что значит решить уравнение?(Решить уравнение – это значит найти все его корни (решения) или установить, что их нет).

2) Что такое корень уравнения? (Корнем (решением) уравнения называется число, которое при подстановке в уравнение превращает его в верное равенство).

3) А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма, как его назвать?( логарифмическое). Предложить обучающимся дать определение логарифмического уравнения. Определение: Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма.

Определение простейшего логарифмического уравнения:

Уравнение вида log _а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , х > 0, называется простейшим логарифмическим уравнением.

Обучающимся предлагаются уравнения.

Проблема. Как решить эти уравнения? Необходимо разбить уравнения на группы по внешнему виду и записать номера соответствующих уравнений в таблицу:

1.

2.

3

4. 0,3^х= 7

5. log _{5х -19} (3х – 11) = 1

6. 2^х= 5

7.

8. lg (х² – 8) = lg (2 – 9х)

Давайте проверим, что у вас получилось

Мы разбили уравнения на 4 вида. Задача. Как же решить данные уравнения?

При решении логарифмических уравнений часто используются следующие методы:

Метод решения с помощью определения логарифма, например, уравнение log _а х = b (а>0, а≠ 1, х>0 ) имеет решение X=a^b

Примеры: 1) log ₄ x=2 5) log_х-18 = 1.

Решение: х = 16 (х-1)¹ = 8 х-1 = 8 х = 9

Метод потенцирования, т.е. переход от уравненияlog _а f( х)= log _а φ(х) к уравнению следствию f(х)=φ(х);

Пример: 1) log₇(2х-3) = log₇х:  2) log ₅ (2x+3)= log ₅ (x+1).

Решение: 1) 2х-3=х х=3 Проверка: подставим найденное значение x=3 в исходное уравнение log₇(2^.3-3) = log₇3 log₇3 = log₇3

2) log ₅ (2x+3)= log ₅ (x+1) 2x+3= x+1 x=1-3= -2

Проверка: подставим найденное значение x=-2 в исходное уравнение log ₅ (2x+3)= log ₅ (x+1) и получим log ₅(2 ^. (-2)+3)= log ₅ (-2+1), log ₅ (-1)= log ₅ (-1), это равенство неверно (оно не имеет смысла, так как выражения под логарифмом всегда больше нуля)

Метод введения новой переменной, т.е. приведение логарифмического уравнения к квадратному  .

Пример: 1) 

; 

Ответ:  ;  .

2) 

, 

Ответ: 10.

Метод логарифмирования, т.е. переход от уравнения f(х) = φ(х) к уравнению

log _аf( х) = log _а φ(х)

Примеры: 1) 9^x=0,7; 2) 2^x=10;

Решение: log ₉9^x =log ₉ 0,7: log ₂2^x =log ₂10

х=log ₉0,7 х =log ₂10

Закрепление изученного материала.

Сейчас мы попробуем применить знания к решению уравнений.

Решить из таблицы по одному уравнению из каждого метода (дифференцированная работа)

2. Работа по учебнику №524(а).

3. Работа по тестам

Тест

Вариант 1

Решите уравнение 3^х= 9

а) х = log ₃9; б) х =log ₉3; в) 9 =log ₃х.

2. Решите уравнение log₄x=3

а) х = 81; б) х = 64; в) х = 12.

3. Решите уравнение log_х 125=3

а) х = -5; б) х = 6; в) х = 5.

4. Решите уравнение log₇ 49=х

а) х = 2; б) х = 7; в) х = 1.

5. Решите уравнение lg 10х= lg (9х + 6)

а) х =10; б) х = 6; в) х = -6.

Вариант 2

Решите уравнение log₅ (2x – 3) =1

а) х = -4; б) х = 4; в) х =1,5.

2. Решите уравнение log₆ (5x – 9) =2

а) х = 4,5; б) х = 0,8; в) х = 9.

3. Решите уравнение log₃ (х² – 6х + 17) = 2

а) х₁ = 2, х₂ = 3; б) х₁ = 4, х₂ = 2; в) х₁ = 4, х₂ = 5.

4. Решите уравнение log_0,5 (2х + 1) = log_0,5 (2 – 3х)

а) х = 0,2; б) х = 0,5; в) нет решений.

5. Решите уравнение log₂ (х - 1) = log₂ (2х – 4)

а) х =4; б) х = 2,5; в) х =3.

6. Подведение итога урока.

7. Рефлексия.

Рефлексия (учащимся предлагается оценить свою работу на уроке, ответив на вопросы). 

8. Домашняя работа.

№ 513(а, б), №514(а, б).

Дополнительно на «4» и «5»

Решить уравнение:

а)  ; б)  .

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/251331-urok-matematiki-reshenie-logarifmicheskih-ura